Гидродинамика сглаженных частиц

Схематическое изображение свертки SPH

Обтекание цилиндра со свободной поверхностью, смоделированное с помощью SPH. См. ^[1] для аналогичного моделирования.

Гидродинамика сглаженных частиц ( SPH ) - это вычислительный метод, используемый для моделирования механики сплошных сред, например механики твердого тела и потоков жидкости . Он был разработан Гингольдом и Монаганом ^[2] и Люси ^[3] в 1977 году, первоначально для астрофизических задач. Он использовался во многих областях исследований, включая астрофизику , баллистику , вулканологию и океанографию . Это метод Лагранжа без сетки (где координаты движутся вместе с жидкостью), и разрешение метода можно легко настроить с учетом таких переменных, какплотность .

Метод [ править ]

Преимущества [ править ]

• По своей конструкции SPH представляет собой бессеточный метод , что делает его идеально подходящим для моделирования задач, в которых преобладает сложная граничная динамика, таких как потоки на свободной поверхности или большое смещение границы.
• Отсутствие сетки значительно упрощает реализацию модели и ее распараллеливание даже для многоядерных архитектур. ^{[4] [5]}

• SPH может быть легко расширен на широкий спектр областей и гибридизирован с некоторыми другими моделями, как описано в Физическом моделировании .
• Как обсуждалось в разделе, посвященном слабосжимаемому SPH , этот метод имеет большие свойства сохранения.
• Вычислительные затраты на моделирование SPH на количество частиц значительно меньше, чем затраты на сеточное моделирование на количество ячеек, когда интересующая метрика связана с плотностью жидкости (например, функция плотности вероятности флуктуаций плотности). ^[6] Это так, потому что в SPH разрешение ставится там, где дело.

Ограничения [ править ]

• Установка граничных условий в SPH, таких как входы и выходы ^[7] и стены ^[8], сложнее, чем с сеточными методами. Фактически, было заявлено, что «обработка граничных условий, безусловно, является одним из самых сложных технических моментов метода SPH». ^[9] Эта проблема отчасти вызвана тем, что в SPH частицы вблизи границы меняются со временем. ^[10] Тем не менее, граничные условия на стенке для SPH доступны ^{[8] [10] [11]}
• Вычислительные затраты на моделирование SPH на количество частиц значительно превышают затраты на сеточное моделирование на количество ячеек, когда интересующая метрика не связана (напрямую) с плотностью (например, спектром кинетической энергии). ^[6] Таким образом, игнорируя вопросы параллельного ускорения , моделирование потоков с постоянной плотностью (например, внешняя аэродинамика ) более эффективно с сеточными методами, чем с SPH.

Примеры [ править ]

Гидродинамика [ править ]

Гидродинамика сглаженных частиц все чаще используется для моделирования движения жидкости.также. Это связано с рядом преимуществ по сравнению с традиционными сетками. Во-первых, SPH гарантирует сохранение массы без дополнительных вычислений, поскольку сами частицы представляют собой массу. Во-вторых, SPH вычисляет давление на основе взвешенных вкладов соседних частиц, а не путем решения линейных систем уравнений. Наконец, в отличие от методов на основе сетки, которые должны отслеживать границы жидкости, SPH создает свободную поверхность для двухфазных взаимодействующих жидкостей напрямую, поскольку частицы представляют собой более плотную жидкость (обычно воду), а пустое пространство представляет более легкую жидкость (обычно воздух). По этим причинам можно моделировать движение жидкости с помощью SPH в реальном времени. Однако и методы на основе сетки, и методы SPH по-прежнему требуют создания визуализируемой геометрии свободной поверхности с использованием метода полигонизации, такого какметаболы и маршевые кубы , разбрызгивание точек или визуализация «ковра». Для газовой динамики более целесообразно использовать саму функцию ядра, чтобы произвести рендеринг плотности газового столба (например, как это сделано в пакете визуализации SPLASH).

Одним из недостатков методов на основе сетки является необходимость большого количества частиц для моделирования с эквивалентным разрешением. В типичной реализации как однородных сеток, так и методов SPH-частиц будет использоваться множество вокселей или частиц для заполнения объемов воды, которые никогда не визуализируются. Однако точность может быть значительно выше с помощью сложных методов на основе сетки, особенно в сочетании с методами частиц (такими как наборы уровней частиц), поскольку в этих системах легче обеспечить выполнение условия несжимаемости . SPH для моделирования жидкости все чаще используется в анимации в реальном времени и играх, где точность не так важна, как интерактивность.

Недавняя работа в SPH для моделирования жидкости повысила производительность, точность и области применения:

• Б. Соленталер, 2009, разрабатывает прогнозно-корректирующий SPH (PCISPH), чтобы учесть ограничения на несжимаемость ^[12]
• M. Ihmsen et al., 2010, вводят обработку границ и адаптивное изменение времени для PCISPH для точного взаимодействия с твердыми телами ^[13]
• K. Bodin et al., 2011, заменяют стандартное уравнение давления состояния ограничением плотности и применяют вариационный временной интегратор ^[14]
• R. Hoetzlein, 2012, разрабатывает эффективный SPH на базе графического процессора для больших сцен в Fluids v.3 ^[15]
• N. Akinci et al., 2012, представляют универсальную технику управления границами и двухстороннюю жесткую связь SPH, которая полностью основана на гидродинамических силах; подход применим к различным типам решателей SPH ^[16]
• M. Macklin et al., 2013 моделируют потоки несжимаемой жидкости внутри структуры Position Based Dynamics для больших временных шагов ^[17]
• N. Akinci et al., 2013, представляют универсальный метод поверхностного натяжения и двусторонней адгезии жидкости к твердому телу, который позволяет моделировать множество интересных физических эффектов, которые наблюдаются в действительности ^[18]
• J. Kyle и E. Terrell, 2013, применяют SPH к полнопленочной смазке ^[19]
• A. Mahdavi и N. Talebbeydokhti, 2015, предлагают гибридный алгоритм для реализации твердого граничного условия и моделирования обтекания водослива с острым гребнем ^[20]
• S. Tavakkol et al., 2016, разработали curvSPH, который делает горизонтальный и вертикальный размер частиц независимыми и генерирует равномерное распределение массы вдоль криволинейных границ ^[21]
• W. Kostorz и A. Esmail-Yakas, 2020, предлагают общий, эффективный и простой метод оценки коэффициентов нормализации вблизи кусочно-плоских границ ^[11]
• Colagrossi et al., 2019, исследуют обтекание цилиндра вблизи свободной поверхности и сравнивают его с другими методами ^[1]

