Решатель Римана

Вычислительная физика

Механика · Электромагнетизм · Термодинамика · Моделирование
Возможности Потенциал Морзе / Дальнего действия · Потенциал Леннарда-Джонса · Потенциал Юкавы · Потенциал Морзе
Динамика жидкостей Конечная разница · Конечный объем Конечный элемент · Граничный элемент Решетка Больцмана · Решатель Римана Динамика диссипативных частиц Гидродинамика сглаженных частиц Модели турбулентности
Методы Монте-Карло Интеграция · Выборка Гиббса · Алгоритм Метрополиса
Частицы N-тело · Частица в клетке Молекулярная динамика
Ученые Годунов · Улам · фон Нейман · Галеркин · Лоренц · Уилсон · Ольха · Рихтмайер
v т е

Римана решатель является численный метод используется для решения задачи Римана . Они широко используются в вычислительной гидродинамике и вычислительной магнитогидродинамике .

Определение [ править ]

Вообще говоря, решатели Римана - это особые методы для вычисления числового потока через разрыв в задаче Римана. ^[1] Они составляют важную часть схем с высоким разрешением ; обычно правое и левое состояния для задачи Римана вычисляются с использованием некоторой формы нелинейной реконструкции, такой как ограничитель потока или метод WENO , а затем используются в качестве входных данных для решателя Римана. ^[2]

Точные решатели [ править ]

Сергею К. Годунову приписывают введение первого точного решателя Римана для уравнений Эйлера, ^[3] путем расширения предыдущего метода CIR (Куранта-Исааксона-Риса) на нелинейные системы гиперболических законов сохранения. Современные решатели могут моделировать релятивистские эффекты и магнитные поля.

Более поздние исследования показывают, что существует точное серийное решение проблемы Римана, которое в некоторых случаях может сходиться достаточно быстро, чтобы избежать итерационных методов, требуемых в схеме Годунова. ^[4]

Приблизительные решатели [ править ]

Поскольку итерационные решения слишком дороги, особенно в магнитогидродинамике, необходимо сделать некоторые приближения. Вот некоторые популярные решатели:

Roe Solver [ править ]

Филип Л. Роу использовал линеаризацию якобиана, который затем точно решает. ^[5]

Решатель HLLE [ править ]

Решатель HLLE (разработанный Ами Хартен , Питером Лаксом , Брамом ван Лиром и Эйнфельдтом) представляет собой приближенное решение проблемы Римана, которое основано только на интегральной форме законов сохранения и максимальной и наименьшей скоростях сигнала на границе раздела. ^[6]^[7] Стабильность и надежность решателя HLLE тесно связаны со скоростями сигналов и единым центральным средним состоянием, как было предложено Эйнфельдтом в исходной статье.

Решатель HLLC [ править ]

Решатель HLLC (Harten-Lax-van Leer-Contact) был представлен Торо. ^[8] Он восстанавливает пропущенную волну разрежения по некоторым оценкам, например линеаризации, они могут быть простыми, но существуют и более сложные, например, использование средней скорости Роу для средней скорости волны. Они довольно прочные и эффективные, но несколько более расплывчатые. ^[9]

Поворотно-гибридные решатели Римана [ править ]

Эти решатели были введены Хироаки Нисикавой и Китамурой ^[10] , чтобы одновременно решить проблемы карбункулов решателя Роу и чрезмерное распространение решателя HLLE. Они разработали надежные и точные решатели Римана, объединив решатель Роу и решатели HLLE / Русанова: они показывают, что при применении в двух ортогональных направлениях два решателя Римана могут быть объединены в один решатель типа Роу (решатель Роу с модифицированными волновыми скоростями ). В частности, метод, полученный из решателей Роу и HLLE, называемый решателем Rotated-RHLL, чрезвычайно надежен (не содержит карбункулов для всех возможных тестовых случаев как на структурированных, так и в неструктурированных сетках) и точен (так же точен, как решатель Роу для границы расчет слоя).

Другие решатели [ править ]

Есть множество других доступных решателей, включая больше вариантов схемы HLL ^[11] и решателей, основанных на разделении потока посредством характеристического разложения. ^[12]

Заметки [ править ]

