Решение одномерного уравнения Фоккера – Планка как с дрейфом, так и с диффузионным членом. В этом случае начальным условием является дельта-функция Дирака, центрированная от нулевой скорости. Со временем это распределение расширяется за счет случайных импульсов.
В одном пространственном измерении x для процесса Ито, управляемого стандартным винеровским процессом и описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (SDE)
с учетом дрейфа и коэффициента диффузии уравнение Фоккера – Планка для плотности вероятности случайной величины имеет вид
Связь между SDE Ито и уравнением Фоккера – Планка
В дальнейшем используйте .
Определите бесконечно малый генератор (следующее можно найти в [8] ):
Здесь вводится вероятность перехода , вероятность перехода из в ; ожидание можно записать как
Теперь заменим в определении , умножим на и проинтегрируем по . Лимит взят на
Обратите внимание, что
что является теоремой Чепмена – Колмогорова. Изменив фиктивную переменную на , мы получим
которая является производной по времени. Наконец мы приходим к
Отсюда можно вывести обратное уравнение Колмогорова. Если мы вместо того, чтобы использовать сопряженный оператор , , определяемый таким образом, что
затем мы приходим к прямому уравнению Колмогорова или уравнению Фоккера – Планка, которое, упрощая обозначения , в своей дифференциальной форме имеет вид
Остается проблема явного определения . Это можно сделать, исходя из интегральной формы леммы Ито :
Часть, которая зависит от, исчезла из-за свойства мартингейла.
Затем для частицы, подчиняющейся уравнению Ито, используя
легко вычислить, используя интегрирование по частям, что
которые приводят нас к уравнению Фоккера – Планка:
Хотя уравнение Фоккера – Планка используется с задачами, в которых известно начальное распределение, если задача состоит в том, чтобы узнать распределение в предыдущие моменты времени, можно использовать формулу Фейнмана – Каца , которая является следствием обратного уравнения Колмогорова.
Стохастический процесс, определенный выше в смысле Ито, может быть переписан в рамках соглашения Стратоновича как SDE Стратоновича:
Он включает добавленный дрейф, вызванный шумом, из-за эффектов градиента диффузии, если шум зависит от состояния. Это соглашение чаще используется в физических приложениях. Действительно, хорошо известно, что любое решение SDE Стратоновича является решением SDE Ито.
Уравнение нулевого сноса с постоянной диффузией можно рассматривать как модель классического броуновского движения :
Эта модель имеет дискретный спектр решений, если добавить условие фиксированных границ для :
В [9] показано, что в этом случае аналитический спектр решений позволяет вывести соотношение локальной неопределенности для фазового объема координата-скорость:
Здесь - минимальное значение соответствующего диффузионного спектра , а и представляют собой неопределенность определения координаты – скорости.
Высшие измерения [ править ]
В более общем смысле, если
где и являются N - мерных случайных векторов , представляет собой Н М матрица и представляет собой М - мерный стандартный винеровский процесс , плотность вероятности для удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка
с вектором сноса и тензором диффузии , т.е.
Если вместо СДУ Ито рассматривается СДУ Стратоновича ,
уравнение Фоккера – Планка будет выглядеть так: [8] : 129
Примеры [ править ]
Винеровский процесс [ править ]
Стандартный скалярный винеровский процесс порождается стохастическим дифференциальным уравнением
Здесь дрейфовый член равен нулю, а коэффициент диффузии равен 1/2. Таким образом, соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид
которое представляет собой простейшую форму уравнения диффузии . Если начальное условие - решение
Процесс Орнштейна – Уленбека [ править ]
Процесс Орнштейна – Уленбека - это процесс, определяемый как
.
с . Физически это уравнение может быть мотивировано следующим образом: частица массы со скоростью, движущаяся в среде, например жидкости, будет испытывать силу трения, которая сопротивляется движению, величина которого может быть аппроксимирована пропорциональной скорости частицы с . Другие частицы в среде будут случайным образом толкать частицу при столкновении с ней, и этот эффект можно аппроксимировать с помощью члена белого шума; . Второй закон Ньютона записывается как
Принимая для простоты и меняя обозначения , как ведет к привычной форме .
Соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид
Стационарное решение ( ) есть
Физика плазмы [ править ]
В физике плазмы, то функция распределения для одного вида частиц , , занимает место в функции плотности вероятности . Соответствующее уравнение Больцмана дается формулой
где третий член включает ускорение частиц за счет силы Лоренца, а член Фоккера – Планка в правой части представляет эффекты столкновений частиц. Величины и представляют собой среднее изменение скорости, которое испытывает частица определенного типа из-за столкновений со всеми другими частицами в единицу времени. Выражения для этих величин приведены в другом месте. [10] Если не учитывать столкновения, уравнение Больцмана сводится к уравнению Власова .
Уравнение диффузии Смолуховского [11] [ править ]
Уравнение диффузии Смолуховского - это уравнение Фоккера-Планка, ограниченное броуновскими частицами, на которые действует внешняя сила .
Где - постоянная диффузии и . Важность этого уравнения заключается в том, что оно позволяет учесть влияние температуры на систему частиц и пространственно-зависимую константу диффузии.
Вывод уравнения Смолуховского из уравнения Фоккера-Планка.
Начнем с уравнения Ланжевена для броуновской частицы во внешнем поле , где - член трения, - флуктуирующая сила, действующая на частицу, и - амплитуда флуктуации.
В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции . Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид
Что порождает следующее уравнение Фоккера-Планка,
Преобразуя уравнение Фоккера-Планка,
Где . Обратите внимание , что коэффициент диффузии не обязательно может быть пространственно независимым, если он зависит или зависит от него.
Далее, общее количество частиц в любом конкретном объеме определяется выражением
Следовательно, поток частиц можно определить, взяв производную по времени от числа частиц в данном объеме, подставив уравнение Фоккера-Планка и затем применив теорему Гаусса .
В состоянии равновесия предполагается, что поток стремится к нулю. Следовательно, статистика Больцмана может применяться для вероятности нахождения частицы в состоянии равновесия, где - консервативная сила, а вероятность нахождения частицы в состоянии задается как .
Это соотношение является реализацией теоремы о флуктуации-диссипации . Применяя к и используя теорему Флуктуационно рассеивание,
Перестановка,
Таким образом, уравнение Фоккера-Планка становится уравнением Смолуховского:
Для произвольной силы .
Вычислительные соображения [ править ]
Броуновское движение следует уравнению Ланжевена , которое может быть решено для множества различных стохастических воздействий с усреднением результатов (канонический ансамбль в молекулярной динамике ). Однако вместо этого ресурсоемкого подхода можно использовать уравнение Фоккера – Планка и рассмотреть вероятность того, что частица будет иметь скорость в интервале, когда она начинает свое движение в момент времени 0.
Моделирование броуновской динамики для частиц в одномерном линейном потенциале по сравнению с решением уравнения Фоккера-Планка.
Пример одномерного линейного потенциала [11] [12] [ править ]
Теория [ править ]
Начиная с линейного потенциала вида соответствующее уравнение Смолуховского принимает вид
Где постоянная диффузии постоянна в пространстве и времени. Граничные условия таковы, что вероятность обращается в нуль при начальном условии ансамбля частиц, стартующих в том же месте ,.
Определение и применение преобразования координат,
С уравнением Смолуховского становится,
Это уравнение свободной диффузии с решением,
И после преобразования обратно к исходным координатам,
Моделирование [13] [14] [ редактировать ]
Симуляция справа была завершена с использованием симуляции броуновской динамики . Начиная с уравнения Ланжевена для системы,
Где - член трения, - флуктуирующая сила, действующая на частицу, и - амплитуда флуктуации. В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции . Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид
Для броуновского динамического моделирования предполагается, что сила флуктуаций является гауссовой, а амплитуда зависит от температуры системы . Переписывая уравнение Ланжевена,
Где соотношение Эйнштейна. Интегрирование этого уравнения было выполнено с использованием метода Эйлера-Маруямы для численной аппроксимации пути этой броуновской частицы.