Астрофизика [ править ]

Адаптивное разрешение гидродинамики сглаженных частиц, численное сохранение физически сохраняемых величин и способность моделировать явления, охватывающие многие порядки величин, делают ее идеальной для вычислений в теоретической астрофизике . ^[22]

Моделирование образования галактик , звездообразования , столкновений звезд , ^[23] сверхновых ^[24] и столкновений с метеоритами - вот некоторые из самых разнообразных астрофизических и космологических применений этого метода.

SPH используется для моделирования гидродинамических потоков, включая возможные эффекты силы тяжести . Включение других астрофизических процессов, которые могут быть важны, таких как перенос излучения и магнитные поля, является активной областью исследований в астрономическом сообществе и имеет ограниченный успех. ^{[25] [26]}

Механика твердого тела [ править ]

Либерский и Петчек ^{[27] [28]} распространили SPH на Механику твердого тела. Основным преимуществом SPH в этом приложении является возможность работы с большими локальными искажениями, чем методы на основе сетки. Эта функция использовалась во многих приложениях в механике твердого тела: формовка металла, удар, рост трещины, разрушение, фрагментация и т. Д.

Еще одно важное преимущество бессеточных методов в целом и SPH в частности состоит в том, что проблемы зависимости от сетки, естественно, можно избежать, учитывая бессеточный характер метода. В частности, выравнивание сетки связано с проблемами, связанными с трещинами, и его избегают в SPH из-за изотропной поддержки функций ядра. Однако классические составы SPH страдают нестабильностью при растяжении ^[29] и непоследовательностью. ^[30] За последние годы были внесены различные поправки для повышения точности решения SPH, что привело к RKPM Лю и др. ^[31] Рэндлс и Либерски ^[32] и Джонсон и Бейссел ^[33]пытались решить проблему согласованности в своем исследовании ударных явлений.

Dyka et al. ^{[34] [35]} и Randles и Libersky ^[36] ввели интеграцию точки напряжения в SPH, а Тед Беличко и др. ^[37] показали, что метод точки напряжения устраняет нестабильность из-за ложных сингулярных мод, в то время как неустойчивости при растяжении можно избежать, используя ядро ​​Лагранжа. В литературе можно найти множество других недавних исследований, посвященных улучшению сходимости метода SPH.

Недавние улучшения в понимании сходимости и стабильности SPH позволили найти более широкое применение в механике твердого тела. Другие примеры применения и развития метода включают:

• Моделирование обработки металлов давлением. ^[38]
• Основанный на SPH метод SPAM (Smoothed Particle Applied Mechanics) для ударного разрушения твердых тел Уильяма Г. Гувера . ^[39]
• Модифицированный SPH (SPH / MLSPH) для разрушения и фрагментации. ^[40]
• Taylor-SPH (TSPH) для распространения ударных волн в твердых телах. ^[41]
• Обобщенная система координат SPH (GSPH) распределяет частицы неоднородно в декартовой системе координат и упорядочивает их посредством отображения в обобщенной системе координат, в которой частицы выровнены с одинаковым интервалом. ^[42]

Числовые инструменты [ править ]

Интерполяции [ править ]

Метод гидродинамики сглаженных частиц (SPH) работает путем разделения жидкости на набор дискретных движущихся элементов , называемых частицами. Их лагранжева природа позволяет задавать их положение путем интегрирования их скорости как:${\ displaystyle i, j}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {я}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {я}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {r}} _ {i}} {\ mathrm {d} t}} = {\ boldsymbol {v}} _ {i}.}$

Эти частицы взаимодействуют через функцию ядра с характеристическим радиусом, известным как «длина сглаживания», обычно представленная в уравнениях как . Это означает, что физическое количество любой частицы может быть получено путем суммирования соответствующих свойств всех частиц, лежащих в пределах диапазона ядра, причем последнее используется в качестве весовой функции . Это можно понять в два этапа. Сначала произвольное поле записывается в виде свертки с :${\ displaystyle h}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W}$

${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})=\int A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}}|,h)\mathrm {d} V\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right).}$

Ошибка в принятии выше приближение порядка . Во-вторых, интеграл аппроксимируется суммированием Римана по частицам:${\displaystyle h^{2}}$

${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})=\sum _{j}V_{j}A_{j}W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{j}|,h),}$

где суммирование включает все частицы в моделировании. - объем частицы , - величина количества частицы и обозначает положение. Например, плотность частицы может быть выражена как:${\displaystyle j}$${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$${\displaystyle \rho _{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \rho _{i}=\rho ({\boldsymbol {r}}_{i})=\sum _{j}m_{j}W_{ij},}$

где обозначает массу частицы и плотность частицы, а - краткое обозначение для . Ошибка делается при аппроксимации интеграла по дискретной сумме зависит , от размера частиц (то есть , являясь размерность пространства), а также от расположения частиц в пространстве. О последнем эффекте пока мало что известно. ^[43]${\displaystyle m_{j}=\rho _{j}V_{j}}$${\displaystyle \rho _{j}}$${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$${\displaystyle W(|{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}|,h)}$${\displaystyle h}$${\displaystyle V_{j}^{1/d}}$${\displaystyle d}$

