Бездисперсионное уравнение

Бездисперсионные (или квазиклассические) пределы интегрируемых уравнений в частных производных (УЧП) возникают в различных задачах математики и физики и интенсивно изучаются в недавней литературе (см., Например, ссылки ниже). Обычно они возникают при рассмотрении медленно модулированных длинных волн интегрируемой дисперсионной системы УЧП.

Примеры [ править ]

Бездисперсионное уравнение КП [ править ]

Бездисперсный Кадомцев-Петвиашвили уравнение (dKPE), также известное ( с точностью до несущественной линейной замены переменных) в качестве уравнения Хохлова-Заболотского , имеет вид

${\ displaystyle (u_ {t} + uu_ {x}) _ {x} + u_ {yy} = 0, \ qquad (1)}$

Это возникает из-за коммутации

${\ Displaystyle [L_ {1}, L_ {2}] = 0. \ qquad (2)}$

следующей пары однопараметрических семейств векторных полей

${\ displaystyle L_ {1} = \ partial _ {y} + \ lambda \ partial _ {x} -u_ {x} \ partial _ {\ lambda}, \ qquad (3a)}$

${\displaystyle L_{2}=\partial _{t}+(\lambda ^{2}+u)\partial _{x}+(-\lambda u_{x}+u_{y})\partial _{\lambda },\qquad (3b)}$

где - спектральный параметр. DKPE - это бездисперсный предел знаменитого уравнения Кадомцева – Петвиашвили , возникающий при рассмотрении длинных волн этой системы. DKPE, как и многие другие (2 + 1) -мерные интегрируемые бездисперсионные системы, допускает (3 + 1) -мерное обобщение. ^[1]${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x}$

Уравнения моментов Бенни [ править ]

Бездисперсионная система КП тесно связана с иерархией моментов Бенни , каждая из которых представляет собой бездисперсионную интегрируемую систему:

${\displaystyle A_{t_{2}}^{n}+A_{x}^{n+1}+nA^{n-1}A_{x}^{0}=0.}$

Они возникают как условие согласованности между

${\displaystyle \lambda =p+\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}/p^{n+1},}$

и самые простые две эволюции в иерархии:

${\displaystyle p_{t_{2}}+pp_{x}+A_{x}^{0}=0,}$

${\displaystyle p_{t_{3}}+p^{2}p_{x}+(pA^{0}+A^{1})_{x}=0,}$

DKP восстанавливается при установке

${\displaystyle u=A^{0},}$

и устранение остальных моментов, а также определение и .${\displaystyle y=t_{2}}$${\displaystyle t=t_{3}}$

Если установить так, что счетное количество моментов выражается через две функции, то получатся классические уравнения мелкой воды :${\displaystyle A^{n}=hv^{n}}$${\displaystyle A^{n}}$

${\displaystyle h_{y}+(hv)_{x}=0,}$

${\displaystyle v_{y}+vv_{x}+h_{x}=0.}$

Они также могут быть получены при рассмотрении медленно модулированных волновых цепочек решений нелинейного уравнения Шредингера . Такие «редукции», выражающие моменты через конечное число зависимых переменных, описываются уравнением Гиббонса-Царева .

Бездисперсионное уравнение Кортевега – де Фриза [ править ]

Бездисперсный Кортевег-де Фриз (dKdVE) гласит

${\displaystyle u_{t_{3}}=uu_{x}.\qquad (4)}$

Это бездисперсионный или квазиклассический предел уравнения Кортевега – де Фриза . Его удовлетворяют -независимые решения системы dKP. Его также можно получить из -потока иерархии Бенни при установке ${\displaystyle t_{2}}$${\displaystyle t_{3}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}=p^{2}+2A^{0}.}$

Бездисперсное уравнение Новикова – Веселова [ править ]

Бездисперсное уравнение Новиков-Веселов наиболее часто записываются в виде следующего уравнения для вещественной функции :${\displaystyle v=v(x_{1},x_{2},t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\partial _{t}v=\partial _{z}(vw)+\partial _{\bar {z}}(v{\bar {w}}),\\&\partial _{\bar {z}}w=-3\partial _{z}v,\end{aligned}}}$

где используются следующие стандартные обозначения комплексного анализа: , . Функция здесь является вспомогательной функцией, определяемой однозначно с точностью до голоморфного слагаемого.${\displaystyle \partial _{z}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}-i\partial _{x_{2}})}$${\displaystyle \partial _{\bar {z}}={\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}+i\partial _{x_{2}})}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$

Многомерные интегрируемые бездисперсионные системы [ править ]

См. ^[1] для систем с контактными парами Лакса и, например, ^{[2] [3]} и ссылки в нем для других систем.

См. Также [ править ]

• Интегрируемые системы
• Нелинейное уравнение Шредингера.
• Нелинейные системы
• Уравнение Дэви – Стюартсона
• Дисперсионное уравнение в частных производных
• Уравнение Кадомцева – Петвиашвили.
• Уравнение Кортевега – де Фриза

Ссылки [ править ]

• Кодама Ю., Гиббонс Дж. "Интегрируемость бездисперсионной иерархии КП", Нелинейный мир 1, (1990).
• Захаров В.Е. "Бездисперсионный предел интегрируемых систем в 2 + 1 измерениях", Сингулярные пределы дисперсионных волн, Серия НАТО ASI, Том 320, 165-174, (1994).
• Такасаки, Канехиса; Такебе, Такаши (1995). «Интегрируемые иерархии и бездисперсионный предел». Обзоры по математической физике . 07 (5): 743–808. arXiv : hep-th / 9405096 . Bibcode : 1995RvMaP ... 7..743T . DOI : 10.1142 / S0129055X9500030X . S2CID  17351327 .
• Конопельченко, Б.Г. (2007). «Квазиклассическое обобщенное представление Вейерштрасса и бездисперсионное уравнение ДС». Журнал физики A: математический и теоретический . 40 (46): F995 – F1004. arXiv : 0709.4148 . DOI : 10,1088 / 1751-8113 / 40/46 / F03 . S2CID  18451590 .
• Конопельченко, Б.Г .; Моро, А. (2004). «Интегрируемые уравнения в нелинейной геометрической оптике». Исследования по прикладной математике . 113 (4): 325–352. arXiv : nlin / 0403051 . Bibcode : 2004nlin ...... 3051K . DOI : 10.1111 / j.0022-2526.2004.01536.x . S2CID  17611812 .
• Дунайский, Мацей (2008). «Интерполирующая бездисперсионная интегрируемая система». Журнал физики A: математический и теоретический . 41 (31): 315202. arXiv : 0804.1234 . Bibcode : 2008JPhA ... 41E5202D . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 41/31/315202 . S2CID  15695718 .
• Дунайски М. «Солитоны, инстантоны и твисторы», Oxford University Press, 2010.
• Сергеев, А. (2018). «Новые интегрируемые (3 + 1) -мерные системы и контактная геометрия». Письма по математической физике . 108 (2): 359–376. arXiv : 1401.2122 . Bibcode : 2018LMaPh.108..359S . DOI : 10.1007 / s11005-017-1013-4 . S2CID  119159629 .
• Такебе Т. «Лекции по бездисперсионным интегрируемым иерархиям», 2014,

https://rikkyo.repo.nii.ac.jp/index.php?action=pages_view_main&active_action=repository_action_common_download&item_id=9046&item_no=1&attribute_id=22&file_no=1&page_id=13&block_id=49

Внешние ссылки [ править ]

• Ishimori_system в вики по дисперсионным уравнениям