В механике , А константа движения является величиной , которая сохраняется на протяжении всего движения, наложение в силу ограничение на движение. Однако это математическое ограничение, естественное следствие уравнений движения , а не физическое ограничение (которое потребует дополнительных сил ограничения ). Общие примеры включают в себя удельную энергию , удельный линейный момент , удельный угловой момент и вектор Лапласа – Рунге – Ленца (для законов обратных квадратов сил ).
Приложения
Константы движения полезны, потому что они позволяют получить свойства движения без решения уравнений движения . В удачных случаях, даже траектория движения может быть получена как пересечение из изоповерхностей соответствующих констант движения. Так , например, строительные Пуансо показывают , что вращающий момент , свободный от вращения из твердого тела является пересечением сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоид (сохранение энергии), траектория , которая может быть иначе трудно вывести и визуализировать. Следовательно, определение постоянных движения является важной задачей механики .
Методы определения постоянных движения
Есть несколько методов определения постоянных движения.
- Самым простым, но наименее систематическим подходом является интуитивный («психический») вывод, при котором величина предполагается постоянной (возможно, из-за экспериментальных данных ), а затем математически показано, что она сохраняется на протяжении всего движения.
- Уравнения Гамильтона – Якоби обеспечивают обычно используемый и простой метод определения постоянных движения, особенно когда гамильтониан принимает узнаваемые функциональные формы в ортогональных координатах .
- Другой подход заключается признать , что сохраняющаяся величина соответствует симметрии в лагранжиане . Теорема Нётер обеспечивает систематический способ получения таких величин из симметрии. Например, сохранение энергии является результатом инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала отсчета времени , сохранение линейного импульса является результатом инвариантности лагранжиана относительно сдвигов начала отсчета пространства ( трансляционная симметрия ), а сохранение углового момента является результатом инвариантность лагранжиана относительно вращений . Обратное также верно; каждая симметрия лагранжиана соответствует постоянной движения, часто называемой сохраняющимся зарядом или током .
- Количество является константой движения, если ее полная производная по времени равна нулю
что происходит, когда «S скобка Пуассона с гамильтоновыми равными минус его частной производной по времени [1]
Еще один полезный результат - теорема Пуассона , которая утверждает, что если две величины а также являются константами движения, как и их скобка Пуассона .
Система с n степенями свободы и n константами движения, при которых скобка Пуассона любой пары констант движения обращается в нуль, известна как полностью интегрируемая система . Говорят, что такой набор констант движения находится в инволюции друг с другом.
В квантовой механике
Наблюдаемая величина Q будет постоянная движение , если он коммутирует с гамильтонова , H , и сама она не зависит явно от времени. Это потому что
где
- коммутаторное соотношение.
Вывод
Скажем, есть некоторая наблюдаемая величина Q, которая зависит от положения, импульса и времени,
А также, что существует волновая функция, которая подчиняется уравнению Шредингера
Получение производной по времени от математического ожидания Q требует использования правила произведения и приводит к
Итак, наконец,
Комментарий
Для произвольного состояния квантовой механической системы, если H и Q коммутируют, т. Е. Если
и Q не зависит явно от времени, то
Но если является собственной функцией гамильтониана, то даже если
это все еще так, что
при условии, что Q не зависит от времени.
Вывод
С
тогда
По этой причине собственные состояния гамильтониана также называют стационарными.
Актуальность для квантового хаоса
В общем, интегрируемая система имеет константы движения, отличные от энергии. Напротив, энергия - единственная постоянная движения в неинтегрируемой системе ; такие системы называются хаотическими. В общем, классическая механическая система может быть квантована, только если она интегрируема; по состоянию на 2006 год не существует известного последовательного метода квантования хаотических динамических систем.
Интеграл движения
Постоянная движения может быть определена в данном силовом поле как любая функция координат фазового пространства (положение и скорость или положение и импульс) и времени, которая постоянна на протяжении всей траектории. Подмножество констант движения - это интегралы движения или первые интегралы , определяемые как любые функции только от координат фазового пространства, которые постоянны вдоль орбиты. Каждый интеграл движения является константой движения, но обратное неверно, потому что константа движения может зависеть от времени. [2] Примерами интегралов движения являются вектор углового момента,, или гамильтониан без зависимости от времени, такой как . Примером функции, которая является константой движения, но не интегралом движения, может быть функция для объекта, движущегося с постоянной скоростью в одном измерении.
Наблюдаемые Дирака
Чтобы извлечь физическую информацию из калибровочных теорий , нужно либо построить калибровочно-инвариантные наблюдаемые, либо зафиксировать калибровку. На каноническом языке это обычно означает либо построение функций, коммутирующих по Пуассону на поверхности ограничений с калибровкой, порождающей ограничения первого класса, либо фиксацию потока последних путем выделения точек внутри каждой калибровочной орбиты . Таким образом, такие калибровочно-инвариантные наблюдаемые являются "константами движения" калибровочных генераторов и называются наблюдаемыми Дирака.
Рекомендации
- ^ Ландау, L .; Лифшиц, Э. (1960). Механика . Pergamon Press. п. 135. ISBN 0 7506 2896 0.
- ^ "Бинни, Дж. И Тремейн, С .: Галактическая динамика" . Издательство Принстонского университета . Проверено 5 мая 2011 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.) . Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )