Уравнение диффузии

Уравнение диффузии представляет собой параболическое уравнение в частных производных . В физике он описывает макроскопическое поведение многих микрочастиц в броуновском движении , возникающее в результате случайных движений и столкновений частиц (см . Законы диффузии Фика ). В математике это связано с марковскими процессами , такими как случайные блуждания , и применяется во многих других областях, таких как материаловедение , теория информации и биофизика . Уравнение диффузии является частным случаем уравнения конвекции-диффузии , когда объемная скорость равна нулю.

Заявление [ править ]

Уравнение обычно записывается как:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot {\ big [} D (\ phi, \ mathbf {r}) \ \ набла \ фи (\ mathbf {r}, t) {\ big]},}$

где $ϕ (r, t)$ - плотность диффундирующего материала в точке $r$ и время $t,$ а $D (ϕ, r)$ - коэффициент коллективной диффузии для плотности $ϕ$ в точке $r$ ; а $\nabla$ представляет собой векторный дифференциальный оператор del . Если коэффициент диффузии зависит от плотности, тогда уравнение нелинейное, в противном случае оно линейное.

Вышеприведенное уравнение применимо, когда коэффициент диффузии изотропен ; в случае анизотропной диффузии $D$ является симметричной положительно определенной матрицей , и уравнение записывается (для трехмерной диффузии) как:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ { 3} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left [D_ {ij} (\ phi, \ mathbf {r}) {\ frac {\ partial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ partial x_ {j}}} \ right]}$

Если $D$ является постоянным, то уравнение сводится к следующему линейному дифференциальному уравнению :

{\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),

что идентично уравнению теплопроводности .

Историческое происхождение [ править ]

Уравнение диффузии частиц было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году ^[1].

Вывод [ править ]

Уравнение диффузии можно тривиально вывести из уравнения неразрывности , в котором говорится, что изменение плотности в любой части системы происходит из-за притока и оттока материала в эту часть системы и из нее. Фактически, никакой материал не создается и не уничтожается:

{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,

где j - поток диффундирующего материала. Уравнение диффузии может быть легко получено отсюда в сочетании с первым феноменологическим законом Фика , который гласит, что поток диффундирующего материала в любой части системы пропорционален локальному градиенту плотности:

\mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).

Если необходимо учитывать дрейф, уравнение Смолуховского дает соответствующее обобщение.

Дискретность [ править ]

Уравнение диффузии непрерывно как в пространстве, так и во времени. Можно дискретизировать пространство, время или и пространство и время, которые возникают в приложении. Одно только дискретное время соответствует снятию временных срезов непрерывной системы, и никаких новых явлений не возникает. Только при дискретизации пространства функция Грина становится дискретным гауссовым ядром , а не непрерывным гауссовым ядром . При дискретизации времени и пространства получается случайное блуждание .

Дискретизация (Изображение) [ править ]

Правило продукта используется для перезаписи анизотропного уравнения тензора диффузии, в стандартных схемах дискретизации, так как прямая дискретизация уравнения диффузии только с первым порядком пространственными центральных разностями приводят к шахматным артефактам. Переписанное уравнение диффузии, используемое при фильтрации изображений:

${\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{T}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}$

где «tr» обозначает след тензора 2-го ранга , а верхний индекс « T » обозначает транспонирование , в котором при фильтрации изображения D ( ϕ , r ) являются симметричными матрицами, построенными из собственных векторов тензоров структуры изображения . Затем пространственные производные могут быть аппроксимированы двумя центральными конечными разностями первого и второго порядков . Результирующий алгоритм диффузии может быть записан как свертка изображения с изменяющимся ядром (трафаретом) размером 3 × 3 в 2D и 3 × 3 × 3 в 3D.

См. Также [ править ]

Уравнение неразрывности
Уравнение тепла
Уравнение Фоккера – Планка.
Законы диффузии Фика
Уравнение Максвелла – Стефана
Уравнение переноса излучения и теория диффузии для переноса фотонов в биологической ткани
Оптимизация распространения
Численное решение уравнения конвекции – диффузии.

Ссылки [ править ]

^ Фик, Адольф (1855). «Ueber Diffusion» . Annalen der Physik und Chemie . 170 (1): 59–86. DOI : 10.1002 / andp.18551700105 . ISSN 0003-3804 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Carslaw, HS и Jaeger, JC (1959). Проводимость тепла в твердых телах . Оксфорд: Clarendon Press
Крэнк, Дж. (1956). Математика диффузии . Оксфорд: Clarendon Press
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Benjamin, ISBN 0-8053-7002-1
Thambynayagam, RK M (2011). Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров . Макгроу-Хилл

Внешние ссылки [ править ]

Калькулятор диффузии примесей и легирующих добавок в кремнии
Учебное пособие по теории и решению уравнения диффузии.
Классическая и наноразмерная диффузия (с фигурами и анимацией)

[Fick1855-1] Фик, Адольф (1855). «Ueber Diffusion» . Annalen der Physik und Chemie . 170 (1): 59–86. DOI : 10.1002 / andp.18551700105 . ISSN 0003-3804 .

[1].