Обычно используемые функции ядра включают функцию Гаусса , пятый сплайн и ядро Вендланда . ^[44] Последние два ядра имеют компактный носитель (в отличие от гауссовского, где есть небольшой вклад на любом конечном расстоянии), с носителем, пропорциональным . Это дает преимущество в экономии вычислительных затрат за счет исключения относительно незначительных вкладов от далеких частиц.${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle h}$

Хотя размер длины сглаживания можно фиксировать как в пространстве, так и во времени , при этом не используются все возможности SPH. Назначая каждой частице собственную длину сглаживания и позволяя ей изменяться во времени, разрешение моделирования может автоматически адаптироваться в зависимости от местных условий. Например, в очень плотной области, где много частиц близко друг к другу, длина сглаживания может быть относительно короткой, что обеспечивает высокое пространственное разрешение. И наоборот, в областях с низкой плотностью, где отдельные частицы находятся далеко друг от друга и разрешение низкое, длину сглаживания можно увеличить, оптимизируя вычисления для интересующих областей.

Операторы [ править ]

Для частиц постоянной массы дифференцирование интерполированной плотности по времени дает${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=\sum _{j}m_{j}\left({\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\cdot \nabla W_{ij},}$

где - градиент по . Сравнение приведенного выше уравнения с уравнением неразрывности в механике сплошных сред показывает, что правая часть является приближением ; следовательно, оператор дискретной дивергенции определяется следующим образом:${\displaystyle \nabla W_{ij}=-\nabla W_{ji}}$${\displaystyle W_{ij}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}}$${\displaystyle -\rho \nabla \cdot \mathbf {v} }$

${\displaystyle \operatorname {D} _{i}\left\{{\boldsymbol {v}}_{j}\right\}=-{\frac {1}{\rho _{i}}}\sum _{j}m_{j}\left({\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\cdot \nabla W_{ij}.}$

Этот оператор дает приближение SPH на частице для данного набора частиц с заданными массами , положениями и скоростями .${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} }$${\displaystyle i}$${\displaystyle m_{j}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {r} _{j}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {v} _{j}\right\}}$

Точно так же можно определить оператор дискретного градиента, чтобы аппроксимировать градиент давления в положении частицы :${\displaystyle i}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbf {G} } _{i}\left\{p_{j}\right\}={\frac {1}{\rho _{i}}}\sum _{j}m_{j}\left({\frac {p_{i}}{\rho _{i}^{2}}}+{\frac {p_{j}}{\rho _{j}^{2}}}\right)\nabla W_{ij},}$

где обозначают набор давлений частиц. Есть несколько способов определить дискретные операторы в SPH; приведенные выше формулы расхождения и градиента обладают свойством быть кососопряженным, что приводит к хорошим свойствам сохранения. ^[45] С другой стороны, хотя оператор дивергенции согласован нулевого порядка, можно видеть, что приближенный градиент не так. Было предложено несколько способов обойти эту проблему, что привело к перенормировке операторов (см., Например, ^[46] ).${\displaystyle \left\{p_{j}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {D} }$${\displaystyle \operatorname {\mathbf {G} } }$

Управляющие уравнения [ править ]

Операторы SPH могут использоваться для дискретизации ряда дифференциальных уравнений в частных производных. Для сжимаемой невязкой жидкости уравнения Эйлера сохранения массы и баланса импульса гласят:

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}=-\rho \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}}$

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\boldsymbol {g}}}$

Все виды операторов дивергенции SPH и градиента практически могут использоваться для целей дискретизации. Тем не менее, некоторые из них лучше справляются с физическими и численными эффектами. Часто используемая форма уравнений баланса основана на операторе симметричной дивергенции и антисимметричном градиенте:

${\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=-\rho \operatorname {D} _{i}\left\{{\boldsymbol {v}}_{j}\right\}}$

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {v}}_{i}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {\mathbf {G} } _{i}\left\{p_{j}\right\}+{\boldsymbol {g}}}$

Хотя существует несколько способов дискретизации градиента давления в уравнениях Эйлера, приведенная выше антисимметричная форма является наиболее известной. Он поддерживает строгое сохранение линейного момента и момента количества движения. Это означает, что сила, которая действует на частицу за частицей, равна силе, действующей на частицу за частицей, включая изменение знака эффективного направления, благодаря свойству антисимметрии .${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \nabla W_{ij}=-\nabla W_{ji}}$

Вариационный принцип [ править ]

Приведенные выше управляющие уравнения SPH могут быть выведены из принципа наименьшего действия , начиная с лагранжиана системы частиц:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{j}m_{j}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}_{j}^{2}-e_{j}+{\boldsymbol {g}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{j}\right)}$,

где - удельная внутренняя энергия частицы . Уравнение Эйлера – Лагранжа вариационной механики для каждой частицы гласит:${\displaystyle e_{j}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {v}}_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\boldsymbol {r}}_{i}}}.}$

В применении к вышеуказанному лагранжиану он дает следующее уравнение импульса:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\sum _{j}m_{j}{\frac {p_{j}}{\rho _{j}^{2}}}{\frac {\partial \rho _{j}}{\partial \rho _{i}}}+{\boldsymbol {g}}}$,

где мы использовали термодинамическое свойство . Добавление интерполяции плотности SPH и дифференцирования явно приводит к${\displaystyle \mathrm {d} e=\left(p/\rho ^{2}\right)\mathrm {d} \rho }$${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho _{j}}{\partial \rho _{i}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}_{i}}{\mathrm {d} t}}=-\sum _{j}m_{j}\left({\frac {p_{i}}{\rho _{i}^{2}}}+{\frac {p_{j}}{\rho _{j}^{2}}}\right)\nabla W_{ij},}$

