Кноидальная волна

Бомбардировщики армии США пролетают над почти периодической волной на мелководье недалеко от побережья Панамы (1933 г.). Для кноидальных волн характерны острые гребни и очень плоские впадины.

В динамике жидкости , A кноидальная волна является нелинейным и точным периодическим волновым решением К уравнения . Эти решения в терминах эллиптической функции Якоби сп , поэтому они придуман сп oidal волн. Они используются для описания поверхностных гравитационных волн с довольно большой длиной волны по сравнению с глубиной воды.

Кноидальные волновые решения были получены Кортевегом и де Фризом в их статье 1895 года, в которой они также предложили свое дисперсионное длинноволновое уравнение, теперь известное как уравнение Кортевега – де Фриза. В пределе бесконечной длины волны кноидальная волна становится уединенной волной .

Уравнение Бенджамина – Бона – Махони улучшило поведение в коротковолновой области по сравнению с уравнением Кортевега – де Фриза и является еще одним однонаправленным волновым уравнением с кноидальными волновыми решениями. Кроме того, поскольку уравнение Кортевега – де Фриза является приближением к уравнениям Буссинеска для случая одностороннего распространения волн , кноидальные волны являются приближенными решениями уравнений Буссинеска.

Кноидальные волновые решения могут появляться и в других приложениях, помимо поверхностных гравитационных волн, например, для описания ионно-звуковых волн в физике плазмы . ^[1]

Кноидальная волна, характеризующаяся более резкими гребнями и более плоскими впадинами, чем у синусоидальной волны. Для показанного случая эллиптический параметр m  = 0,9.

Пересечение валов , состоящих из цепочек волн, близких к кноидальным. Фотография сделана с Phares des Baleines (Китовый маяк) в западной точке Иль-де-Ре (остров Ре), Франция, в Атлантическом океане .

Фон [ править ]

Уравнения Кортевега – де Фриза и Бенджамина – Бона – Махони [ править ]

Уравнение Кортевега – де Фриза ( уравнение КдФ) можно использовать для описания однонаправленного распространения слабонелинейных и длинных волн, где длинная волна означает: наличие длинных волн по сравнению со средней глубиной воды - поверхностных гравитационных волн в жидкости. слой. Уравнение КдФ - это дисперсионное волновое уравнение, включающее эффекты как частотной, так и амплитудной дисперсии. В своем классическом использовании уравнение КдФ применимо для длин волн λ, превышающих примерно в пять раз среднюю глубину воды h , поэтому для λ  > 5  ч ; а для периода τ больше${\ displaystyle \ scriptstyle 7 {\ sqrt {h / g}}}$с g - сила ускорения свободного падения . ^[3] Чтобы представить себе положение уравнения КдФ в рамках классических волновых приближений, оно выделяется следующим образом:

• Уравнение Кортевега – де Фриза - описывает прямое распространение слабонелинейных и дисперсионных волн для длинных волн с λ  > 7  ч .
• Уравнения мелкой воды - также нелинейны и имеют дисперсию по амплитуде, но без частотной дисперсии; они справедливы для очень длинных волн, λ  > 20  ч .
• Уравнения Буссинеска - имеют тот же диапазон применимости, что и уравнение КдФ (в их классической форме), но допускают распространение волн в произвольных направлениях, а не только волны, распространяющиеся вперед. Недостатком является то, что уравнения Буссинеска часто труднее решить, чем уравнение КдФ; и во многих приложениях отражения волн малы, и ими можно пренебречь.
• Теория волн Эйри - имеет полную частотную дисперсию, поэтому действительна для произвольной глубины и длины волны, но представляет собой линейную теорию без амплитудной дисперсии, ограниченную волнами с низкой амплитудой.
• Волновая теория Стокса - подход к описанию слабонелинейных и дисперсионных волн, основанный на рядах возмущений, особенно успешен в более глубокой воде для относительно коротких длин волн по сравнению с глубиной воды. Однако для длинных волн подход Буссинеска, который также применяется в уравнении КдФ, часто является предпочтительным. Это связано с тем, что на мелкой воде ряду возмущений Стокса требуется много членов перед сходимостью к решению из-за острых гребней и длинных плоских впадин нелинейных волн. В то время как модели КдФ или Буссинеска дают хорошие приближения для этих длинных нелинейных волн.

