Уравнение состояния

В физике и термодинамики , уравнение состояния является термодинамическое уравнение , относящиеся переменные состояния , которые описывают состояние вещества при заданном наборе физических условий, таких как давление , объем , температура ( PVT ), или внутренней энергии . ^[1] Уравнения состояния полезны при описании свойств жидкостей , смесей жидкостей, твердых тел и недр звезд .

Термодинамика
Классический тепловой двигатель Карно
ветви Классический Статистический Химическая Квантовая термодинамика Равновесие  / Неравновесие
Законы Zeroth Первый Второй В третьих
Системы Закрытая система Изолированная система Состояние Уравнение состояния Идеальный газ Настоящий газ Состояние вопроса Равновесие Контрольный объем Инструменты Процессы Изобарический Изохорический Изотермический Адиабатический Изэнтропический Изентальпический Квазистатический Политропный Бесплатное расширение Обратимость Необратимость Необратимость Циклы Тепловые двигатели Тепловые насосы Тепловая эффективность
Свойства системы Примечание: Сопряженные переменные в курсивом Диаграммы свойств Интенсивные и обширные свойства Функции процесса Работа Высокая температура Функции государства Температура  / энтропия  ( введение ) Давление  / Объем Химический потенциал  / число частиц Качество пара Сниженные свойства
Свойства материала Базы данных недвижимости Удельная теплоемкость  ${\ displaystyle c =}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ partial S}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ partial T}$ Сжимаемость  ${\ displaystyle \ beta = -}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ partial V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ partial p}$ Тепловое расширение  ${\displaystyle \alpha =}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial T}$
Уравнения Теорема Карно Теорема Клаузиуса Фундаментальное отношение Закон идеального газа Максвелл отношения Взаимные отношения Онзагера Уравнения Бриджмена Таблица термодинамических уравнений
Потенциал Свободная энергия Свободная энтропия Внутренняя энергия ${\displaystyle U(S,V)}$ Энтальпия ${\displaystyle H(S,p)=U+pV}$ Свободная энергия Гельмгольца ${\displaystyle A(T,V)=U-TS}$ Свободная энергия Гиббса ${\displaystyle G(T,p)=H-TS}$
История Культура История Общий Энтропия Газовые законы Машины "вечный двигатель" Философия Энтропия и время Энтропия и жизнь Броуновская трещотка Демон Максвелла Парадокс тепловой смерти Парадокс лошмидта Синергетика Теории Теория калорийности Теория тепла Vis viva («живая сила») Механический эквивалент тепла Сила мотивации Ключевые публикации " Экспериментальное исследование ... тепла " « О равновесии гетерогенных веществ » « Размышления о движущей силе огня » Сроки Термодинамика Тепловые двигатели Изобразительное искусство Образование Термодинамическая поверхность Максвелла Энтропия как рассеивание энергии
Ученые Бернулли Больцман Карно Клапейрон Клаузиус Каратеодори Duhem Гиббс фон Гельмгольц Джоуль Максвелл фон Майер Онсагер Ренкин Смитон Шталь Томпсон Томсон ван дер Ваальс Waterston
Книга Категория
v т е

Обзор [ править ]

В настоящее время не существует единого уравнения состояния, которое точно предсказывало бы свойства всех веществ при любых условиях. Пример уравнения состояния коррелирует плотности газов и жидкостей с температурами и давлениями, известный как закон идеального газа , который примерно точен для слабополярных газов при низких давлениях и умеренных температурах. Это уравнение становится все более неточным при более высоких давлениях и более низких температурах и не может предсказать конденсацию из газа в жидкость.

Другое распространенное использование - моделирование внутренней части звезд, включая нейтронные звезды , плотную материю ( кварк-глюонную плазму ) и поля излучения. Связанное с этим понятие - уравнение состояния идеальной жидкости, используемое в космологии .

Уравнения состояния могут также описывать твердые тела, включая переход твердых тел из одного кристаллического состояния в другое.

В практическом контексте уравнения состояния служат инструментом для расчета PVT в технологических задачах, таких как расчет равновесия нефтяной газ / жидкость. Успешная модель PVT, основанная на подобранном уравнении состояния, может быть полезна для определения состояния режима потока, параметров для обработки пластовых флюидов и определения размеров трубы.

Измерения параметров уравнения состояния, особенно при высоких давлениях, можно проводить с помощью лазеров. ^{[2] [3] [4]}

Исторический [ править ]

Закон Бойля (1662 г.) [ править ]

Закон Бойля был, возможно, первым выражением уравнения состояния. ^{[ необходима цитата ]} В 1662 году ирландский физик и химик Роберт Бойль провел серию экспериментов, используя J-образную стеклянную трубку, которая была запаяна с одного конца. В трубку добавляли ртуть , удерживая фиксированное количество воздуха в коротком закрытом конце трубки. Затем объем газа измеряли по мере добавления в трубку дополнительной ртути. Давление газа можно определить по разнице между уровнем ртути в коротком конце трубки и в длинном открытом конце. В ходе этих экспериментов Бойль заметил, что объем газа изменяется обратно пропорционально давлению. В математической форме это можно сформулировать так:

${\displaystyle pV=\mathrm {constant} .\,\!}$

Вышеупомянутые отношения также были приписаны Эдме Мариотту и иногда называются законом Мариотта. Однако работа Мариотта не была опубликована до 1676 года.

Закон Шарля или Закон Шарля и Гей-Люссака (1787 г.) [ править ]

В 1787 году французский физик Жак Шарль обнаружил, что кислород, азот, водород, углекислый газ и воздух расширяются примерно в одинаковой степени в одном и том же интервале 80 кельвинов. Позже, в 1802 году, Жозеф Луи Гей-Люссак опубликовал результаты подобных экспериментов, указывающие на линейную зависимость между объемом и температурой ( закон Чарльза ):

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}.}$

Закон парциальных давлений Дальтона (1801 г.) [ править ]

Закон парциального давления Дальтона утверждает, что давление смеси газов равно сумме давлений всех составляющих газов.