^ Левек, Рэндалл Дж, 1955- (1992). Численные методы для законов сохранения (2-е изд.). Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2723-5. OCLC 25281500 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Перейти ↑ Toro, EF (2006). Решатели Римана и численные методы для гидродинамики: практическое введение (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-49834-6. OCLC 405546150 .
^ Годунов, С.К. (1959), "Разностная схема для численного расчета разрывного решения гиперболического уравнения", Матем. Сборник , 47 : 271–306.
^ Ву, ГГ; Cheung, KF (2008), "Явное решение точной задачи Римана и его применение в нелинейных уравнениях мелкой воды", Int. J. Numer. Meth. Жидкости , 57 (11): 1649-1668, Bibcode : 2008IJNMF..57.1649W , DOI : 10.1002 / fld.1696
^ Роу, П.Л. (1981), "Приближенные решатели Римана, векторы параметров и разностные схемы", J. Comput. Phys. , 43 (2): 357-372, Bibcode : 1981JCoPh..43..357R , DOI : 10,1016 / 0021-9991 (81) 90128-5
^ Хартен, Амирам; Лакс, Питер Д .; Ван Леер, Брэм (1983). «О восходящих разностных схемах и схемах типа Годунова для гиперболических законов сохранения». SIAM Обзор . 25 (1): 35–61. DOI : 10.1137 / 1025002 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2030019 .
^ Einfeldt, В. (1988), "Методы На Годунов типа для газовой динамики", SIAM J. Нумер. Анальный. , 25 (2): 294-318, Bibcode : 1988SJNA ... 25..294E , DOI : 10,1137 / 0725021
^ Торо, EF; Ель, М .; Спирс, W. (1994), "Восстановление контактной поверхности в решателе HLL-Riemann", Shock Waves , 4 (1): 25–34, Bibcode : 1994ShWav ... 4 ... 25T , doi : 10.1007 / BF01414629
^ Quirk, JJ (1994), "Вклад в великие дебаты о решателе Римана", Int. J. Numer. Meth. Жидкости , 18 (6): 555–574, Bibcode : 1994IJNMF..18..555Q , doi : 10.1002 / fld.1650180603 , hdl : 2060/19930015894 .
^ Nishikawa, H .; Китамура, К. (2008), "Очень простые, не содержащие карбункулов, разрешающие пограничный слой, повернутые гибридные решатели Римана", J. Comput. Phys. , 227 (4): 2560-2581, Bibcode : 2008JCoPh.227.2560N , DOI : 10.1016 / j.jcp.2007.11.003
^ Миёси, Такахиро; Кусано, Каня (сентябрь 2005 г.). "Многоуровневый HLL приближенный решатель Римана для идеальной магнитогидродинамики". Журнал вычислительной физики . 208 (1): 315–344. Bibcode : 2005JCoPh.208..315M . DOI : 10.1016 / j.jcp.2005.02.017 .
^ Donat, R .; Шрифт, JA; Ibáñez, J.Ma; Маркина, А. (октябрь 1998 г.). «Алгоритм разделения потока, применяемый к релятивистским потокам». Журнал вычислительной физики . 146 (1): 58–81. Bibcode : 1998JCoPh.146 ... 58D . DOI : 10,1006 / jcph.1998.5955 .

См. Также [ править ]

Схема Годунова
Вычислительная гидродинамика
Вычислительная магнитогидродинамика

Ссылки [ править ]

Торо, Элеутерио Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы для гидродинамики , Берлин: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-65966-2

Внешние ссылки [ править ]

[1] Левек, Рэндалл Дж, 1955- (1992). Численные методы для законов сохранения (2-е изд.). Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2723-5. OCLC 25281500 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[2] Перейти ↑ Toro, EF (2006). Решатели Римана и численные методы для гидродинамики: практическое введение (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-49834-6. OCLC 405546150 .

[3] Годунов, С.К. (1959), "Разностная схема для численного расчета разрывного решения гиперболического уравнения", Матем. Сборник , 47 : 271–306.

[4] Ву, ГГ; Cheung, KF (2008), "Явное решение точной задачи Римана и его применение в нелинейных уравнениях мелкой воды", Int. J. Numer. Meth. Жидкости , 57 (11): 1649-1668, Bibcode : 2008IJNMF..57.1649W , DOI : 10.1002 / fld.1696

[5] Роу, П.Л. (1981), "Приближенные решатели Римана, векторы параметров и разностные схемы", J. Comput. Phys. , 43 (2): 357-372, Bibcode : 1981JCoPh..43..357R , DOI : 10,1016 / 0021-9991 (81) 90128-5

[6] Хартен, Амирам; Лакс, Питер Д .; Ван Леер, Брэм (1983). «О восходящих разностных схемах и схемах типа Годунова для гиперболических законов сохранения». SIAM Обзор . 25 (1): 35–61. DOI : 10.1137 / 1025002 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2030019 .

[7] Einfeldt, В. (1988), "Методы На Годунов типа для газовой динамики", SIAM J. Нумер. Анальный. , 25 (2): 294-318, Bibcode : 1988SJNA ... 25..294E , DOI : 10,1137 / 0725021

[8] Торо, EF; Ель, М .; Спирс, W. (1994), "Восстановление контактной поверхности в решателе HLL-Riemann", Shock Waves , 4 (1): 25–34, Bibcode : 1994ShWav ... 4 ... 25T , doi : 10.1007 / BF01414629

[9] Quirk, JJ (1994), "Вклад в великие дебаты о решателе Римана", Int. J. Numer. Meth. Жидкости , 18 (6): 555–574, Bibcode : 1994IJNMF..18..555Q , doi : 10.1002 / fld.1650180603 , hdl : 2060/19930015894 .

[10] Nishikawa, H .; Китамура, К. (2008), "Очень простые, не содержащие карбункулов, разрешающие пограничный слой, повернутые гибридные решатели Римана", J. Comput. Phys. , 227 (4): 2560-2581, Bibcode : 2008JCoPh.227.2560N , DOI : 10.1016 / j.jcp.2007.11.003

[11] Миёси, Такахиро; Кусано, Каня (сентябрь 2005 г.). "Многоуровневый HLL приближенный решатель Римана для идеальной магнитогидродинамики". Журнал вычислительной физики . 208 (1): 315–344. Bibcode : 2005JCoPh.208..315M . DOI : 10.1016 / j.jcp.2005.02.017 .

[12] Donat, R .; Шрифт, JA; Ibáñez, J.Ma; Маркина, А. (октябрь 1998 г.). «Алгоритм разделения потока, применяемый к релятивистским потокам». Журнал вычислительной физики . 146 (1): 58–81. Bibcode : 1998JCoPh.146 ... 58D . DOI : 10,1006 / jcph.1998.5955 .