которое является уже упомянутым уравнением импульса SPH, в котором мы узнаем оператор. Это объясняет, почему сохраняется линейный импульс, а также позволяет сохранить угловой момент и энергию. ^[47]${\displaystyle \operatorname {\mathbf {G} } }$

Интеграция времени [ править ]

На основе работ, проделанных в 80-х и 90-х годах по численному интегрированию точечных частиц в больших ускорителях, были разработаны подходящие временные интеграторы с точными свойствами сохранения в долгосрочной перспективе; они называются симплектическими интеграторами . Самой популярной в литературе по SPH является схема чехарда , в которой для каждой частицы читается :${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {v}}_{i}^{n+1/2}&={\boldsymbol {v}}_{i}^{n}+{\boldsymbol {a}}_{i}^{n}{\frac {\Delta t}{2}},\\{\boldsymbol {r}}_{i}^{n+1}&={\boldsymbol {r}}_{i}^{n}+{\boldsymbol {v}}_{i}^{i+1/2}\Delta t,\\{\boldsymbol {v}}_{i}^{n+1}&={\boldsymbol {v}}_{i}^{n+1/2}+{\boldsymbol {a}}_{i}^{i+1}{\frac {\Delta t}{2}},\end{aligned}}}$

где - шаг по времени, верхние индексы обозначают итерации по времени, а - ускорение частицы, заданное правой частью уравнения импульса.${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{i}}$

Существуют и другие симплектические интеграторы (см. Справочник ^[48] ). Рекомендуется использовать симплектическую схему (даже низкого порядка) вместо несимплектической схемы высокого порядка, чтобы избежать накопления ошибок после многих итераций.

Интегрирование плотности не было широко изучено (подробнее см. Ниже ).

Симплектические схемы консервативны, но явны, поэтому для их численной устойчивости требуются условия устойчивости, аналогичные условию Куранта-Фридрихса-Леви (см. Ниже ).

Граничные методы [ править ]

В случае, если свертка SPH должна выполняться близко к границе, то есть ближе, чем s · h , тогда интегральная опора усекается. Действительно, когда на свертку влияет граница, свертка должна быть разбита на 2 интеграла:

${\displaystyle A({\boldsymbol {r}})=\int _{\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}}|,h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}+\int _{B({\boldsymbol {r}})-\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)W(|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}}|,h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}},}$

где B ( r ) - компактный опорный шар с центром в r и радиусом s · h , а Ω ( r ) обозначает часть компактной опоры внутри расчетной области Ω ∩ B ( r ) . Следовательно, наложение граничных условий в SPH полностью основано на аппроксимации второго интеграла в правой части. То же самое, конечно, можно применить к вычислению дифференциальных операторов,

${\displaystyle \nabla A({\boldsymbol {r}})=\int _{\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)\nabla W({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}},h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}+\int _{B({\boldsymbol {r}})-\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)\nabla W({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}},h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}.}$

В прошлом для моделирования границ в SPH использовалось несколько методов.

Полное пренебрежение [ править ]

Самая прямая граничная модель - это пренебрежение интегралом,

${\displaystyle \int _{B({\boldsymbol {r}})-\Omega ({\boldsymbol {r}})}A\left({\boldsymbol {r^{\prime }}}\right)\nabla W({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r^{\prime }}},h)d{\boldsymbol {r^{\prime }}}\simeq {\boldsymbol {0}},}$

такие, что учитываются только объемные взаимодействия,

${\displaystyle \nabla A_{i}=\sum _{j\in \Omega _{i}}V_{j}A_{j}\nabla W_{ij}.}$

Это популярный подход, когда свободная поверхность рассматривается в однофазном моделировании. ^[49]

Основное преимущество этого граничного условия - его очевидная простота. Однако при применении этого метода границ необходимо учитывать несколько вопросов согласованности. ^[49] На самом деле это серьезное ограничение на его потенциальные применения.

Fluid Extension [ править ]

Вероятно, самый популярный или, по крайней мере, самый традиционный метод для наложения граничных условий в SPH - это метод расширения жидкости. Такой метод основан на заполнении компактной подложки через границу так называемыми фанатичными частицами с удобным наложением значений их полей. ^[50]

В этом направлении методологию интегрального пренебрежения можно рассматривать как частный случай расширений жидкости, когда поле A исчезает за пределами расчетной области.

Основное преимущество этой методологии - простота, при условии, что граничный вклад вычисляется как часть объемных взаимодействий. Кроме того, эта методология подверглась глубокому анализу в литературе. ^{[51] [50] [52]}

С другой стороны, развертывание фантомных частиц в усеченной области - нетривиальная задача, так что моделирование сложных форм границ становится обременительным. Два самых популярных подхода к заполнению пустой области призрачными частицами - это Mirrored-Particles ^[53] и Fixed-Particles. ^[50]

Граничный интеграл [ править ]

Новейшая пограничная техника - это методология граничного интеграла. ^[54] В этой методологии интеграл пустого объема заменяется поверхностным интегралом и перенормировкой:

${\displaystyle \nabla A_{i}={\frac {1}{\gamma _{i}}}\left(\sum _{j\in \Omega _{i}}V_{j}A_{j}\nabla W_{ij}+\sum _{j\in \partial \Omega _{i}}S_{j}A_{j}{\boldsymbol {n}}_{j}W_{ij}\right),}$

${\displaystyle \gamma _{i}=\sum _{j\in \Omega _{i}}V_{j}W_{ij},}$

где n _j нормаль к j- ^му граничному элементу общего положения . Поверхностный член также может быть решен с использованием полуаналитического выражения. ^[54]

Моделирование физики [ править ]

Гидродинамика [ править ]

Слабо сжимаемый подход [ править ]