Уравнение КдФ может быть получено из уравнений Буссинеска, но необходимы дополнительные предположения, чтобы иметь возможность отделить распространение прямой волны. Для практических приложений уравнение Бенджамина – Бона – Махони ( уравнение BBM) предпочтительнее уравнения KdV, модели прямого распространения, аналогичной KdV, но с гораздо лучшим поведением частотной дисперсии на более коротких длинах волн. Дальнейшее улучшение коротковолновых характеристик можно получить, начав выводить одностороннее волновое уравнение из современной улучшенной модели Буссинеска, справедливой для еще более коротких волн. ^[4]

Кноидальные волны [ править ]

Кноидальные волновые решения уравнения КдФ были представлены Кортевегом и де Фризом в их статье 1895 года, которая основана на докторской диссертации де Фриза в 1894 году. ^[5] Уединенные волновые решения для нелинейных и дисперсионных длинных волн были найдены ранее по Буссинеска в 1872 году, и Рейли в 1876. поиск этих решений был вызван наблюдениями этой уединенной волны (или «волна перевода») на Рассел , как в природе , так и в лабораторных экспериментах. ^[4] Кноидальные волновые решения уравнения КдФ устойчивы по отношению к малым возмущениям. ^[6]

Высота поверхности η ( x , t ) как функция горизонтального положения x и времени t для кноидальной волны определяется выражением ^[7]

${\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\,\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle 2\,K(m)\,{\frac {x-c\,t}{\lambda }}&m\end{array}}\right),}$

где Н является высота волны , λ представляет собой длину волны , с представляет собой фазовую скорость и η ₂ представляет собой желоб возвышения. Далее cn - одна из эллиптических функций Якоби, а K ( m ) - полный эллиптический интеграл первого рода ; оба зависят от эллиптического параметра m . Последний, m , определяет форму кноидальной волны. При m, равном нулю, кноидальная волна становится косинусомфункция, тогда как для значений, близких к единице, кноидальная волна имеет остроконечные гребни и (очень) плоские впадины. Для значений m менее 0,95 кноидальная функция может быть аппроксимирована тригонометрическими функциями. ^[8]

Важным безразмерным параметром для нелинейных длинных волн ( λ  ≫  h ) является параметр Урселла :

${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}={\frac {H}{h}}\,\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}.}$

Для малых значений U , например U  <5, ^[9] может использоваться линейная теория, а при более высоких значениях должны использоваться нелинейные теории, такие как теория кноидальных волн. Демаркационная зона между теориями Стокса и кноидальной волной третьего или пятого порядка находится в диапазоне 10–25 параметра Урселла. ^[10] Как видно из формулы для параметра Урселла, для данной относительной высоты волны H / h параметр Урселла - и, следовательно, также нелинейность - быстро растет с увеличением относительной длины волны λ / h .

Основываясь на анализе полной нелинейной задачи о поверхностных гравитационных волнах в рамках теории потенциального потока , вышеупомянутые кноидальные волны можно рассматривать как член низшего порядка в ряду возмущений. Теории кноидальных волн более высокого порядка остаются в силе для более коротких и более нелинейных волн. Теория кноидальных волн пятого порядка была разработана Фентоном в 1979 году. ^[11] Подробное описание и сравнение теории кноидальных волн пятого порядка и пятого порядка даны в обзорной статье Фентона. ^[12]

Описания кноидальных волн через перенормировку также хорошо подходят для волн на глубокой воде, даже на бесконечной глубине; как обнаружил Кламонд. ^{[13] [14]} Описание взаимодействия кноидальных волн на мелководье, как в реальных морях, было предоставлено Осборном в 1994 году. ^[15]

Поверхностное натяжение [ править ]

В случае, если эффекты поверхностного натяжения (также) важны, их можно включить в решения кноидальных волн для длинных волн. ^[16]

Периодические волновые решения [ править ]

Уравнение Кортевега – де Фриза [ править ]

Уравнение Кортевега – де Фриза ( уравнение КдФ), используемое для волн на воде и в размерной форме, имеет следующий вид: ^[17]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\;\eta \,\partial _{x}\eta +{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,{\sqrt {gh}}\;\partial _{x}^{3}\eta =0,}$

куда

η	: отметка поверхности , функция x и t , с положительным направлением вверх (противодействие силы тяжести),
Икс	: горизонтальная координата,
т	: время,
грамм	: значение силы тяжести Земли ,
час	: средняя глубина воды, и
∂ x и ∂ t	: операторы частной производной по x и t .