Решение [ править ]
Уравнение Фоккера – Планка, являющееся уравнением в частных производных , может быть решено аналитически только в особых случаях. Формальная аналогия уравнения Фоккера – Планка с уравнением Шредингера позволяет использовать передовые операторные техники, известные из квантовой механики, для его решения в ряде случаев. Кроме того, в случае сверхзатухающей динамики, когда уравнение Фоккера – Планка содержит вторые частные производные по всем пространственным переменным, уравнение может быть записано в форме основного уравнения, которое можно легко решить численно. [15]
Во многих приложениях интересует только установившееся распределение вероятностей , которое можно найти из . Вычисление среднегоВремя первого прохождения и вероятности расщепления могут быть сведены к решению обыкновенного дифференциального уравнения, которое тесно связано с уравнением Фоккера – Планка.
Частные случаи с известным решением и обращением [ править ]
В финансовой математике для моделирования волатильности опционов через локальную волатильность возникает проблема получения коэффициента диффузии, согласующегося с плотностью вероятности, полученной из котировок рыночных опционов. Таким образом, проблема заключается в инверсии уравнения Фоккера – Планка: учитывая плотность f (x, t) опциона, лежащего в основе X, выведенную из рынка опционов, мы стремимся найти локальную волатильность, совместимую с f . Это обратная задача , которая была решена Дюпире (1994, 1997) с помощью непараметрического решения. [16] [17]Бриго и Меркурио (2002, 2003) предлагают решение в параметрической форме через конкретную локальную волатильность, совместимую с решением уравнения Фоккера-Планка, заданным смешанной моделью . [18] [19] Дополнительная информация доступна также в Fengler (2008), [20] Gatheral (2008), [21] и Musiela and Rutkowski (2008). [22]
Уравнение Фоккера – Планка и интеграл по путям [ править ]
Каждое уравнение Фоккера – Планка эквивалентно интегралу по путям . Формулировка интеграла по путям - отличная отправная точка для применения методов теории поля. [23] Это используется, например, в критической динамике .
Вывод интеграла по путям возможен аналогично квантовой механике. Вывод уравнения Фоккера – Планка с одной переменной выглядит следующим образом. Начните со вставки дельта-функции, а затем интегрирования по частям:
Производные здесь действуют только на функцию, но не на . Интегрировать по временному интервалу ,
Вставьте интеграл Фурье
для -функции,
Это уравнение выражается как функционал от . Итерация времени и выполнение предела дает интеграл по пути с действием
Сопряженные переменные называются «переменными ответа». [24]
Хотя формально они эквивалентны, различные проблемы могут быть более легко решены с помощью уравнения Фоккера – Планка или формулировки интеграла по путям. Равновесное распределение, например, может быть получено более непосредственно из уравнения Фоккера – Планка.
↑ Лео П. Каданов (2000). Статистическая физика: статика, динамика и перенормировка . World Scientific. ISBN 978-981-02-3764-6.
Перейти ↑ Fokker, AD (1914). "Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld" . Аня. Phys. 348 (4. Folge 43): 810–820. Bibcode : 1914AnP ... 348..810F . DOI : 10.1002 / andp.19143480507 .
^ Планк, М. (1917). "Uber einen Satz der statistischen Dynamik und seine Erweiterung in der Quantentheorie" . Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin . 24 : 324–341.
↑ Колмогоров, Андрей (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitstheorie" [Об аналитических методах в теории вероятностей]. Mathematische Annalen (на немецком языке). 104 (1): 415–458 [стр. 448–451]. DOI : 10.1007 / BF01457949 . S2CID 119439925 .
↑ Н. Н. Боголюбов-младший и Д. П. Санкович (1994). «Н. Н. Боголюбов и статистическая механика». Русская математика. Обзоры 49 (5): 19–49. DOI : 10,1070 / RM1994v049n05ABEH002419
^ Н. Н. Боголюбов и Н. М. Крылова (1939). Уравнения Фоккера – Планка, генерируемые в теории возмущений методом, основанным на спектральных свойствах возмущенного гамильтониана . Записки Кафедры Физики Академии Наук Украинской ССР 4 : 81–157 (на украинском языке).