Математически это можно представить для n видов как:

${\displaystyle p_{\text{total}}=p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}.}$

Закон идеального газа (1834 г.) [ править ]

В 1834 году Эмиль Клапейрон объединил закон Бойля и закон Шарля в первое утверждение закона идеального газа . Первоначально закон был сформулирован как pV _m = R ( T _C + 267) (с температурой, выраженной в градусах Цельсия), где R - газовая постоянная . Однако более поздняя работа показала, что это число должно быть ближе к 273,2, а затем шкала Цельсия была определена как 0  ° C = 273,15  K, что дает:

${\displaystyle pV_{m}=R\left(T_{C}+273.15\ {}^{\circ }{\text{C}}\right).}$

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса (1873 г.) [ править ]

В 1873 году Дж. Д. Ван дер Ваальс ввел первое уравнение состояния, выведенное из предположения о конечном объеме, занимаемом составляющими молекулами. ^[5] Его новая формула произвела революцию в изучении уравнений состояния и получила наиболее известное продолжение через уравнение состояния Редлиха – Квонга ^[6] и модификацию Соаве Редлиха-Квонга . ^[7]

Общий вид уравнения состояния [ править ]

Для данного количества вещества, содержащегося в системе, температура, объем и давление не являются независимыми величинами; они связаны отношениями общего вида

${\displaystyle f(p,V,T)=0}$

Уравнение, используемое для моделирования этой взаимосвязи, называется уравнением состояния. В следующих разделах описаны основные уравнения состояния, а используемые здесь переменные определены следующим образом. Может использоваться любой согласованный набор единиц, хотя единицы СИ являются предпочтительными. Абсолютная температура относится к использованию температурной шкалы Кельвина (K) или Ранкина (° R), где ноль соответствует абсолютному нулю.

${\displaystyle \ p}$, давление (абсолютное)

${\displaystyle \ V}$, объем

${\displaystyle \ n}$, количество молей вещества

${\displaystyle \ V_{m}}$, , Мольный объем , объем 1 моль газа или жидкости${\displaystyle {\frac {V}{n}}}$

${\displaystyle \ T}$, абсолютная температура

${\displaystyle \ R}$, постоянная идеального газа ≈ 8,3144621  Дж / моль · К

${\displaystyle \ p_{c}}$, давление в критической точке

${\displaystyle \ V_{c}}$, молярный объем в критической точке

${\displaystyle \ T_{c}}$, абсолютная температура в критической точке

Классический закон идеального газа [ править ]

Классический закон идеального газа можно записать

${\displaystyle pV=nRT.}$

Таким образом, в приведенной выше форме уравнение состояния выглядит следующим образом:

${\displaystyle f(p,V,T)=pV-nRT=0}$.

Если использовать приближение калорически совершенного газа, то закон идеального газа также может быть выражен следующим образом

${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e}$

где - плотность, - показатель адиабаты ( отношение удельных теплоемкостей ), - внутренняя энергия на единицу массы («удельная внутренняя энергия»), - удельная теплоемкость при постоянном объеме и - удельная теплоемкость при постоянном давлении.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}}$${\displaystyle e=C_{v}T}$${\displaystyle C_{v}}$${\displaystyle C_{p}}$

Квантовый закон идеального газа [ править ]

Поскольку для атомарных и молекулярных газов классический закон идеального газа хорошо подходит в большинстве случаев, опишем уравнение состояния элементарных частиц с массой и спином , учитывающее квантовые эффекты. В дальнейшем верхний знак всегда будет соответствовать статистике Ферми-Дирака, а нижний - статистике Бозе-Эйнштейна . Уравнение состояния таких газов с частицами, занимающими объем с температурой и давлением , дается формулой ^[8]${\displaystyle m}$${\displaystyle s}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\frac {(2s+1){\sqrt {2m^{3}k_{B}^{5}T^{5}}}}{3\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{3/2}\,\mathrm {d} z}{e^{z-\mu /(k_{B}T)}\pm 1}}}$

где это постоянная Больцмана и химический потенциал задается следующей неявной функции${\displaystyle k_{B}}$${\displaystyle \mu (T,N/V)}$

${\displaystyle {\frac {N}{V}}={\frac {(2s+1)(mk_{B}T)^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{1/2}\,\mathrm {d} z}{e^{z-\mu /(k_{B}T)}\pm 1}}.}$

В предельном случае, когда это уравнение состояния сведется к уравнению классического идеального газа. Можно показать, что указанное выше уравнение состояния в пределе сводится к${\displaystyle e^{\mu /(k_{B}T)}\ll 1}$${\displaystyle e^{\mu /(k_{B}T)}\ll 1}$

${\displaystyle pV=Nk_{B}T\left[1\pm {\frac {\pi ^{3/2}}{2(2s+1)}}{\frac {N\hbar ^{3}}{V(mk_{B}T)^{3/2}}}+\cdots \right]}$

При фиксированной числовой плотности снижение температуры вызывает в ферми-газе увеличение значения давления по сравнению с его классическим значением, подразумевающее эффективное отталкивание между частицами (это кажущееся отталкивание из-за эффектов квантового обмена, а не из-за реальных взаимодействий между частицами, поскольку в идеальном газе силами взаимодействия пренебрегают), а в бозе-газе - уменьшение давления от его классического значения, подразумевающее эффективное притяжение.${\displaystyle N/V}$

Кубические уравнения состояния [ править ]

Кубические уравнения состояния называются таковыми, потому что их можно переписать как кубическую функцию от .${\displaystyle V_{m}}$

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса [ править ]

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса можно записать:

${\displaystyle \left(p+{\frac {a}{V_{m}^{2}}}\right)\left(V_{m}-b\right)=RT}$

где - молярный объем . Специфические для вещества константы и могут быть рассчитаны на основе критических свойств , и (с учетом молярного объема в критической точке) как:${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p_{c}}$${\displaystyle T_{c}}$${\displaystyle V_{c}}$${\displaystyle V_{c}}$