Увеличение относительной фазовой скорости решений кноидальных волн для уравнения Кортевега – де Фриза как функция от 1 - m , где m - эллиптический параметр.
Горизонтальная ось отложена в логарифмическом масштабе от 10 ⁻⁶ до 10 ⁰ = 1.
Цифра относится к безразмерным величинам, т.е. фазовая скорость c сделана безразмерной с фазовой скоростью мелкой воды , а высота волны H сделана безразмерной со средней глубиной воды h .${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}}$

Решение уравнения КдФ для кноидальной волны: ^[7]

${\displaystyle \eta (x,t)=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),}$

с H на высоту волны -The разницы между гребнем и корытом высотой, п ₂ высоты желоба, м эллиптического параметра, с с фазовой скоростью и сп одной из эллиптических функций Якоби . Уровень желоба η ₂ и параметр ширины Δ могут быть выражены через H , h и m : ^[7]

${\displaystyle \eta _{2}={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),}$   и   ${\displaystyle \Delta ={\frac {\lambda }{2\,K(m)}}\,=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}},}$

где K ( m ) - полный эллиптический интеграл первого рода, а E ( m ) - полный эллиптический интеграл второго рода . Обратите внимание, что K ( m ) и E ( m ) здесь обозначаются как функция эллиптического параметра m, а не как функция эллиптического модуля k , где m  =  k ² .

Длина волны λ , фазовая скорость c и период волны τ связаны с H , h и m следующим образом: ^[7]

${\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),}$   ${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]}$   и   ${\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},}$

с г на тяжести Земли .

Чаще всего известными параметрами волн являются высота волны H , средняя глубина воды h , гравитационное ускорение g и либо длина волны λ, либо период τ . Затем указанные выше соотношения для λ , c и τ используются для нахождения эллиптического параметра m . Это требует численного решения каким-либо итерационным методом . ^[3]

Уравнение Бенджамина – Бона – Махони [ править ]

Уравнение Бенджамина – Бона – Махони ( уравнение BBM) или регуляризованное уравнение длинных волн (RLW) имеет размерную форму, определяемую следующим образом: ^[21]

${\displaystyle \partial _{t}\eta +{\sqrt {g\,h}}\,\partial _{x}\eta +{\tfrac {3}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta \,\partial _{x}\eta -{\tfrac {1}{6}}\,h^{2}\,\partial _{t}\,\partial _{x}^{2}\eta =0.}$

Все величины имеют тот же смысл, что и для уравнения КдФ. Уравнение BBM часто предпочтительнее, чем уравнение KdV, потому что оно лучше работает на коротких волнах. ^[21]

Решение кноидальной волны уравнения BBM вместе с соответствующими соотношениями для параметров: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (x,t)&=\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {x-c\,t}{\Delta }}&m\end{array}}\right),\\\eta _{2}&={\frac {H}{m}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right),\\\Delta &=h\,{\sqrt {{\frac {4}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}&&={\frac {\lambda }{2\,K(m)}},\\\lambda &=h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}\,{\frac {m\,h}{H}}\,{\frac {c}{\sqrt {gh}}}}}\;K(m),\\c&={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]&&{\text{and}}\\\tau &={\frac {\lambda }{c}}.\end{aligned}}}$

Единственное отличие от решения уравнения КдФ с кноидальной волной заключается в уравнении для длины волны λ . ^[22] Для практических приложений обычно указываются глубина воды h , высота волны H , гравитационное ускорение g и либо длина волны λ , либо, чаще всего, период (физика) τ . Затем эллиптический параметр m должен быть определен из приведенных выше соотношений для λ , c и τ некоторым итерационным методом . ^[3]

Пример [ править ]

В этом примере рассматривается кноидальная волна согласно уравнению Кортевега – де Фриза (КдФ). Приведены следующие параметры волны:

• средняя глубина воды h = 5 м (16 футов),
• высота волны H = 3 м (9,8 фута),
• период волны τ = 7 с , а
• ускорение свободного падения g = 9,81 м / с ² (32 фут / с ² ).