Другой способ определения плотности основан на самом операторе сглаживания SPH. Следовательно, плотность оценивается по распределению частиц с использованием интерполяции SPH . Чтобы преодолеть нежелательные ошибки на свободной поверхности из-за усечения ядра, формулировку плотности можно снова интегрировать во времени.^[54]

Слабо сжимаемый SPH в гидродинамике основан на дискретизации уравнений Навье – Стокса или уравнений Эйлера для сжимаемых жидкостей. Для закрытия системы используется соответствующее уравнение состояния , связывающее давление и плотность . Как правило, в SPH используется так называемое уравнение Коула ^[55] (иногда ошибочно называемое « уравнением Тейта »). Он читает${\displaystyle p}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle p={\frac {\rho _{0}c^{2}}{\gamma }}\left(\left({\frac {\rho }{\rho _{0}}}\right)^{\gamma }-1\right)+p_{0},}$

где является эталонной плотности и скорость звука . Для воды обычно используется. Фоновое давление добавляется, чтобы избежать отрицательных значений давления.${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \gamma =7}$${\displaystyle p_{0}}$

Реальные почти несжимаемые жидкости, такие как вода, характеризуются очень высокой скоростью звука порядка . Следовательно, информация о давлении распространяется быстрее по сравнению с фактическим объемным потоком, что приводит к очень малым числам Маха . Уравнение количества движения приводит к следующему соотношению:${\displaystyle 10^{3}m/s}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\frac {\delta \rho }{\rho _{0}}}\approx {\frac {|{\boldsymbol {v}}|}{c^{2}}}=M^{2}}$

где - изменение плотности и вектор скорости. На практике значение c меньше действительного, чтобы избежать слишком малых временных шагов в схеме интегрирования по времени. Обычно используется числовая скорость звука, при которой допускается изменение плотности менее 1%. Это так называемое предположение о слабой сжимаемости. Это соответствует числу Маха меньше 0,1, что означает:${\displaystyle \rho }$${\displaystyle v}$

${\displaystyle c=10v_{max}}$

где необходимо оценить максимальную скорость , например, по закону Торричелли или обоснованному предположению. Поскольку происходят только небольшие изменения плотности, можно принять линейное уравнение состояния: ^[56]${\displaystyle v_{max}}$

${\displaystyle p=c^{2}\left(\rho -\rho _{0}\right)}$

Обычно слабосжимаемые схемы подвержены влиянию высокочастотных паразитных шумов на полях давления и плотности.^[57] Это явление вызвано нелинейным взаимодействием акустических волн и тем фактом, что схема является явной во времени и центрирована в пространстве. ^[58]

На протяжении многих лет было предложено несколько методов избавления от этой проблемы. Их можно разделить на три разные группы:

1. схемы, использующие фильтры плотности,
2. модели, которые добавляют диффузный член в уравнение неразрывности,
3. схемы, которые используют решатели Римана для моделирования взаимодействия частиц.

Метод плотностного фильтра [ править ]

В схемах первой группы фильтр применяется непосредственно к полю плотности для удаления паразитного числового шума. Наиболее часто используемые фильтры - это MLS (Moving Least Squares) и фильтр Шепарда ^[57], которые можно применять на каждом временном шаге или каждые n временных шагов. Чем чаще используется процедура фильтрации, тем более регулярные поля плотности и давления получаются. С другой стороны, это приводит к увеличению вычислительных затрат. При длительном моделировании использование процедуры фильтрации может привести к нарушению составляющей гидростатического давления и несогласованности между глобальным объемом жидкости и полем плотности. Кроме того, это не гарантирует соблюдение динамического граничного условия свободной поверхности.

Метод диффузных терминов [ править ]

Другой способ сгладить поля плотности и давления - добавить диффузный член в уравнение неразрывности (группа 2):

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=\sum _{j}m_{j}\left({\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {v}}_{j}\right)\cdot \nabla W_{ij}+{\mathcal {D}}_{i}(\rho ),}}$

Первые схемы, использующие такой подход, были описаны у Феррари ^[59] и Молтени ^[56], где диффузионный член моделировался как лапласиан поля плотности. Аналогичный подход использовался и в. ^[60]

В ^[61] была предложена поправка к диффузионному члену Молтени ^[56] для устранения некоторых несоответствий вблизи свободной поверхности. В этом случае принятый диффузионный член эквивалентен дифференциальному оператору высокого порядка на поле плотности. ^[62] Схема называется δ-SPH и сохраняет все свойства сохранения SPH без диффузии (например, линейный и угловой моменты, полная энергия, см. ^[63] ) вместе с гладким и регулярным представлением полей плотности и давления. .

В третью группу входят схемы SPH, в которых для моделирования взаимодействий частиц используются численные потоки, полученные с помощью решателей Римана ^{[64] [65]} . ^[66]

Метод решателя Римана [ править ]

Для метода SPH, основанного на решателях Римана, межчастичная задача Римана строится по единичному вектору, указывающему от частицы к частице . В этой задаче Римана начальные левое и правое состояния находятся на частицах и соответственно. В и состоянии${\displaystyle {\mathbf {e}}_{ij}=-{\mathbf {r}}_{ij}/r_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle L}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{cases}(\rho _{L},U_{L},P_{L})=(\rho _{i},{\mathbf {v}}_{i}\cdot {\mathbf {e}}_{ij},P_{i})\\(\rho _{R},U_{R},P_{R})=(\rho _{j},{\mathbf {v}}_{j}\cdot {\mathbf {e}}_{ij},P_{j})\end{cases}}.}$