${\displaystyle a=3p_{c}\,V_{c}^{2}}$

${\displaystyle b={\frac {V_{c}}{3}}.}$

Также записывается как

${\displaystyle a={\frac {27(R\,T_{c})^{2}}{64p_{c}}}}$

${\displaystyle b={\frac {R\,T_{c}}{8p_{c}}}.}$

Предложенное в 1873 году уравнение состояния Ван-дер-Ваальса было одним из первых, которое работало заметно лучше, чем закон идеального газа. В этом знаковом уравнении называется параметром притяжения и параметром отталкивания или эффективным молекулярным объемом. Хотя уравнение определенно превосходит закон идеального газа и действительно предсказывает образование жидкой фазы, согласие с экспериментальными данными ограничено для условий, при которых жидкость образуется. Хотя уравнение Ван-дер-Ваальса часто упоминается в учебниках и статьях по историческим причинам, в настоящее время оно устарело. Другие современные уравнения лишь немного большей сложности намного точнее.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Уравнение Ван-дер-Ваальса можно рассматривать как закон идеального газа, «улучшенный» по двум независимым причинам:

1. Молекулы считаются объемными частицами, а не материальными точками. Таким образом, не может быть слишком мало, меньше некоторой постоянной. Таким образом, мы получаем ( ) вместо .${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle V_{m}-b}$${\displaystyle V_{m}}$
2. Хотя молекулы идеального газа не взаимодействуют, мы рассматриваем молекулы, которые притягивают друг друга на расстоянии радиуса нескольких молекул. Внутри материала он не действует, но поверхностные молекулы притягиваются к материалу с поверхности. Мы видим это как уменьшение давления на внешнюю оболочку (которое используется в законе идеального газа), поэтому мы пишем ( что-то) вместо . Чтобы оценить это «что-то», рассмотрим дополнительную силу, действующую на элемент газовой поверхности. В то время как сила, действующая на каждую поверхностную молекулу, равна ~ , сила, действующая на весь элемент, равна ~ ~ .${\displaystyle p+}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho ^{2}}$${\displaystyle {\frac {1}{V_{m}^{2}}}}$

С редуцированных переменных состояния, то есть , и , восстановленной формы Ван - дер - Ваальса уравнения могут быть сформулированы:${\displaystyle V_{r}=V_{m}/V_{c}}$${\displaystyle P_{r}=P/P_{c}}$${\displaystyle T_{r}=T/T_{c}}$

${\displaystyle \left(P_{r}+{\frac {3}{V_{r}^{2}}}\right)\left(3V_{r}-1\right)=8T_{r}}$

Преимущество этой формы состоит в том, что при заданном и уменьшенный объем жидкости и газа можно рассчитать напрямую, используя метод Кардано для приведенной кубической формы:${\displaystyle T_{r}}$${\displaystyle P_{r}}$

${\displaystyle V_{r}^{3}-\left({\frac {1}{3}}+{\frac {8T_{r}}{3P_{r}}}\right)V_{r}^{2}+{\frac {3V_{r}}{P_{r}}}-{\frac {1}{P_{r}}}=0}$

При и система находится в состоянии парожидкостного равновесия. Приведенное кубическое уравнение состояния дает в этом случае 3 решения. Самое большое и самое низкое решение - это уменьшение объема газа и жидкости.${\displaystyle P_{r}<1}$${\displaystyle T_{r}<1}$

Уравнение состояния Редлиха-Квонга ^[6] [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a}{{\sqrt {T}}\,V_{m}\left(V_{m}+b\right)}}\\[3pt]a&\approx 0.42748{\frac {R^{2}\,T_{c}^{\frac {5}{2}}}{p_{c}}}\\[3pt]b&\approx 0.08664{\frac {R\,T_{c}}{p_{c}}}\end{aligned}}}$

Представленное в 1949 году уравнение состояния Редлиха-Квонга было значительным улучшением по сравнению с другими уравнениями того времени. Он до сих пор вызывает интерес, прежде всего, благодаря своей относительно простой форме. Хотя оно превосходит уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, оно плохо работает по отношению к жидкой фазе и поэтому не может использоваться для точного расчета парожидкостного равновесия . Однако для этой цели его можно использовать вместе с отдельными жидкофазными корреляциями.

Уравнение Редлиха-Квонга подходит для расчета свойств газовой фазы, когда отношение давления к критическому давлению (пониженное давление) составляет менее примерно половины отношения температуры к критической температуре (пониженная температура):

${\displaystyle {\frac {p}{p_{c}}}<{\frac {T}{2T_{c}}}.}$

Соаве модификация Редлиха-Квонга ^[7] [ править ]

${\displaystyle p={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a\,\alpha }{V_{m}\left(V_{m}+b\right)}}}$

${\displaystyle a={\frac {0.42747\,R^{2}\,T_{c}^{2}}{P_{c}}}}$

${\displaystyle b={\frac {0.08664\,R\,T_{c}}{P_{c}}}}$

${\displaystyle \alpha =\left(1+\left(0.48508+1.55171\,\omega -0.15613\,\omega ^{2}\right)\left(1-T_{r}^{\,0.5}\right)\right)^{2}}$

${\displaystyle T_{r}={\frac {T}{T_{c}}}}$

Где ω - ацентрический фактор для вида.

Эта формулировка принадлежит Грабоски и Доберу. Оригинальный состав Соаве:${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha =\left(1+\left(0.480+1.574\,\omega -0.176\,\omega ^{2}\right)\left(1-T_{r}^{\,0.5}\right)\right)^{2}}$

для водорода:

${\displaystyle \alpha =1.202\exp \left(-0.30288\,T_{r}\right).}$

Мы также можем записать его в полиномиальной форме:

${\displaystyle A={\frac {a\,\alpha \,P}{R^{2}\,T^{2}}}}$

${\displaystyle B={\frac {b\,P}{R\,T}}}$

тогда у нас есть:

${\displaystyle 0=Z^{3}-Z^{2}+Z\left(A-B-B^{2}\right)-AB\;}$

где - универсальная газовая постоянная, а Z = PV / (RT) - коэффициент сжимаемости .${\displaystyle R}$

В 1972 г. Г. Соаве ^[9] заменил член 1 / √ T уравнения Редлиха-Квонга функцией α (T, ω), включающей температуру и ацентрический фактор (получившееся уравнение также известно как уравнение Соаве-Редлиха-Квонга). Уравнение состояния Квонга; SRK EOS). Функция α была разработана для соответствия данным о давлении паров углеводородов, и уравнение достаточно хорошо подходит для этих материалов.