В других случаях вместо периода τ длина волны λ может встречаться как величина, известная заранее.

Сначала вычисляется безразмерный период:

${\displaystyle \tau \,{\sqrt {\frac {g}{h}}}=9.80,}$

что больше семи, что достаточно для того, чтобы кноидальная теория имела силу. Главное неизвестное - это эллиптический параметр m . Это должно быть определено таким образом, чтобы период волны τ , вычисленный по теории кноидальных волн для уравнения КдФ:

${\displaystyle \lambda =h\,{\sqrt {{\frac {16}{3}}{\frac {m\,h}{H}}}}\;K(m),}$   ${\displaystyle c={\sqrt {gh}}\,\left[1+{\frac {H}{m\,h}}\,\left(1-{\frac {1}{2}}\,m-{\frac {3}{2}}\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)\right]}$   и   ${\displaystyle \tau ={\frac {\lambda }{c}},}$

согласуется с заданным значением τ ; здесь λ - длина волны, а c - фазовая скорость волны. Далее, K ( m ) и E ( m ) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Поиск эллиптического параметра m может выполняться методом проб и ошибок или с использованием численного алгоритма поиска корня . В этом случае, исходя из первоначального предположения m _init  = 0,99, методом проб и ошибок ответ

${\displaystyle m=0.9832\,}$

находится. В процессе были вычислены длина волны λ и фазовая скорость c :

• длина волны λ = 50,8 м (167 футов), и
• фазовая скорость c = 7,26 м / с (23,8 фут / с).

Фазовую скорость c можно сравнить с ее значением согласно уравнениям мелкой воды :${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {gh}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}=1.0376,}$

демонстрируя увеличение на 3,8% из-за эффекта нелинейной амплитудной дисперсии , которая в данном случае выигрывает от уменьшения фазовой скорости из-за частотной дисперсии.

Теперь, когда длина волны известна, можно также вычислить число Урселла :

${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}=62,}$

что не мало, поэтому теория линейных волн неприменима, но теория кноидальных волн применима. Наконец, отношение длины волны к глубине составляет λ  /  h  = 10,2> 7, что снова указывает на то, что эта волна достаточно длинна, чтобы ее можно было рассматривать как кноидальную волну.

Предел одиночной волны [ править ]

Для очень длинных нелинейных волн, когда параметр m близок к единице, m  → 1, эллиптическая функция Якоби cn может быть аппроксимирована формулой ^[23]

${\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\approx \operatorname {sech} (z)-{\tfrac {1}{4}}\,(1-m)\,{\Bigl [}\sinh(z)\;\cosh(z)-z{\Bigr ]}\,\tanh(z)\;\operatorname {sech} (z),}$   с   ${\displaystyle \operatorname {sech} (z)={\frac {1}{\cosh(z)}}.}$

Здесь sinh, cosh, tanh и sech - гиперболические функции . В пределе m  = 1:

${\displaystyle \operatorname {cn} \left(z|m\right)\to \operatorname {sech} (z),}$

с sech ( z ) = 1 / ch ( z ).

Далее, для того же предела m  → 1 полный эллиптический интеграл первого рода K ( m ) стремится к бесконечности, а полный эллиптический интеграл второго рода E ( m ) стремится к единице. ^[24] Это означает, что предельные значения фазовой скорости c и минимального наклона η ₂ становятся: ^[25]

${\displaystyle c={\sqrt {g\,h}}\,\left(1+{\frac {1}{2}}\,{\frac {H}{h}}\right)}$   и   ${\displaystyle \eta _{2}=0.\,}$

Следовательно, с точки зрения параметра ширины Δ , решение уединенной волны для уравнения КдФ и BBM имеет следующий вид: ^[25]

${\displaystyle \eta (x,t)=H\,\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x-c\,t}{\Delta }}\right).}$

Параметр ширины, найденный для кноидальных волн и теперь в пределе m  → 1, отличается для КдВ и уравнения BBM: ^[25]

${\displaystyle \Delta =h\,{\sqrt {\frac {4\,h}{3\,H}}}}$	: Уравнение КдФ и
${\displaystyle \Delta =h\,{\sqrt {{\frac {4\,h}{3\,H}}\,{\frac {c}{\sqrt {g\,h}}}}}}$	: Уравнение BBM.

