Простые гармонические колебания

Классическая механика
Часть серии по
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение / перемещение / частота / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

В механике и физике , простое гармоническое движение представляет собой особый тип периодического движения , где возвращающая сила на движущийся объект прямо пропорционально к величине смещения объекта и действует в направлении положения равновесия объекта. Это приводит к колебанию , которые, если сдерживаются трением или любой другой диссипацией от энергии , продолжаются до бесконечности.

Простое гармоническое движение может служить математической моделью для множества движений, но типичным примером является колебание массы на пружине, когда на нее действует линейная упругая восстанавливающая сила, определяемая законом Гука . Движение является синусоидальным во времени и демонстрирует единственную резонансную частоту. Другие явления могут быть смоделированы простым гармоническим движением, включая движение простого маятника , хотя, чтобы быть точной моделью, результирующая силана объекте на конце маятника должно быть пропорционально смещению (и даже в этом случае, это только хорошее приближение, когда угол поворота небольшой; см. приближение малых углов ). Простое гармоническое движение также можно использовать для моделирования молекулярных колебаний .

Простое гармоническое движение обеспечивает основу для характеристики более сложного периодического движения с помощью методов анализа Фурье .

Введение [ править ]

Движение частицы, движущейся по прямой линии с ускорением , направление которого всегда направлено к фиксированной точке на линии и величина которого пропорциональна расстоянию от фиксированной точки, называется простым гармоническим движением [SHM]. ^[1]

Простое гармоническое движение показано как в реальном, так и в фазовом пространстве . Орбита является периодической . (Здесь оси скорости и положения были перевернуты по сравнению со стандартным соглашением, чтобы выровнять две диаграммы)

На схеме показан простой гармонический осциллятор , состоящий из груза, прикрепленного к одному концу пружины. Другой конец пружины прикреплен к жесткой опоре, например к стене. Если систему оставить в состоянии покоя в положении равновесия, то на массу не будет действовать результирующая сила . Однако, если масса смещается из положения равновесия, пружина проявляет восстанавливающую силу упругости, которая подчиняется закону Гука .

Математически восстанавливающая сила $F$ определяется выражением

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = -k \ mathbf {x},}

где $F$ - восстанавливающая сила упругости, прикладываемая пружиной (в единицах СИ : Н ), $k$ - жесткость пружины ( Н · м ^-1 ), а $x$ - смещение из положения равновесия (м).

Для любого простого механического гармонического осциллятора:

Когда система смещается из положения равновесия, восстанавливающая сила, подчиняющаяся закону Гука, стремится восстановить систему в равновесие.

Как только масса смещается из положения равновесия, на нее действует возвращающая сила. В результате он ускоряется и начинает возвращаться в положение равновесия. Когда масса приближается к положению равновесия, восстанавливающая сила уменьшается. В положении равновесия результирующая восстанавливающая сила исчезает. Однако при $x = 0$ масса имеет импульс из-за ускорения, передаваемого возвращающей силой. Следовательно, масса продолжает движение за положение равновесия, сжимая пружину. Затем результирующая восстанавливающая сила замедляет его до тех пор, пока его скорость не достигает нуля, после чего он снова ускоряется до положения равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии , масса продолжает колебаться. Таким образом, простое гармоническое движение - это тип периодического движения. Обратите внимание, если диаграмма реального и фазового пространства не совпадает с линейной, движение фазового пространства становится эллиптическим. Ограниченная площадь зависит от амплитуды и максимального импульса.

Динамика [ править ]

В механике Ньютона для одномерного простого гармонического движения, уравнения движения, которое является вторым порядком линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, может быть получено с помощью 2 - го закона Ньютона и закона Гук для массы на пружинах .

{\ displaystyle F _ {\ mathrm {net}} = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - kx,}

где $m$ - инерционная масса колеблющегося тела, $x$ - это его смещение из положения равновесия (или среднего), а $k$ - постоянная величина ( жесткость пружины для массы на пружине).

Следовательно,

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = - {\ frac {k} {m}} x,}

Решение приведенного выше дифференциального уравнения дает решение, которое является синусоидальной функцией :

{\ Displaystyle х (т) = с_ {1} \ соз \ влево (\ омега т \ справа) + с_ {2} \ грех \ влево (\ омега т \ вправо), \ qquad}

куда

{\ displaystyle \ qquad \ omega = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}.}

Значение констант и можно легко найти: задав уравнение выше, мы видим, что , так что это начальное положение частицы ,; взяв производную этого уравнения и оценки в нуле, получаем , что , таким образом , что начальная скорость частицы , деленная на угловой частотой, . Таким образом, мы можем написать:

{\ displaystyle c_ {1}}

{\ displaystyle c_ {2}}

{\ displaystyle t = 0}

{\ Displaystyle х (0) = c_ {1}}

{\ displaystyle c_ {1}}

{\ displaystyle c_ {1} = x_ {0}}

{\ displaystyle {\ dot {x}} (0) = \ omega c_ {2}}

{\ displaystyle c_ {2}}

{\ displaystyle c_ {2} = {\ frac {v_ {0}} {\ omega}}}

x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).