Обратите особое внимание , что эта замена изменяет определение немного, так как теперь второй степени.${\displaystyle T_{c}}$

Объемный перевод Peneloux et al. (1982) [ править ]

SRK EOS можно записать как

${\displaystyle p={\frac {R\,T}{V_{m,{\text{SRK}}}-b}}-{\frac {a}{V_{m,{\text{SRK}}}\left(V_{m,{\text{SRK}}}+b\right)}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=a_{c}\,\alpha \\a_{c}&\approx 0.42747{\frac {R^{2}\,T_{c}^{2}}{P_{c}}}\\b&\approx 0.08664{\frac {R\,T_{c}}{P_{c}}}\end{aligned}}}$

где и другие части SRK EOS определены в разделе SRK EOS.${\displaystyle \alpha }$

Обратной стороной SRK EOS и других кубических EOS является то, что молярный объем жидкости значительно менее точен, чем молярный объем газа. Peneloux et alios (1982) ^[10] предложили простую поправку, введя объемный перевод

${\displaystyle V_{m,{\text{SRK}}}=V_{m}+c}$

где - дополнительный параметр компонента жидкости, который немного переводит молярный объем. На жидкой ветви УС небольшое изменение молярного объема соответствует большому изменению давления. На газовой ветви УС небольшое изменение молярного объема соответствует гораздо меньшему изменению давления, чем для жидкостной ветви. Таким образом, возмущение молярного объема газа невелико. К сожалению, в науке и промышленности встречаются две версии.${\displaystyle c}$

В первой версии транслируется только ^{[11] [12],} и EOS становится${\displaystyle V_{m,{\text{SRK}}}}$

${\displaystyle p={\frac {R\,T}{V_{m}+c-b}}-{\frac {a}{\left(V_{m}+c\right)\left(V_{m}+c+b\right)}}}$

Во второй версии переведены и и , или за переводом следует переименование составного параметра b - c . ^[13] Это дает${\displaystyle V_{m,{\text{SRK}}}}$${\displaystyle b_{\text{SRK}}}$${\displaystyle V_{m,{\text{SRK}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{\text{SRK}}&=b+c\quad {\text{or}}\quad b-c\curvearrowright b\\p&={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a}{\left(V_{m}+c\right)\left(V_{m}+2c+b\right)}}\end{aligned}}}$

Параметр c жидкой смеси рассчитывается по формуле

${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{n}z_{i}c_{i}}$

Параметр c отдельных компонентов флюида в нефтяном газе и нефти можно оценить с помощью корреляции

${\displaystyle c_{i}\approx 0.40768\ {\frac {RT_{ci}}{P_{ci}}}\left(0.29441-Z_{{\text{RA}},i}\right)}$

где коэффициент сжимаемости Ракетта можно оценить как${\displaystyle Z_{{\text{RA}},i}}$

${\displaystyle Z_{{\text{RA}},i}\approx 0.29056-0.08775\ \omega _{i}}$

Приятная особенность метода объемного перевода Peneloux et al. (1982) заключается в том, что это не влияет на расчеты парожидкостного равновесия. ^[14] Этот метод преобразования объема также может быть применен к другим кубическим EOS, если корреляция c-параметра настроена для соответствия выбранному EOS.

Уравнение состояния Пенга – Робинсона [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a\,\alpha }{V_{m}^{2}+2bV_{m}-b^{2}}}\\[3pt]a&\approx 0.45724{\frac {R^{2}\,T_{c}^{2}}{p_{c}}}\\[3pt]b&\approx 0.07780{\frac {R\,T_{c}}{p_{c}}}\\[3pt]\alpha &=\left(1+\kappa \left(1-T_{r}^{\frac {1}{2}}\right)\right)^{2}\\[3pt]\kappa &\approx 0.37464+1.54226\,\omega -0.26992\,\omega ^{2}\\[3pt]T_{r}&={\frac {T}{T_{c}}}\end{aligned}}}$

В полиномиальной форме:

${\displaystyle A={\frac {\alpha ap}{R^{2}\,T^{2}}}}$

${\displaystyle B={\frac {bp}{RT}}}$

${\displaystyle Z^{3}-(1-B)Z^{2}+\left(A-2B-3B^{2}\right)Z-\left(AB-B^{2}-B^{3}\right)=0}$

где это периферический фактор вида, это универсальная газовая постоянная и является коэффициент сжимаемости .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle R}$${\displaystyle Z=PV/nRT}$

Уравнение Peng-Robinson состояния (PR EOS) был разработан в 1976 году в Университете Альберты по Дин-Ю Пэн и Дональд Робинсон, чтобы удовлетворить следующие цели: ^[15]

1. Параметры должны быть выражены в терминах критических свойств и ацентрического фактора .
2. Модель должна обеспечивать разумную точность вблизи критической точки, особенно для расчетов коэффициента сжимаемости и плотности жидкости.
3. Правила смешивания не должны использовать более одного параметра бинарного взаимодействия, который не должен зависеть от температуры, давления и состава.
4. Уравнение должно применяться ко всем расчетам всех свойств жидкости в процессах с природным газом.

По большей части уравнение Пенга-Робинсона демонстрирует характеристики, аналогичные уравнению Соаве, хотя в целом оно лучше при прогнозировании плотности жидкости многих материалов, особенно неполярных. ^[16] Функции вылета уравнения Пенга – Робинсона приведены в отдельной статье.