Но фазовая скорость уединенной волны в обоих уравнениях одинакова для некоторой комбинации высоты H и глубины h .

Предел бесконечно малой высоты волны [ править ]

Для бесконечно малой высоты волны результатов теории кноидальной волны , как ожидается, сходятся к тем из волновой теории Эйри для предела длинных волн А  »  ч . Сначала будет исследована высота поверхности, а затем фазовая скорость кноидальных волн для бесконечно малой высоты волны.

Высота поверхности [ править ]

Для бесконечно малой высоты волны в пределе m  → 0 высота свободной поверхности становится равной:

${\displaystyle \eta (x,t)={\tfrac {1}{2}}\,H\,\cos \,\theta ,}$   с   ${\displaystyle \theta =2\,\pi \,{\frac {\xi }{\lambda }}=2\,\pi \ {\frac {x-c\,t}{\lambda }}.}$

Таким образом, амплитуда волны составляет ½ H , что составляет половину высоты волны . Это та же форма, что и изучаемая в теории волн Эйри , но обратите внимание, что теория кноидальных волн верна только для длинных волн, длина которых намного превышает среднюю глубину воды.

Фазовая скорость [ править ]

На фазовых скоростях для бесконечно малой высоты волны, согласно теории кноидальной волн для уравнения КдФа и уравнений ББХ, являются ^[32]

КдВ	:	${\displaystyle c={\Bigl [}1-{\tfrac {1}{6}}\,\left(\kappa h\right)^{2}{\Bigr ]}\,{\sqrt {g\,h}},}$
BBM	:	${\displaystyle c={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{6}}\,\left(\kappa h\right)^{2}}}\,{\sqrt {g\,h}},}$

где κ  = 2 π  /  λ - волновое число, а κh - относительное волновое число. Эти фазовые скорости полностью согласуются с результатом, полученным прямым поиском синусоидальных решений линеаризованных уравнений KdV и BBM. Как видно из этих уравнений, линеаризованное уравнение BBM имеет положительную фазовую скорость для всех κh . С другой стороны, фазовая скорость линеаризованного уравнения КдФ меняет знак для коротких волн с κh  >  . Это противоречит выводу уравнения КдФ как одностороннего волнового уравнения.${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {6}}}$

Прямой вывод из полных уравнений невязкого потока [ править ]

Кноидальные волны могут быть получены непосредственно из уравнений невязкого , безвихревого и несжимаемого потока и выражены в терминах трех инвариантов потока, как показано Бенджамином и Лайтхиллом (1954) в их исследованиях волнообразных отверстий . В системе отсчета , движущейся со скоростью фазы , в котором опорный кадр поток становится постоянный поток , то кноидальные волновые решения могут быть непосредственно связаны с массового потока , поток импульса и энергии головки потока. Следуя Бенджамину и Лайтхиллу (1954) - с использованием функции потокаОписание этой несжимаемой жидкости-горизонтальных и вертикальных составляющих скорости потока являются пространственные производные функции потока Ф ( £ , , г ) + ∂ _г Ψ и - ∂ _£ , Ф , в £ , и г направлении соответственно ( £ ,  =  х - ct ). Вертикальная координата z положительна в направлении вверх, противоположном направлению гравитационного ускорения, а нулевой уровень z находится на непроницаемой нижней границе области жидкости. Пока свободная поверхность находится в точке z =  ζ ( ξ ); обратите внимание, что ζ - местная глубина воды, связанная с высотой поверхности η ( ξ ) как ζ  =  h  +  η, где h - средняя глубина воды.