Это уравнение также можно записать в виде:

x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),

куда

A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},\qquad \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},

В решении $c 1$ и $c 2$ - две константы, определяемые начальными условиями (в частности, начальное положение в момент времени $t = 0$ - $c 1$ , а начальная скорость - $c 2 ω$ ), а начало координат установлено как положение равновесия. ^[A] Каждая из этих констант несет физический смысл движения: $A$ - амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия), $ω = 2π f$ - угловая частота , а $φ$ - начальная фаза.. ^[B]

Используя методы исчисления , можно найти скорость и ускорение как функцию времени:

v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),

Скорость:

{\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}

Максимальная скорость: $v = ωA$ (в точке равновесия)

a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).

Максимальное ускорение: $Aω 2$ (в крайних точках)

По определению, если масса $m$ находится под действием SHM, ее ускорение прямо пропорционально смещению.

a(x)=-\omega ^{2}x.

куда

\omega ^{2}={\frac {k}{m}}

Поскольку $ω = 2π f$ ,

f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},

и, поскольку $T = 1 / ж$ где $T$ - период времени,

T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.

Эти уравнения демонстрируют, что простое гармоническое движение изохронно (период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения).

Энергия [ править ]

Подставляя $ω 2$ на $k / м$ , кинетическая энергия $K$ системы в момент времени $t$ равна

K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),

а потенциальная энергия равна

U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).

При отсутствии трения и других потерь энергии общая механическая энергия имеет постоянное значение

E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.

Примеры [ править ]

Незатухающая система пружина-масса совершает простое гармоническое движение.

Следующие физические системы являются некоторыми примерами простого гармонического осциллятора .

Масса на пружине [ править ]

Масса $m,$ прикрепленная к пружине с жесткостью пружины $k,$ демонстрирует простое гармоническое движение в замкнутом пространстве . Уравнение для описания периода

T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}

показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды, хотя на практике амплитуда должна быть небольшой. Вышеупомянутое уравнение также справедливо в случае, когда к массе прилагается дополнительная постоянная сила, т.е. дополнительная постоянная сила не может изменить период колебаний.

Равномерное круговое движение [ править ]

Простое гармоническое движение можно рассматривать одномерную проекцию из равномерного кругового движения . Если объект движется с угловой скоростью $со$ вокруг окружности радиуса $г$ с центром в начале координат в $ху$ плоскости, то его движение по каждой координате просто гармоническое движение с амплитудой $г$ и угловой частотой $со$ .

Масса простого маятника [ править ]

Движение незатухающего маятника приближается к простому гармоническому движению, если угол колебания мал.

В малоугловом приближении движение простого маятника аппроксимируется простым гармоническим движением. Период массы, прикрепленной к маятнику длиной $l$ с ускорением свободного падения , определяется выражением $g$

T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но не от ускорения силы тяжести , поэтому маятник такой же длины на Луне будет качаться медленнее из-за более низкой напряженности гравитационного поля Луны. Поскольку значение немного варьируется по поверхности земли, период времени будет немного отличаться от места к месту, а также будет изменяться в зависимости от высоты над уровнем моря. $g$ $g$

Это приближение является точным только для малых углов, поскольку выражение для углового ускорения $α$ пропорционально синусу угла смещения:

-mgl\sin \theta =I\alpha ,

где $I$ - момент инерции . Когда $θ$ мало, $sin θ \approx θ,$ и поэтому выражение становится

-mgl\theta =I\alpha

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным $θ$ , удовлетворяя определению простого гармонического движения.

Скотч-кокетка [ править ]

Механизм скотча может использоваться для преобразования между вращательным движением и линейным возвратно-поступательным движением. Линейное движение может принимать различные формы в зависимости от формы паза, но базовая вилка с постоянной скоростью вращения производит линейное движение, которое имеет простую гармоническую форму.

Скотч-кокетка анимация

См. Также [ править ]

Ньютоновская механика
Малоугловое приближение
Маятник Рэлея – Лоренца
Изохронный
Равномерное круговое движение
Сложное гармоническое движение
Демпфирование
Гармонический осциллятор
Маятник (математика)
Круговая группа
Вибрация струны

Примечания [ править ]

^
Выбор использования косинуса в этом уравнении является условным. Другие допустимые составы:
$x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi '\right),$
куда
$\tan \varphi '={\frac {c_{1}}{c_{2}}},$
поскольку $cos θ = sin (π / 2 - θ)$ .
^
Максимальное смещение (то есть, амплитуда), $х макс$ , происходит тогда , когда $соз (ωt \pm ф) = 1$ , и , таким образом , когда $х макс =$ .

Ссылки [ править ]

^ "Простое гармоническое движение - концепции" .

Уокер, Джерл (2011). Принципы физики (9-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-56158-4.
Торнтон, Стивен Т .; Мэрион, Джерри Б. (2003). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.) . Брукс Коул. ISBN 0-534-40896-6.
Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика . Книги университетских наук. ISBN 1-891389-22-X.
Грант Р. Фаулз; Джордж Л. Кэссидей (2005). Аналитическая механика (7-е изд.) . Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-49492-7.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с простым гармоническим движением .

Простое гармоническое движение от HyperPhysics
Java-моделирование осциллятора пружины и массы

[cnote_A] 
Выбор использования косинуса в этом уравнении является условным. Другие допустимые составы:
$x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi '\right),$
куда
$\tan \varphi '={\frac {c_{1}}{c_{2}}},$
поскольку $cos θ = sin (π / 2 - θ)$ .

[cnote_B] 
Максимальное смещение (то есть, амплитуда), $х макс$ , происходит тогда , когда $соз (ωt \pm ф) = 1$ , и , таким образом , когда $х макс =$ .

[1] "Простое гармоническое движение - концепции" .