Аналитические значения его характеристических констант:

${\displaystyle Z_{c}={\frac {1}{32}}\left(11-2{\sqrt {7}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {13}{7{\sqrt {7}}}}\right)\right)\right)\approx 0.307401}$

${\displaystyle b'={\frac {b}{V_{m,c}}}={\frac {1}{3}}\left({\sqrt {8}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {8}}\right)\right)-1\right)\approx 0.253077\approx {\frac {0.07780}{Z_{c}}}}$

${\displaystyle {\frac {P_{c}V_{m,c}^{2}}{a\,b'}}={\frac {3}{8}}\left(1+\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} (3)\right)\right)\approx 0.816619\approx {\frac {Z_{c}^{2}}{0.45724\,b'}}}$

Уравнения состояния Пенга – Робинсона-Стрыека-Веры [ править ]

PRSV1 [ править ]

Модификация члена притяжения в уравнении состояния Пенга – Робинсона, опубликованном Стриеком и Верой в 1986 году (PRSV), значительно повысила точность модели за счет введения регулируемого параметра чистого компонента и изменения полиномиального соответствия ацентрического фактора . ^[17]

Модификация такая:

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &=\kappa _{0}+\kappa _{1}\left(1+T_{r}^{\frac {1}{2}}\right)\left(0.7-T_{r}\right)\\\kappa _{0}&=0.378893+1.4897153\,\omega -0.17131848\,\omega ^{2}+0.0196554\,\omega ^{3}\end{aligned}}}$

где - настраиваемый параметр чистой компоненты. Стрыйек и Вера опубликовали параметры чистых компонентов для многих соединений, представляющих промышленный интерес, в своей оригинальной журнальной статье. При пониженных температурах выше 0,7 рекомендуют схватывать и просто использовать . Для спиртов и воды значение можно использовать до критической температуры и установить на ноль при более высоких температурах. ^[17]${\displaystyle \,\kappa _{1}}$${\displaystyle \,\kappa _{1}=0}$${\displaystyle \kappa =\kappa _{0}}$${\displaystyle \,\kappa _{1}}$

PRSV2 [ править ]

Последующая модификация, опубликованная в 1986 году (PRSV2), дополнительно повысила точность модели, добавив два дополнительных параметра чистых компонентов к предыдущей модификации члена притяжения. ^[18]

Модификация такая:

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &=\kappa _{0}+\left[\kappa _{1}+\kappa _{2}\left(\kappa _{3}-T_{r}\right)\left(1-T_{r}^{\frac {1}{2}}\right)\right]\left(1+T_{r}^{\frac {1}{2}}\right)\left(0.7-T_{r}\right)\\\kappa _{0}&=0.378893+1.4897153\,\omega -0.17131848\,\omega ^{2}+0.0196554\,\omega ^{3}\end{aligned}}}$

где , и - настраиваемые параметры чистых компонентов.${\displaystyle \,\kappa _{1}}$${\displaystyle \,\kappa _{2}}$${\displaystyle \,\kappa _{3}}$

PRSV2 особенно удобен для вычислений VLE . Хотя PRSV1 действительно предлагает преимущество перед моделью Пенга – Робинсона для описания термодинамического поведения, в целом он все еще недостаточно точен для расчетов фазового равновесия. ^[17] Сильно нелинейное поведение методов расчета фазового равновесия имеет тенденцию усиливать то, что в противном случае было бы приемлемо малыми ошибками. Поэтому рекомендуется использовать PRSV2 для расчетов равновесия при применении этих моделей к проекту. Однако, как только состояние равновесия определено, термодинамические значения фаз в состоянии равновесия могут быть определены с помощью одной из нескольких более простых моделей с разумной степенью точности. ^[18]

Следует отметить, что в уравнении PRSV подгонка параметров выполняется в определенном диапазоне температур, который обычно ниже критической температуры. Выше критической температуры альфа-функция PRSV имеет тенденцию расходиться и становиться произвольно большой вместо того, чтобы стремиться к нулю. Из-за этого следует использовать альтернативные уравнения для альфа выше критической точки. Это особенно важно для систем, содержащих водород, который часто находится при температурах намного выше критической точки. Было предложено несколько альтернативных формулировок. Некоторые из них хорошо известны Twu et al или Mathias и Copeman.

Уравнение состояния Пенга-Робинсона-Бабалолы (PRB) [ править ]

Бабалола ^[19] модифицировал уравнение состояния Пенга – Робинсона следующим образом:

${\displaystyle P=\left({\frac {RT}{v-b}}\right)-\left[{\frac {(a_{1}P+a_{2})\alpha }{v(v+b)+b(v-b)}}\right]}$

Параметр силы притяжения «a», который считался константой по отношению к давлению в уравнении состояния Пенга – Робинсона. Модификация, в которой параметр «а» рассматривался как переменная относительно давления для многокомпонентных многофазных систем коллектора высокой плотности, была направлена ​​на повышение точности прогноза свойств сложных пластовых флюидов для моделирования PVT. Вариация была представлена ​​линейным уравнением, где ₁ и ₂ представляют наклон и точку пересечения, соответственно, прямой линии, полученной при нанесении значений параметра «а» в зависимости от давления.

Эта модификация увеличивает точность уравнения состояния Пенга – Робинсона для более тяжелых жидкостей, особенно в диапазонах давления (> 30 МПа), и устраняет необходимость настройки исходного уравнения состояния Пенга-Робинсона. Ценности для

Эллиотт, Суреш, уравнение состояния Донохью [ править ]

Уравнение состояния Эллиотта, Суреша и Донохью (ЭСД) было предложено в 1990 году. ^[20] Уравнение направлено на исправление недостатка в уравнении состояния Пенга – Робинсона, заключающегося в неточности отталкивающего члена Ван-дер-Ваальса. EOS учитывает эффект формы неполярной молекулы и может быть распространен на полимеры с добавлением дополнительного члена (не показан). Сама EOS была разработана путем компьютерного моделирования и должна отражать основную физику размера, формы и водородных связей.

${\displaystyle {\frac {pV_{m}}{RT}}=Z=1+Z^{\rm {rep}}+Z^{\rm {att}}}$

куда:

${\displaystyle Z^{\rm {rep}}={\frac {4c\eta }{1-1.9\eta }}}$

${\displaystyle Z^{\rm {att}}=-{\frac {z_{m}q\eta Y}{1+k_{1}\eta Y}}}$

и

${\displaystyle c}$"коэффициент формы" для сферических молекул${\displaystyle c=1}$

Для несферических молекул предлагается следующее соотношение

${\displaystyle c=1+3.535\omega +0.533\omega ^{2}}$где - ацентрический фактор .${\displaystyle \omega }$

Приведенная числовая плотность определяется как${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta ={\frac {v^{*}n}{V}}}$

куда

${\displaystyle v^{*}}$ - параметр характерного размера

${\displaystyle n}$ это количество молекул

${\displaystyle V}$ объем контейнера

Параметр характерного размера связан с параметром формы через${\displaystyle c}$

${\displaystyle v^{*}={\frac {kT_{c}}{P_{c}}}\Phi }$

куда

${\displaystyle \Phi ={\frac {0.0312+0.087(c-1)+0.008(c-1)^{2}}{1.000+2.455(c-1)+0.732(c-1)^{2}}}}$и - постоянная Больцмана .${\displaystyle k}$

Принимая во внимание взаимосвязь между постоянной Больцмана и Универсальной газовой постоянной и отмечая, что количество молекул может быть выражено через число Авогадро и молярную массу , приведенная числовая плотность может быть выражена через молярный объем как${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta ={\frac {RT_{c}}{P_{c}}}\Phi {\frac {1}{V_{m}}}.}$

Параметр формы, фигурирующий в члене Притяжения, и член задаются выражением${\displaystyle q}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle q=1+k_{3}(c-1)}$ (и, следовательно, также равен 1 для сферических молекул).

${\displaystyle Y=\exp \left({\frac {\epsilon }{kT}}\right)-k_{2}}$

где - глубина потенциала прямоугольной ямы и определяется выражением${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\frac {\epsilon }{k}}={\frac {1.000+0.945(c-1)+0.134(c-1)^{2}}{1.023+2.225(c-1)+0.478(c-1)^{2}}}}$

${\displaystyle z_{m}}$, , И константы в уравнении состояния:${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle k_{3}}$

${\displaystyle z_{m}=9.49}$ для сферических молекул (c = 1)

${\displaystyle k_{1}=1.7745}$ для сферических молекул (c = 1)

${\displaystyle k_{2}=1.0617}$ для сферических молекул (c = 1)

${\displaystyle k_{3}=1.90476.}$

Модель может быть расширена на ассоциативные компоненты и смеси неассоциированных компонентов. Подробности см. В статье JR Elliott, Jr. et al. (1990). ^[20]

Cubic-Plus-Association [ править ]

Уравнение состояния Cubic-Plus-Association (CPA) объединяет уравнение Соаве-Редлиха-Квонга с членом ассоциации из теории Вертхайма. ^[21] Разработка уравнения началась в 1995 году как исследовательский проект, финансируемый Shell, а в 1996 году была опубликована статья, в которой было представлено уравнение состояния CPA. ^{[21] [22]}

${\displaystyle P={\frac {RT}{(V-b)}}-{\frac {a}{V(V+b)}}+{\frac {RT}{V}}\rho \sum _{A}\left[{\frac {1}{X^{A}}}-{\frac {1}{2}}\right]{\frac {\partial X^{A}}{\partial \rho }}}$

Термин ассоциации - это мольная доля молекул, не связанных в сайте A.${\displaystyle X^{A}}$

Некубические уравнения состояния [ править ]

Уравнение состояния Дитеричи [ править ]

${\displaystyle p(V-b)=RTe^{-{\frac {a}{RTV}}}}$

где a связано с взаимодействием между молекулами, а b учитывает конечный размер молекул, аналогично уравнению Ван-дер-Ваальса.

Приведенные координаты:

${\displaystyle T_{c}={\frac {a}{4Rb}},\ p_{c}={\frac {a}{4b^{2}e^{2}}},\ V_{c}=2b.}$

Вириальные уравнения состояния [ править ]

Вириальное уравнение состояния [ править ]

${\displaystyle {\frac {pV_{m}}{RT}}=A+{\frac {B}{V_{m}}}+{\frac {C}{V_{m}^{2}}}+{\frac {D}{V_{m}^{3}}}+\cdots }$

Хотя обычно это не самое удобное уравнение состояния, вириальное уравнение важно, потому что оно может быть получено непосредственно из статистической механики . Это уравнение также называется уравнением Камерлинг-Оннеса . Если соответствующие предположения сделаны относительно математической формы межмолекулярных сил, теоретические выражения могут быть разработаны для каждого из коэффициентов . A - это первый вириальный коэффициент, который имеет постоянное значение 1 и утверждает, что при большом объеме все жидкости ведут себя как идеальные газы. Второй вириальный коэффициент B соответствует взаимодействиям между парами молекул, Cтройняшкам и так далее. Точность можно увеличивать до бесконечности, учитывая условия более высокого порядка. Коэффициенты B , C , D и т. Д. Зависят только от температуры.

Одно из наиболее точных уравнений состояния - это уравнение Бенедикта-Уэбба-Рубина-Старлинга ^[23], показанное ниже. Это было очень близко к вириальному уравнению состояния. Если экспоненциальный член в нем разложить до двух членов Тейлора, можно вывести вириальное уравнение:

${\displaystyle p=\rho RT+\left(B_{0}RT-A_{0}-{\frac {C_{0}}{T^{2}}}+{\frac {D_{0}}{T^{3}}}-{\frac {E_{0}}{T^{4}}}\right)\rho ^{2}+\left(bRT-a-{\frac {d}{T}}+{\frac {c}{T^{2}}}\right)\rho ^{3}+\alpha \left(a+{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{6}}$

Обратите внимание, что в этом вириальном уравнении четвертый и пятый вириальные члены равны нулю. Второй вириальный коэффициент монотонно убывает при понижении температуры. Третий вириальный коэффициент монотонно увеличивается с понижением температуры.