В этом установившемся потоке расход Q через каждое вертикальное поперечное сечение является постоянным, не зависящим от ξ , и из-за горизонтального слоя также сохраняется горизонтальный поток импульса S , деленный на плотность ρ , через каждое вертикальное поперечное сечение. Кроме того, для этого невязкого и безвихревого потока можно применить принцип Бернулли, и он имеет одну и ту же постоянную Бернулли R во всей области потока. Они определены как: ^[34]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\partial _{z}\Psi \;{\text{d}}z,\\R&={\frac {p}{\rho }}+{\tfrac {1}{2}}\,{\Bigl [}\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}{\Bigr ]}+g\,z\qquad {\text{and}}\\S&=\int _{0}^{\zeta (\xi )}\left[{\frac {p}{\rho }}+\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.\end{aligned}}}$

Для довольно длинных волн, предполагая, что глубина воды ζ мала по сравнению с длиной волны λ , получается следующее соотношение между глубиной воды ζ ( ξ ) и тремя инвариантами Q , R и S : ^[34]

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,Q^{2}\,\left(\zeta '\right)^{2}\approx -g\,\zeta ^{3}+2\,R\,\zeta ^{2}-2\,S\,\zeta +Q^{2}.}$

( E )

Это нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет кноидальные волновые решения.

Для очень длинных волн бесконечно малой амплитуды в жидкости глубиной h и с равномерной скоростью потока v постоянные потока соответствуют уравнениям мелкой воды : ^[34]

${\displaystyle Q_{0}=v\,h,}$   ${\displaystyle R_{0}={\tfrac {1}{2}}\,v^{2}+g\,h}$   и   ${\displaystyle S_{0}=v^{2}\,h+{\tfrac {1}{2}}\,g\,h^{2}.}$

Уравнение ( E ) может быть приведено к безразмерной форме, используя разряд Q и ускорение свободного падения g , и определяя критическую глубину h _c :

${\displaystyle h_{c}={\sqrt[{3}]{\frac {Q^{2}}{g}}},}$

связаны с разграничением критического потока между докритическим потоком и сверхкритическим потоком (см. также число Фруда ). Следовательно, безразмерная форма уравнения имеет вид

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\,\left({\tilde {\zeta }}'\right)^{2}\approx -\zeta ^{3}+2\,{\tilde {R}}\,{\tilde {\zeta }}^{2}-2\,{\tilde {S}}\,{\tilde {\zeta }}+1,}$

с

${\displaystyle {\tilde {\zeta }}={\frac {\zeta }{h_{c}}},}$   ${\displaystyle {\tilde {\xi }}={\frac {\xi }{h_{c}}},}$   ${\displaystyle {\tilde {R}}={\frac {R}{g\,h_{c}}},}$   и   ${\displaystyle {\tilde {S}}={\frac {S}{g\,h_{c}^{2}}}.}$

Вывод [ править ]

Сначала исключите давление p из потока импульса S с помощью уравнения Бернулли:

${\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+\int _{0}^{\zeta }{\tfrac {1}{2}}\left[\left(\partial _{z}\Psi \right)^{2}-\left(\partial _{\xi }\Psi \right)^{2}\right]\;{\text{d}}z.}$

Функция тока Ψ расширяется как ряд Маклорена вокруг пласта при z  = 0, и с учетом того, что непроницаемый слой представляет собой линию тока и безвихревость потока: Ψ  = 0 и ∂ _z ² Ψ  = 0 при z  = 0: ^{[34 ]}

${\displaystyle \Psi =z\,u_{b}(\xi )-{\frac {z^{3}}{3!}}\,u_{b}''(\xi )+{\frac {z^{5}}{5!}}\,u_{b}^{\text{iv}}(\xi )+\cdots ,}$

где u _b - горизонтальная скорость на дне z  = 0. Поскольку волны длинные, h  ≫  λ , в приближениях к Q и S сохраняются только члены до z ³ и ζ ³ . Тогда поток импульса S становится: ^[34]

${\displaystyle S=R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,\zeta \,u_{b}^{2}-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}\,u_{b}''-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,\left(u_{b}'\right)^{2}+\cdots .}$

Разряд Q принимает вид, так как это значение функции тока Ψ на свободной поверхности z  =  ζ :

${\displaystyle Q=\zeta \,u_{b}(\xi )-{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{3}\,u_{b}''{\xi }+\cdots .}$

Как видно, разряд Q является величиной O ( ζ ). Отсюда видно, что скорость слоя ^[34]