Решение задачи Римана приводит к трем волнам, исходящим от разрыва. Две волны, которые могут быть ударной волной или волной разрежения, распространяются с наименьшей или наибольшей скоростью волны. Средняя волна всегда является контактным разрывом и разделяет два промежуточных состояния, обозначенных и . Предполагая, что промежуточное состояние удовлетворяет и , линеаризованный решатель Римана для гладких течений или только с умеренно сильными скачками может быть записан как${\displaystyle (\rho _{L}^{\ast },U_{L}^{\ast },P_{L}^{\ast })}$${\displaystyle (\rho _{R}^{\ast },U_{R}^{\ast },P_{R}^{\ast })}$${\displaystyle U_{L}^{\ast }=U_{R}^{\ast }=U^{\ast }}$${\displaystyle P_{L}^{\ast }=P_{R}^{\ast }=P^{\ast }}$

${\displaystyle {\begin{cases}U^{\ast }={\overline {U}}+{\frac {1}{2}}{\frac {(P_{L}-P_{R})}{{\bar {\rho }}c_{0}}}\\P^{\ast }={\overline {P}}+{\frac {1}{2}}{\bar {\rho }}c_{0}{(U_{L}-U_{R})}\end{cases}},}$

где и - средние по частицам. При решении задачи Римана, т. Е. И , дискретизация метода SPH равна${\displaystyle {\overline {U}}=(U_{L}+U_{R})/2}$${\displaystyle {\overline {P}}=(P_{L}+P_{R})/2}$${\displaystyle U^{\ast }}$${\displaystyle P^{\ast }}$

${\displaystyle {\frac {d\rho _{i}}{dt}}=2\rho _{i}\sum _{j}{\frac {m_{j}}{\rho _{j}}}({\mathbf {v}}_{i}-{\mathbf {v}}^{\ast })\cdot \nabla _{i}W_{ij},}$

${\displaystyle {\frac {d{\mathbf {v}}_{i}}{dt}}=-2\sum _{j}m_{j}{\bigg (}{\frac {P^{\ast }}{\rho _{i}\rho _{j}}}{\bigg )}\nabla _{i}W_{ij}.}$

где . Это означает, что средняя скорость и давление между частицами просто заменяются решением задачи Римана. Сравнивая и то, и другое, можно увидеть, что промежуточные скорость и давление из средних значений между частицами составляют неявную диссипацию, то есть регуляризацию плотности и числовую вязкость соответственно.${\displaystyle {\mathbf {v}}^{\ast }=U^{\ast }{\mathbf {e}}_{ij}+({\overline {\mathbf {v}}}_{ij}-{\overline {U}}{\mathbf {e}}_{ij})}$

Поскольку указанная выше дискретизация очень диссипативна, простая модификация заключается в применении ограничителя для уменьшения неявных численных диссипаций, вводимых путем ограничения промежуточного давления ^[67]

${\displaystyle P^{\ast }={\overline {P}}+{\frac {1}{2}}\beta {\overline {\rho }}{(U_{L}-U_{R})},}$

где ограничитель определяется как

${\displaystyle \beta =\min {\big (}\eta \max(U_{L}-U_{R},0),{\overline {c}}{\big )}.}$

Обратите внимание, что это гарантирует отсутствие диссипации, когда жидкость находится под действием волны расширения, т. Е. И что параметр используется для модуляции диссипации, когда жидкость находится под действием волны сжатия, т . Е. Численные эксперименты показали, что в целом он эффективен. Также обратите внимание, что диссипация, вносимая промежуточной скоростью, не ограничена.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle U_{L}<U_{R}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle U_{L}\geq U_{R}}$${\displaystyle \eta =3}$

Несжимаемый подход [ править ]

Моделирование вязкости [ править ]

В общем, описание гидродинамических потоков требует удобной трактовки диффузионных процессов для моделирования вязкости в уравнениях Навье – Стокса . Он требует особого рассмотрения, поскольку включает в себя дифференциальный оператор лапласа . Поскольку прямые вычисления не дают удовлетворительных результатов, было предложено несколько подходов к моделированию диффузии.

• Искусственная вязкость

Введенная Монаганом и Гинголдом ^[68] искусственная вязкость использовалась для работы с потоками жидкости с высоким числом Маха . Он читает

${\displaystyle \Pi _{ij}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {-\alpha {\bar {c}}_{ij}\phi _{ij}+\beta \phi _{ij}^{2}}{{\bar {\rho }}_{ij}}}&\quad {\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}<0\\0&\quad {\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}\geq 0\end{cases}}}$

Здесь контролируется объемная вязкость, при этом он действует аналогично искусственной вязкости Неймана-Рихтмейра. Определяется ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \phi _{ij}}$

${\displaystyle \phi _{ij}={\frac {h{\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}}{\Vert {\boldsymbol {r}}_{ij}\Vert ^{2}+\eta _{h}^{2}}}.}$

Также было показано, что искусственная вязкость улучшает общую стабильность моделирования потока. Следовательно, он применяется к невязким проблемам в следующей форме

${\displaystyle \Pi _{ij}=\alpha hc{\frac {{\boldsymbol {v}}_{ij}\cdot {\boldsymbol {r}}_{ij}}{\Vert {\boldsymbol {r}}_{ij}\Vert ^{2}+\eta _{h}^{2}}}.}$

С помощью этого подхода можно не только стабилизировать невязкое моделирование, но и смоделировать физическую вязкость. Сделать так

${\displaystyle \alpha hc=2(n+2){\frac {\mu }{\rho }}}$

подставляется в уравнение выше, где - количество пространственных размеров модели. Этот подход вводит объемную вязкость .${\displaystyle n}$${\displaystyle \zeta ={\frac {5}{3}}\mu }$

• Моррис

Для малых чисел Рейнольдса модель вязкости была предложена Моррисом ^[69] .