Уравнение состояния BWR [ править ]

${\displaystyle p=\rho RT+\left(B_{0}RT-A_{0}-{\frac {C_{0}}{T^{2}}}+{\frac {D_{0}}{T^{3}}}-{\frac {E_{0}}{T^{4}}}\right)\rho ^{2}+\left(bRT-a-{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{3}+\alpha \left(a+{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{6}+{\frac {c\rho ^{3}}{T^{2}}}\left(1+\gamma \rho ^{2}\right)\exp \left(-\gamma \rho ^{2}\right)}$

куда

p - давление

ρ - молярная плотность

Значения различных параметров для 15 веществ можно найти в KE Starling (1973). Свойства жидкостей для легких нефтяных систем . Издательская компания "Галф" .

Уравнение состояния Ли-Кеслера [ править ]

Уравнение состояния Ли-Кеслера основано на принципе соответствующих состояний и является модификацией уравнения состояния BWR. ^[24]

Уравнения состояния SAFT [ править ]

Уравнения состояния статистической теории ассоциативных жидкостей (SAFT) предсказывают влияние размера и формы молекул и водородных связей на свойства и фазовое поведение жидкости. Уравнение состояния SAFT было разработано с использованием статистико-механических методов (в частности, теории возмущений ) для описания взаимодействий между молекулами в системе. ^{[25] [26] [27]} Идея уравнения состояния SAFT была впервые предложена Chapman et al. в 1988 и 1989 годах. ^{[25] [26] [27]} Было предложено множество различных версий уравнения состояния SAFT, но все они используют одни и те же термины для цепочек и ассоциаций, выведенные Чепменом. ^{[25] [28] [29]}Уравнения состояния SAFT представляют молекулы как цепочки типично сферических частиц, которые взаимодействуют друг с другом посредством отталкивания на короткие расстояния, притяжения на большие расстояния и водородных связей между определенными участками. ^[27] Одна популярная версия уравнения состояния SAFT включает влияние длины цепи на экранирование дисперсионных взаимодействий между молекулами ( PC-SAFT ). ^[30] В общем, уравнения SAFT дают более точные результаты, чем традиционные кубические уравнения состояния, особенно для систем, содержащих жидкости или твердые тела. ^{[31] [32]}

Многопараметрические уравнения состояния [ править ]

Форма функции Гельмгольца [ править ]

Многопараметрические уравнения состояния (MEOS) могут использоваться для представления чистых жидкостей с высокой точностью как в жидком, так и в газообразном состояниях. MEOS представляют функцию Гельмгольца жидкости как сумму идеального газа и остаточных членов. Оба термина явно относятся к пониженной температуре и пониженной плотности - таким образом:

${\displaystyle {\frac {a(T,\rho )}{RT}}={\frac {a^{o}(T,\rho )+a^{r}(T,\rho )}{RT}}=\alpha ^{o}(\tau ,\delta )+\alpha ^{r}(\tau ,\delta )}$

куда:

${\displaystyle \tau ={\frac {T_{r}}{T}},\delta ={\frac {\rho }{\rho _{r}}}}$

Пониженные плотность и температура обычно, хотя и не всегда, являются критическими значениями для чистой жидкости.

Другие термодинамические функции могут быть получены из MEOS, используя соответствующие производные функции Гельмгольца; следовательно, поскольку интеграция MEOS не требуется, существует несколько ограничений в отношении функциональной формы идеальных или остаточных членов. Типичный MEOS использует более 50 параметров жидкости, но может отображать свойства жидкости с высокой точностью. В настоящее время MEOS доступны примерно для 50 наиболее распространенных промышленных жидкостей, включая хладагенты. Также существуют модели смесей.

Другие уравнения состояния интереса [ править ]

Усиленное уравнение состояния [ править ]

При рассмотрении воды под очень высоким давлением, в таких ситуациях, как подводные ядерные взрывы , акустическая ударная литотрипсия и сонолюминесценция , часто используется усиленное уравнение состояния:

${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e-\gamma p^{0}\,}$

где - внутренняя энергия на единицу массы, - эмпирически определенная константа, обычно принимаемая равной примерно 6,1, и - еще одна константа, представляющая молекулярное притяжение между молекулами воды. Величина поправки составляет около 2 гигапаскалей (20 000 атмосфер).${\displaystyle e}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle p^{0}}$

Уравнение сформулировано в такой форме, потому что скорость звука в воде определяется выражением .${\displaystyle c^{2}=\gamma \left(p+p^{0}\right)/\rho }$

Таким образом, вода ведет себя так, как будто это идеальный газ, который уже находится под давлением около 20000 атмосфер (2 ГПа), и объясняет, почему вода обычно считается несжимаемой: когда внешнее давление изменяется с 1 атмосферы на 2 атмосферы (от 100 кПа до 200 кПа). кПа) вода ведет себя как идеальный газ при изменении от 20 001 до 20 002 атмосфер (от 2000,1 МПа до 2000,2 МПа).

Это уравнение неверно предсказывает удельную теплоемкость воды, но существует несколько простых альтернатив для сильно неизэнтропических процессов, таких как сильные удары.

Ультрарелятивистское уравнение состояния [ править ]

Ультрарелятивистская жидкость имеет уравнение состояния

${\displaystyle p=\rho _{m}c_{s}^{2}}$

где - давление, - массовая плотность, - скорость звука .${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho _{m}}$${\displaystyle c_{s}}$

Идеальное уравнение состояния Бозе [ править ]

Уравнение состояния идеального бозе-газа имеет вид

${\displaystyle pV_{m}=RT~{\frac {{\text{Li}}_{\alpha +1}(z)}{\zeta (\alpha )}}\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{\alpha }}$

где α - показатель, специфичный для системы (например, в отсутствие потенциального поля, α = 3/2), z - это exp ( μ / kT ), где μ - химический потенциал , Li - полилогарифм , ζ - риманова дзета-функция , а T _c - критическая температура, при которой начинает образовываться конденсат Бозе – Эйнштейна .

Уравнение состояния Джонса – Уилкинса – Ли для взрывчатых веществ (уравнение JWL) [ править ]

Уравнение состояния от Джонса-Wilkins-Ли используется для описания продуктов детонации взрывчатых веществ.

