Проблема Римана

Задача Римана , названная в честь Бернхарда Римана , является специфической начальной задачей состоит из уравнения сохранения вместе с кусочно - постоянными начальными данными , который имеет единственный скачок в области , представляющей интерес. Проблема Римана очень полезна для понимания таких уравнений, как уравнения сохранения Эйлера, потому что все свойства, такие как удары и волны разрежения, появляются как характеристики в решении. Он также дает точное решение некоторых сложных нелинейных уравнений, таких как уравнения Эйлера .

В численном анализе задачи Римана естественным образом возникают в методах конечных объемов решения уравнений закона сохранения из-за дискретности сетки. Для этого он широко используется в вычислительной гидродинамике и при компьютерном моделировании магнитной гидродинамики. В этих областях задачи Римана вычисляются с помощью решателей Римана .

Проблема Римана в линеаризованной газовой динамике [ править ]

В качестве простого примера мы исследуем свойства одномерной задачи Римана в газовой динамике (Toro, Eleuterio F. (1999). Решатели Римана и численные методы для гидродинамики, стр. 44, пример 2.5)

Начальные условия даются

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {L} \\ u_ {L} \ end {bmatrix}} {\ text {для }} x \ leq 0 \ qquad {\ text {and}} \ qquad {\ begin {bmatrix} \ rho \\ u \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ rho _ {R} \\ u_ {R} \ end {bmatrix}} {\ text {for}} x> 0}$

где x  = 0 разделяет два разных состояния вместе с линеаризованными уравнениями газовой динамики (см. газовую динамику для вывода).

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ rho _ {0} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} & = 0 \\ [8pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + {\ frac {a ^ {2}} {\ rho _ {0}}} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x }} & = 0 \ end {выровнено}}}$

где можно предположить без ограничения общности . Теперь мы можем переписать приведенные выше уравнения в консервативной форме:${\ displaystyle a \ geq 0}$

${\ Displaystyle U_ {t} + A \ cdot U_ {x} = 0}$:

где

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}}$

а индекс обозначает частную производную по соответствующей переменной (т.е. x или t).

Собственные значения системы - это характеристики системы . Они дают скорость распространения среды, включая скорость распространения любых неоднородностей, которая в данном случае является скоростью звука. Соответствующие собственные векторы :${\displaystyle \lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a}$

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

Разлагая левое состояние по собственным векторам, мы получаем для некоторого${\displaystyle u_{L}}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$

${\displaystyle U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.}$

Теперь мы можем решить и :${\displaystyle \alpha _{1}}$${\displaystyle \alpha _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {a\rho _{L}-\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\alpha _{2}&={\frac {a\rho _{L}+\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

Аналогично

${\displaystyle U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}}$

для

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{1}&={\frac {a\rho _{R}-\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\beta _{2}&={\frac {a\rho _{R}+\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

Используя это в области между двумя характеристиками , мы получаем окончательное постоянное решение:${\displaystyle t=|x|/a}$

${\displaystyle U_{*}={\begin{bmatrix}\rho _{*}\\u_{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}}$

и (кусочно-постоянное) решение во всей области :${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle U(t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{*},&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}}$

Хотя это простой пример, он все же показывает основные свойства. В частности, характеристики разбивают решение на три области. Скорость распространения этих двух уравнений эквивалентна скорости распространения звука.

Самая быстрая характеристика определяет условие Куранта – Фридрихса – Леви (CFL), которое устанавливает ограничение для максимального временного шага в компьютерном моделировании. Как правило, чем больше используется уравнения сохранения, тем больше характеристик задействуется.

Ссылки [ править ]

• Торо, Элеутерио Ф. (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики . Берлин: Springer Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• Левек, Рэндалл Дж. (2004). Методы конечных объемов для гиперболических задач . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81087-6.

См. Также [ править ]

• Вычислительная гидродинамика
• Вычислительная магнитогидродинамика
• Решатель Римана