${\displaystyle u_{b}={\frac {Q}{\zeta }}+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}''+\cdots .}$

Обратите внимание, что Q  /  ζ является величиной первого порядка. Это отношение будет использоваться , чтобы заменить скорость кровати у _B с помощью Q и ζ в поток импульса S . От него могут быть получены следующие термины:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{b}^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{2}}}+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,Q\,u_{b}''+\cdots ,\\u_{b}'&=-{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '+{\tfrac {1}{3}}\,\zeta \,\zeta '\,u_{b}''+{\tfrac {1}{6}}\,\zeta ^{2}\,u_{b}'''+\cdots \qquad {\text{and}}\\\left(u_{b}'\right)^{2}&={\frac {Q^{2}}{\zeta ^{4}}}\,\left(\zeta '\right)^{2}-{\tfrac {2}{3}}\,{\frac {Q}{\zeta }}\,\zeta '\,u_{b}''+\cdots .\end{aligned}}}$

Следовательно, поток импульса S становится равным, снова сохраняя только члены до пропорциональных ζ ³ : ^[34]

${\displaystyle S\approx R\,\zeta -{\tfrac {1}{2}}\,g\,\zeta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}-{\tfrac {1}{6}}\,{\frac {Q^{2}}{\zeta }}\,\left(\zeta '\right)^{2}.}$

Которое может быть непосредственно преобразовано в форму уравнения ( E ).

Потенциальная энергия [ править ]

Плотность потенциальной энергии

${\displaystyle E_{\text{pot}}={\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}(x,t)\;{\text{d}}x}$

где ρ - плотность жидкости , является одним из бесконечного числа инвариантов уравнения КдФ. ^[35] Это можно увидеть, умножив уравнение КдФ на высоту поверхности η ( x , t ); после многократного использования цепного правила результат:

${\displaystyle \partial _{t}\left({\tfrac {1}{2}}\,\eta ^{2}\right)+\partial _{x}\left\{{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {g\,h}}\,\eta ^{2}+{\tfrac {1}{2}}\,{\sqrt {\frac {g}{h}}}\,\eta ^{3}+{\tfrac {1}{12}}\,h^{2}{\sqrt {g\,h}}\,\left[\partial _{x}^{2}\left(\eta ^{2}\right)-3\left(\partial _{x}\eta \right)^{2}\right]\right\}=0,}$

которое находится в форме сохранения и является инвариантом после интегрирования по интервалу периодичности - длине волны кноидальной волны. Потенциальная энергия не является инвариантом уравнения ББМ, но ½ ρg  [ η ²  +  ¹ / ₆ ч ²  ( ∂ _х η ) ² ] является. ^[36]  

Сначала вычисляется дисперсия отметки поверхности в кноидальной волне. Отметим, что η ₂  = - (1 / λ )  ₀ ∫ ^λ  H  cn ² ( ξ / Δ | m) d x , cn ( ξ / Δ | m) = cos  ψ ( ξ ) и λ  = 2  Δ  K ( m ) , поэтому ^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\lambda }}\,\int _{0}^{\lambda }\eta ^{2}\;{\text{d}}x&={\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\left\{\eta _{2}+H\,\operatorname {cn} ^{2}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\right\}^{2}\;{\text{d}}\xi ={\frac {H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\operatorname {cn} ^{4}\left({\begin{array}{c|c}\displaystyle {\frac {\xi }{\Delta }}&m\end{array}}\right)\;{\text{d}}\xi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {\Delta \,H^{2}}{\lambda }}\int _{0}^{\pi }\cos ^{4}\,\psi \,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}\psi }}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}={\frac {H^{2}}{2\,K(m)}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos ^{4}\,\psi }{\sqrt {1-m\,\sin ^{2}\,\psi }}}\;{\text{d}}\psi -\eta _{2}^{2}\\&={\frac {1}{3}}\,{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left[\left(2-5\,m+3\,m^{2}\right)+\left(4\,m-2\right)\,{\frac {E(m)}{K(m)}}\right]-{\frac {H^{2}}{m^{2}}}\,\left(1-m-{\frac {E(m)}{K(m)}}\right)^{2}\end{aligned}}}$