Трехволновое уравнение

В нелинейных системах , в три-волновые уравнения , которые иногда называют трехволновых резонансные уравнения взаимодействия или триад резонансы , описывают малой амплитуды волн в различных нелинейных средах, в том числе электрических цепей и нелинейной оптике . Они представляют собой набор полностью интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных . Поскольку они представляют собой простейший и наиболее прямой пример резонансного взаимодействия , имеют широкое применение в науке и полностью интегрируемы, они интенсивно изучаются с 1970-х годов. ^[1]

Неформальное введение [ править ]

Трехволновое уравнение возникает при рассмотрении некоторых простейших мыслимых нелинейных систем . Линейные дифференциальные системы имеют общий вид

${\ Displaystyle D \ psi = \ lambda \ psi}$

для некоторого дифференциального оператора D . Простейшим нелинейным расширением этого является запись

${\ displaystyle D \ psi - \ lambda \ psi = \ varepsilon \ psi ^ {2}.}$

Как это решить? Доступно несколько подходов. В некоторых исключительных случаях могут быть известны точные решения уравнений такого вида. В общем, они находятся в некоторой специальной форме после применения некоторого анзаца . Второй подход состоит в том, чтобы предположить это и использовать теорию возмущений для нахождения «поправок» к линеаризованной теории. Третий подход заключается в применении методов теории матрицы рассеяния ( S-матрицы ).${\ Displaystyle \ varepsilon \ ll 1}$

В S-матричном подходе рассматриваются частицы или плоские волны, приходящие из бесконечности, взаимодействующие, а затем уходящие в бесконечность. При отсчете с нуля случай нулевых частиц соответствует вакууму , целиком состоящему из фона. Одночастичный случай - это волна, которая приходит из далекого прошлого и затем растворяется в воздухе; это может случиться, когда фон поглощает, гаснет или рассеивает . Поочередно из воздуха возникает волна и удаляется. Это происходит, когда фон нестабилен и генерирует волны: говорят, что система « излучает". Двухчастичный случай состоит из частицы, которая входит, а затем выходит. Это уместно, когда фон неоднороден: например, акустическая плоская волна входит, рассеивается от подводной лодки противника и затем уходит. до бесконечности, путем тщательного анализа уходящей волны, характеристики пространственной неоднородности могут быть выведены Есть еще два варианта:. создание пары и пары аннигиляции в этом случае пара волн создается «из воздуха» (с. взаимодействуя с каким-то фоном), или раствориться в воздухе.

Следующим по этому счету является трехчастичное взаимодействие. Он уникален тем, что не требует никакого взаимодействующего фона или вакуума, и не является «скучным» в смысле невзаимодействующей плоской волны на однородном фоне. Это простейшее квадратичное взаимодействие, записанное для этих трех волн, движущихся от / к бесконечности, принимает форму ${\ Displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2}, \ psi _ {3}}$

${\ Displaystyle (D- \ lambda) \ psi _ {1} = \ varepsilon \ psi _ {2} \ psi _ {3}}$

и их циклические перестановки. Эту общую форму можно назвать трехволновым уравнением ; конкретная форма представлена ​​ниже. Ключевым моментом является то, что все квадратичные резонансные взаимодействия могут быть записаны в этой форме (при соответствующих предположениях). Для нестационарных систем, которые можно интерпретировать как энергию , можно написать ${\ displaystyle \ lambda}$

${\displaystyle (D-i\partial /\partial t)\psi _{1}=\varepsilon \psi _{2}\psi _{3}}$

для версии, зависящей от времени.

Обзор [ изменить ]

Формально трехволновое уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial B_{j}}{\partial t}}+v_{j}\cdot \nabla B_{j}=\eta _{j}B_{\ell }^{*}B_{m}^{*}}$

где циклический, является групповой скоростью для волны , имеющей в качестве волнового вектора и угловой частоты , и с градиентом , взятым в плоском евклидове пространства в п измерений. Коэффициенты взаимодействия; изменяя масштаб волны, их можно взять . По циклической перестановке существует четыре класса решений. Написание есть . Все они эквивалентны при перестановке. В измерениях 1 + 1 есть три различных решения: решения, называемые взрывчатыми ; случаи, называемый стимулируются обратное рассеяние${\displaystyle j,\ell ,m=1,2,3}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle {\vec {k}}_{j},\omega _{j}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \eta _{j}}$${\displaystyle \eta _{j}=\pm 1}$${\displaystyle \eta =\eta _{1}\eta _{2}\eta _{3}}$${\displaystyle \eta =\pm 1}$${\displaystyle \eta =-1}$${\displaystyle \eta =+1}$${\displaystyle +++}$${\displaystyle --+}$, и случай, названный обменом солитонов . Они соответствуют очень разным физическим процессам. ^{[2] [3]} Одно интересное решение называется симултоном , оно состоит из трех сопутствующих солитонов, движущихся со скоростью v, которая отличается от любой из трех групповых скоростей . Это решение, возможно, связано с «тремя сестрами», наблюдаемыми в волнах-убийцах , даже несмотря на то, что глубокая вода не имеет трехволнового резонансного взаимодействия.${\displaystyle -+-}$${\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}}$

Лекционные заметки Харви Сегура представляют собой введение. ^[4]

Уравнения имеют пару Лакса и, таким образом, полностью интегрируемы . ^{[1] [5]} Пара Лакса представляет собой пару матриц 3x3, к которой может быть применен метод обратной задачи рассеяния с использованием методов Фокаса . ^{[6] [7]} Класс пространственно однородных решений известен, они задаются эллиптической ℘-функцией Вейерштрасса . ^[8] Соотношения резонансного взаимодействия в данном случае называются соотношениями Мэнли – Роу ; описываемые ими инварианты легко связаны с модулярными инвариантами и ^[9]${\displaystyle g_{2}}$${\displaystyle g_{3}.}$ То, что они появляются, возможно, не совсем удивительно, поскольку есть простой интуитивный аргумент. Вычитая один волновой вектор из двух других, у одного остается два вектора, которые образуют решетку периодов . Все возможные взаимные положения двух векторов задаются j-инвариантом Клейна , поэтому следует ожидать, что решения будут характеризоваться им.

Известно множество точных решений для различных граничных условий. ^[10] Недавно было дано «почти общее решение» полного нелинейного уравнения в частных производных для трехволнового уравнения. Он выражается в виде пяти функций, которые можно свободно выбирать, и ряда Лорана для шестого параметра. ^{[8] [9]}

Приложения [ править ]

Некоторые избранные приложения трехволновых уравнений включают:

• В нелинейной оптике , перестраиваемые лазеры , охватывающие широкий спектр частот могут быть созданы с помощью параметрических трехволнового смесительного в квадратичных ( ) нелинейных кристаллах . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \chi ^{(2)}}$
• Поверхностные акустические волны и в электронных параметрических усилителях .
• Глубоководные волны сами по себе не имеют трехволнового взаимодействия; однако этого можно избежать во многих сценариях:
  • Глубоководные капиллярные волны описываются трехволновым уравнением. ^[4]
  • Акустические волны соединяются с глубоководными волнами в трехволновом взаимодействии ^[11]
  • Волны завихренности объединяются в триаду.
  • Равномерное течение (обязательно пространственно неоднородное по глубине) имеет триадные взаимодействия.

Все эти случаи естественным образом описываются трехволновым уравнением.

• В физике плазмы трехволновое уравнение описывает связь в плазме. ^[12]

Ссылки [ править ]