${\displaystyle p=A\left(1-{\frac {\omega }{R_{1}V}}\right)\exp(-R_{1}V)+B\left(1-{\frac {\omega }{R_{2}V}}\right)\exp \left(-R_{2}V\right)+{\frac {\omega e_{0}}{V}}}$

Отношение определяется как плотность взрывчатого вещества (твердая часть) и плотность продуктов детонации. Параметры , , , и приводится несколько ссылок. ^[33] Кроме того, в таких справочных материалах указаны начальная плотность (твердая часть) , скорость детонации , давление Чепмена – Жуге и химическая энергия взрывчатого вещества . Эти параметры получены путем подгонки JWL-EOS к экспериментальным результатам. Типичные параметры некоторых взрывчатых веществ перечислены в таблице ниже.${\displaystyle V=\rho _{e}/\rho }$${\displaystyle \rho _{e}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle V_{D}}$${\displaystyle P_{CJ}}$${\displaystyle e_{0}}$

Материал	${\displaystyle \rho _{0}\,}$(г / см 3 )	${\displaystyle v_{D}\,}$ (РС)	${\displaystyle p_{CJ}\,}$ (ГПа)	${\displaystyle A\,}$ (ГПа)	${\displaystyle B\,}$ (ГПа)	${\displaystyle R_{1}\,}$	${\displaystyle R_{2}\,}$	${\displaystyle \omega \,}$	${\displaystyle e_{0}\,}$ (ГПа)
TNT	1,630	6930	21,0	373,8	3,747	4,15	0,90	0,35	6.00
Состав B	1,717	7980	29,5	524,2	7,678	4.20	1,10	0,35	8,50
АТС 9501 [34]	1,844		36,3	852,4	18.02	4,55	1.3	0,38	10.2

Уравнения состояния твердых тел и жидкостей [ править ]

Распространенные сокращения: ${\displaystyle \eta =\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{\frac {1}{3}}~,~~K_{0}^{\prime }={\frac {dK_{0}}{dp}}}$

• Уравнение Тейта для воды и других жидкостей. Некоторые уравнения называются уравнениями Тейта .
• Уравнение состояния Мурнагана

${\displaystyle p(V)={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\eta ^{-3K_{0}'}-1\right]}$

• Уравнение состояния Берча – Мурнагана.

${\displaystyle p(V)={\frac {3K_{0}}{2}}\left({\frac {1-\eta ^{2}}{\eta ^{7}}}\right)\left\{1+{\frac {3}{4}}\left(K_{0}'-4\right)\left({\frac {1-\eta ^{2}}{\eta ^{2}}}\right)\right\}}$

• Уравнение состояния Стейси-Бреннана-Ирвина ^[35] (ложно часто ссылаются на уравнение состояния Роуза-Винэ)

${\displaystyle p(V)=3K_{0}\left({\frac {1-\eta }{\eta ^{2}}}\right)\exp \left[{\frac {3}{2}}\left(K_{0}'-1\right)(1-\eta )\right]}$

• Модифицированное уравнение состояния Ридберга ^{[36] [37] [38]} (более разумная форма для сильного сжатия)

${\displaystyle p(V)=3K_{0}\left({\frac {1-\eta }{\eta ^{5}}}\right)\exp \left[{\frac {3}{2}}\left(K_{0}'-3\right)(1-\eta )\right]}$

• Адаптированное полиномиальное уравнение состояния ^[39] (форма второго порядка = AP2, адаптированная для экстремального сжатия)

${\displaystyle p(V)=3K_{0}\left({\frac {1-\eta }{\eta ^{5}}}\right)\exp \left[c_{0}(1-\eta )\right]\left\{1+c_{2}\eta (1-\eta )\right\}}$

с

${\displaystyle c_{0}=-\ln \left({\frac {3K_{0}}{p_{\text{FG0}}}}\right)~,~~p_{\text{FG0}}=a_{0}\left({\frac {Z}{V_{0}}}\right)^{\frac {5}{3}}~,~~c_{2}={\frac {3}{2}}\left(K_{0}'-3\right)-c_{0}}$

где = 0,02337 ГПа.нм ⁵ . Общее количество электронов в начальном объеме определяет давление ферми-газа , которое обеспечивает правильное поведение при экстремальном сжатии. Пока нет известных «простых» твердых тел, требующих членов более высокого порядка.${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle p_{\text{FG0}}}$

• Адаптированное полиномиальное уравнение состояния ^[39] (форма третьего порядка = AP3)

${\displaystyle p(V)=3K_{0}\left({\frac {1-\eta }{\eta ^{5}}}\right)\exp \left[c_{0}(1-\eta )\right]\left\{1+c_{2}\eta (1-\eta )+c_{3}\eta (1-\eta )^{2}\right\}}$

• Уравнение состояния Джонсона – Холмквиста

${\displaystyle p(V)={\begin{cases}k_{1}~\xi +k_{2}~\xi ^{2}+k_{3}~\xi ^{3}+\Delta p&\qquad {\text{Compression}}\\k_{1}~\xi &\qquad {\text{Tension}}\end{cases}}~;~~\xi :={\cfrac {V_{0}}{V}}-1}$

• Уравнение состояния Ми – Грюнайзена (более подробное обсуждение см. В ^[40] )

${\displaystyle p(V)-p_{0}={\frac {\Gamma }{V}}\left(e-e_{0}\right)}$

• Уравнение состояния Антона-Шмидта

${\displaystyle p(V)=-\beta \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{n}\ln \left({\frac {V}{V_{0}}}\right)}$

где - объемный модуль упругости в равновесном объеме и обычно около −2 часто связан с параметром Грюнайзена соотношением${\displaystyle \beta =K_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle n=-{\frac {K'_{0}}{2}}}$${\displaystyle n=-{\frac {1}{6}}-\gamma _{G}}$

См. Также [ править ]

• Газовые законы
• Функция отправления
• Таблица термодинамических уравнений
• Настоящий газ
• Расширение кластера

Ссылки [ править ]