^ Dhont, JKG (1996). Введение в динамику коллоидов . Эльзевир. п. 183. ISBN. 978-0-08-053507-4.
^ a b Öttinger, Hans Christian (1996). Стохастические процессы в полимерных жидкостях . Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 75. ISBN 978-3-540-58353-0.
^ Каменщиков, С. (2014). «Кластеризация и неопределенность в системах совершенного хаоса». Журнал Хаоса . 2014 : 1–6. arXiv : 1301,4481 . DOI : 10.1155 / 2014/292096 . S2CID 17719673 .
Перейти ↑ Rosenbluth, MN (1957). "Уравнение Фоккера – Планка для силы, обратной квадрату" . Физический обзор . 107 (1): 1–6. Полномочный код : 1957PhRv..107 .... 1R . DOI : 10.1103 / Physrev.107.1 .
^ а б Иоан, Костин (весна 2000 г.). "Уравнение диффузии Смолуховского" . Неравновесная статистическая механика: Конспект .
^ Kosztin, Ioan (весна 2000). «Прикладной метод броуновской динамики» . Неравновесная статистическая механика: Конспект .
^ Голубец Виктор, Крой Клаус и Стеффенони Стефано (2019). «Физически согласованный численный решатель для нестационарных уравнений Фоккера-Планка». Phys. Rev. E . 99 (4): 032117. arXiv : 1804.01285 . Bibcode : 2019PhRvE..99c2117H . DOI : 10.1103 / PhysRevE.99.032117 . PMID 30999402 . S2CID 119203025 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Бруно Дюпире (1994) Цены с улыбкой. Журнал «Риск» , 18–20 января.
^ Бруно Дюпире (1997) Ценообразование и хеджирование с улыбками. Математика производных ценных бумаг. Под редакцией MAH Dempster и SR Pliska, Cambridge University Press, Кембридж, 103–111. ISBN 0-521-58424-8 .
^ Бриго, Д .; Меркурио, Фабио (2002). «Логнормальная динамика смеси и калибровка для волатильности рынка улыбается». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 5 (4): 427–446. CiteSeerX 10.1.1.210.4165 . DOI : 10.1142 / S0219024902001511 .
^ Бриго, Д .; Mercurio, F .; Сарторелли, Г. (2003). «Альтернативная динамика цен на активы и волатильность улыбка». Количественные финансы . 3 (3): 173–183. DOI : 10.1088 / 1469-7688 / 3/3/303 . S2CID 154069452 .
Перейти ↑ Fengler, MR (2008). Полупараметрическое моделирование предполагаемой волатильности, 2005, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-26234-3
^ Джим Гатерал (2008). Поверхность волатильности. Wiley and Sons, ISBN 978-0-471-79251-2 .
^ Марек Мусиела, Марек Рутковски. Методы мартингейла в финансовом моделировании , 2008 г., 2-е издание, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20966-9 .
↑ Зинн-Джастин, Джин (1996). Квантовая теория поля и критические явления . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851882-2.
Перейти ↑ Janssen, HK (1976). "О лагранжеане для классической динамики поля и ренормализационном групповом расчете динамических критических свойств". Z. Phys . B23 (4): 377–380. Bibcode : 1976ZPhyB..23..377J . DOI : 10.1007 / BF01316547 . S2CID 121216943 .
Дальнейшее чтение [ править ]
Фрэнк, Тилль Дэниел (2005). Нелинейные уравнения Фоккера – Планка: основы и приложения . Серия Спрингера в синергетике. Springer. ISBN 3-540-21264-7.
Гардинер, Криспин (2009). Стохастические методы (4-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-70712-7.
Павлиотис, Григориос А. (2014). Случайные процессы и приложения: диффузионные процессы, уравнения Фоккера – Планка и Ланжевена . Тексты Спрингера по прикладной математике. Springer. ISBN 978-1-4939-1322-0.
Рискен, Ханнес (1996). Уравнение Фоккера – Планка: методы решений и приложения . Серия Спрингера в синергетике (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-61530-Х.