${\displaystyle [\nu \Delta {\boldsymbol {v}}]_{ij}={\frac {2\nu }{\rho _{j}}}\,{\frac {{\boldsymbol {r}}_{ij}\cdot \nabla w_{h,ij}}{\Vert {\boldsymbol {r}}_{ij}\Vert ^{2}+\eta _{h}^{2}}}\,{\boldsymbol {v}}_{ij}.}$

• LoShao

Дополнительная физика [ править ]

• Поверхностное натяжение
• Теплопередача
• Турбулентность

Многофазные расширения [ править ]

Астрофизика [ править ]

Часто в астрофизике в дополнение к чистой гидродинамике хотят моделировать самогравитацию. Основанная на частицах природа SPH делает его идеальным для комбинирования с гравитационным решателем на основе частиц, например гравитационным кодом дерева , ^[70] сеткой частиц или сеткой частицы-частицы .

Механика твердого тела и взаимодействие жидкости и структуры (FSI) [ править ]

Общая лагранжева формулировка механики твердого тела [ править ]

Чтобы дискретизировать основные уравнения динамики твердого тела, сначала вводится поправочная матрица ^{[71] [72]} для воспроизведения вращения твердого тела как${\displaystyle \mathbb {B} ^{0}}$

${\displaystyle \mathbb {B} _{a}^{0}=\left(\sum _{b}V_{b}^{0}\left(\mathbf {r} _{b}^{0}-\mathbf {r} _{a}^{0}\right)\otimes \nabla _{a}^{0}W_{ab}\right)^{-1}}$

( 1 )

куда

${\displaystyle \nabla _{a}^{0}W_{a}={\frac {\partial W\left(|\mathbf {r} _{ab}^{0}|,h\right)}{\partial |\mathbf {r} _{ab}^{0}|}}\mathbf {e} _{ab}^{0}}$

обозначает градиент функции ядра, вычисленный в начальной эталонной конфигурации. Обратите внимание, что индексы и используются для обозначения твердых частиц, а длина сглаживания идентична таковой при дискретизации уравнений жидкости.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$

Используя исходную конфигурацию в качестве эталона, плотность твердого тела непосредственно оценивается как

${\displaystyle \rho _{a}=\rho _{a}^{0}{\frac {1}{J}}}$

( 2 )

где - определитель якобиана тензора деформации .${\displaystyle J=\det(\mathbb {F} )}$${\displaystyle \mathbb {F} }$

Теперь мы можем дискретизировать уравнение импульса в следующем виде

${\displaystyle m_{a}{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=2\sum _{b}V_{a}V_{b}{\tilde {\mathbb {P} }}_{ab}\nabla _{a}^{0}W_{ab}+\mathbf {g} +\mathbf {f} _{a}^{F:p}+\mathbf {f} _{a}^{F:v}}$

( 3 )

где среднее между частицами первое напряжение Пиолы-Кирхгофа определяется как${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}_{ab}={\frac {1}{2}}\left(\mathbb {P} _{a}\mathbb {B} _{a}^{0}+\mathbb {P} _{b}\mathbb {B} _{b}^{0}\right)}$

( 4 )

.

Также и соответствуют давлению жидкости и силам вязкости, действующим на твердую частицу , соответственно.${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:p}}$${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:v}}$${\displaystyle a}$

Соединение жидкость-структура [ править ]

В соединении жидкость-структура окружающая твердая структура ведет себя как движущаяся граница для жидкости, и граничное условие прилипания накладывается на границу раздела жидкость-структура. силы взаимодействия и, действующие на жидкую частицу , из-за присутствия соседней твердой частицы , могут быть получены как ^[73]${\displaystyle \mathbf {f} _{i}^{S:p}}$${\displaystyle \mathbf {f} _{i}^{S:v}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \mathbf {f} _{i}^{S:p}=-2\sum _{a}V_{i}V_{a}{\frac {p_{i}\rho _{a}^{d}+p_{a}^{d}\rho _{i}}{\rho _{i}+\rho _{a}^{d}}}\nabla _{i}W(\mathbf {r} _{ia},h)}$

( 5 )

и

${\displaystyle \mathbf {f} _{i}^{S:v}=2\sum _{a}\eta V_{i}V_{a}{\frac {\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{a}^{d}}{r_{ia}}}{\frac {\partial W(\mathbf {r} _{ia},h)}{\partial {{r}_{ia}}}}}$

( 6 )

.

Здесь мнимые давление и скорость определяются как${\displaystyle p_{a}^{d}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{a}^{d}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p_{a}^{d}=p_{i}+\rho _{i}max(0,(\mathbf {g} -{\frac {{\text{d}}\mathbf {v} _{a}}{{\text{d}}t}})\cdot \mathbf {n} ^{S})(\mathbf {r} _{ia}\cdot \mathbf {n} ^{S})\\\mathbf {v} _{a}^{d}=2\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{a}\end{cases}}}$

( 7 )

.

где обозначает направление нормали к поверхности твердой структуры, а мнимая плотность частиц рассчитывается с помощью уравнения состояния.${\displaystyle \mathbf {n} ^{S}}$${\displaystyle \rho _{a}^{d}}$

Соответственно, силы взаимодействия и, действующие на твердую частицу , задаются выражениями${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:p}}$${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:v}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:p}=-2\sum _{i}V_{a}V_{i}{\frac {p_{a}^{d}\rho _{i}+p_{i}\rho _{a}^{d}}{\rho _{i}+\rho _{a}^{d}}}\nabla _{a}W(\mathbf {r} _{ai},h)}$

( 8 )

и

${\displaystyle \mathbf {f} _{a}^{F:v}=2\sum _{i}\eta V_{a}V_{i}{\frac {\mathbf {v} _{a}^{d}-\mathbf {v} _{i}}{r_{ia}}}{\frac {\partial W(\mathbf {r} _{ia},h)}{\partial {{r}_{ai}}}}}$

( 9 )

.

Антисимметричное свойство производной ядерной функции обеспечит сохранение импульса для каждой пары взаимодействующих частиц и .${\displaystyle i}$${\displaystyle a}$

Другое [ править ]

Метод дискретных элементов , используемый для моделирования сыпучих материалов , относится к SPH.

Варианты метода [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Гувер, WG (2006). Прикладная механика гладких частиц: состояние дел, мировая наука.
• Моделирование удара с помощью SPH Stellingwerf, RF, Wingate, CA, Memorie della Societa Astronomia Italiana, Vol. 65, стр. 1117 (1994).
• Amada, T., Imura, M., Yasumuro, Y., Manabe, Y. и Chihara, K. (2004) Моделирование жидкости на основе частиц на GPU, в материалах семинара ACM по универсальным вычислениям на графических процессорах (август , 2004, Лос-Анджелес, Калифорния).
• Дебрун М. и Кани депутат. (1996). Smoothed Particles: новая парадигма анимации сильно деформируемых тел. В материалах семинара Eurographics по компьютерной анимации и моделированию (август 1996 г., Пуатье, Франция).
• Хегеман, К., Карр, Н. А. и Миллер, GSP Моделирование жидкости на основе частиц на графическом процессоре. В материалах Международной конференции по вычислительной науке (Ридинг, Великобритания, май 2006 г.). Труды опубликованы как Lecture Notes in Computer Science v. 3994/2006 (Springer-Verlag).
• М. Келагер. (2006) Лагранжева гидродинамика с использованием гидродинамики сглаженных частиц, М. Келагар (магистерская диссертация, Университет Копенгагена).
• Колб А. и Кунц Н. (2005). Динамическое связывание частиц для моделирования жидкости на базе графического процессора. В материалах 18-го симпозиума по методам моделирования (2005), стр. 722–727.
• Лю, Г.Р., и Лю, М.Б. Гидродинамика сглаженных частиц: бессеточный метод частиц. Сингапур: World Scientific (2003).
• Монаган, Дж. Дж. (1992). Гидродинамика сглаженных частиц. Анну. Rev. Astron. Astrophys. (1992). 30: 543–74.
• Мюллер, М., Чарипар, Д. и Гросс, М. Моделирование жидкостей на основе частиц для интерактивных приложений, В трудах симпозиума Eurographics / SIGGRAPH по компьютерной анимации (2003), ред. Д. Брин и М. Лин.
• Вестерлунд М. Моделирование и визуализация вязкой жидкости с использованием гидродинамики сглаженных частиц (диплом магистра, Университет Умео, Швеция).
• Виоло Д. Механика жидкости и метод SPH. Издательство Оксфордского университета (2012).

Внешние ссылки [ править ]

• Первое крупное моделирование звездообразования с использованием SPH
• СФЕРИКА (Международное Сообщество Исследователей и Разработки SPH)
• ITVO - это веб-сайт Итальянской теоретической виртуальной обсерватории, созданный для запроса базы данных архива численного моделирования.
• Галерея изображений SPHC отображает широкий спектр тестовых примеров, экспериментальных проверок и коммерческих приложений кода SPH SPHC.
• Вывод модели SPH, исходя из уравнений Навье-Стокса.

Программное обеспечение [ править ]

• Algodoo - это 2D-симулятор для обучения с использованием SPH
• AQUAgpusph - это бесплатная (GPLv3) SPH исследователей, от исследователей, для исследователей
• Dive Solutions - это коммерческое программное обеспечение SPH для инженерных вычислений, предназначенное для CFD
• DualSPHysics - это в основном код SPH с открытым исходным кодом, основанный на SPHysics и использующий вычисления на GPU. Компоненты с открытым исходным кодом доступны по лицензии LGPL.
• FLUIDS v.1 - это простая реализация 3D SPH с открытым исходным кодом (Zlib) в реальном времени на C ++ для жидкостей для CPU и GPU.
• Fluidix - это API-интерфейс моделирования частиц на основе графического процессора, доступный в OneZero Software.
• GADGET [1] - это свободно доступный ( GPL ) код для космологического моделирования N-тел / SPH.
• Симулятор GPUSPH SPH с вязкостью (GPLv3)
• Pasimodo - это программный пакет для методов моделирования на основе частиц, например SPH
• Physics Abstraction Layer - это система абстракции с открытым исходным кодом, которая поддерживает физические движки в реальном времени с поддержкой SPH.
• PreonLab - это коммерческое программное обеспечение для проектирования, разработанное компанией FIFTY2 Technology, реализующее неявный метод SPH.
• Punto - это бесплатный инструмент визуализации для моделирования частиц.
• Платформа pysph с открытым исходным кодом для гидродинамики сглаженных частиц в Python (новая лицензия BSD)
• RealFlow Commercial SPH решатель для киноиндустрии.
• RheoCube - это коммерческий SaaS- продукт от Electric Ant Lab , сочетающий мезоскопические модели SPH с микромасштабным моделированием MD .
• SimPARTIX - это коммерческий пакет для моделирования SPH и метода дискретных элементов (DEM) от Fraunhofer IWM
• SPH-поток
• СФЕРА
• SPHinXsys - это мультифизическая библиотека SPH с открытым исходным кодом и несколькими разрешениями. Он предоставляет API-интерфейсы C ++ для точного физического моделирования и нацелен на моделирование связанных промышленных динамических систем, включая динамику жидкости, твердого тела, динамики нескольких тел и других.
• SPHysics - это реализация SPH с открытым исходным кодом на Фортране.
• SPLASH - это инструмент визуализации с открытым исходным кодом (GPL) для моделирования SPH
• SYMPLER : бесплатное программное обеспечение для симулятора SYMbolic ParticLE от Университета Фрайбурга.
• Nauticle - это универсальный вычислительный инструмент для численных методов на основе частиц.