Инвариант Римана

Инварианты Римана - это математические преобразования, выполненные в системе уравнений сохранения, чтобы сделать их более легко решаемыми. Инварианты Римана постоянны вдоль характеристических кривых дифференциальных уравнений в частных производных, где они получили название инвариантов . Впервые они были получены Бернхардом Риманом в его работе о плоских волнах в газовой динамике. ^[1]

Математическая теория [ править ]

Рассмотрим систему уравнений сохранения :

${\ displaystyle l_ {i} \ left (A_ {ij} {\ frac {\ partial u_ {j}} {\ partial t}} + a_ {ij} {\ frac {\ partial u_ {j}} {\ partial x}} \ right) + l_ {j} b_ {j} = 0}$

где и являются элементы этих матриц и , где и являются элементами векторов . Будет задан вопрос, можно ли переписать это уравнение на${\ displaystyle A_ {ij}}$${\ displaystyle a_ {ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle l_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$

${\displaystyle m_{j}\left(\beta {\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}\right)+l_{j}b_{j}=0}$

Для этого кривые будут введены в плоскости, определяемой векторным полем . Член в скобках будет переписан в терминах полной производной, где параметризованы как${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle x,t}$${\displaystyle x=X(\eta ),t=T(\eta )}$

${\displaystyle {\frac {du_{j}}{d\eta }}=T'{\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+X'{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}}$

сравнивая последние два уравнения, находим

${\displaystyle \alpha =X'(\eta ),\beta =T'(\eta )}$

который теперь можно записать в характерной форме

${\displaystyle m_{j}{\frac {du_{j}}{d\eta }}+l_{j}b_{j}=0}$

где у нас должны быть условия

${\displaystyle l_{i}A_{ij}=m_{j}T'}$

${\displaystyle l_{i}a_{ij}=m_{j}X'}$

где можно исключить, чтобы дать необходимое условие${\displaystyle m_{j}}$

${\displaystyle l_{i}(A_{ij}X'-a_{ij}T')=0}$

так что для нетрадиционного решения определитель

${\displaystyle |A_{ij}X'-a_{ij}T'|=0}$

Для инвариантов Римана нас интересует случай, когда матрица является единичной матрицей, образующей${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{j}}{\partial t}}+a_{ij}{\frac {\partial u_{j}}{\partial x}}=0}$

обратите внимание, это однородно из-за того, что вектор равен нулю. В характерном виде система${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}=0}$ с ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\lambda }$

Там , где это левый собственный вектор матрицы и является характерными скорости этих собственных значений матрицы , которые удовлетворяют${\displaystyle l}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \lambda 's}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle |A-\lambda \delta _{ij}|=0}$

Чтобы упростить эти характеристические уравнения, мы можем сделать такие преобразования, что${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=l_{i}{\frac {du_{i}}{dt}}}$

какие формы

${\displaystyle \mu l_{i}du_{i}=dr}$

Интегрирующий фактор может быть умножен , чтобы помочь интегрировать это. Итак, система теперь имеет характерный вид${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=0}$ на ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\lambda _{i}}$

что эквивалентно диагональной системе ^[2]

${\displaystyle r_{t}^{k}+\lambda _{k}r_{x}^{k}=0,}$ ${\displaystyle k=1,...,N.}$

Решение этой системы может быть дано обобщенным методом годографа . ^{[3] [4]}

Пример [ править ]

Рассмотрим одномерные уравнения Эйлера, записанные в терминах плотности и скорости :${\displaystyle \rho }$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \rho _{t}+\rho u_{x}+u\rho _{x}=0}$

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+(c^{2}/\rho )\rho _{x}=0}$

с будучи скорость звука вводятся на счете изэнтропического предположения. Запишите эту систему в матричной форме${\displaystyle c}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{t}+\left({\begin{matrix}u&\rho \\{\frac {c^{2}}{\rho }}&u\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\rho \\u\end{matrix}}\right)_{x}=\left({\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right)}$

где необходимо найти матрицу из приведенного выше анализа собственных значений и собственных векторов. Оказывается, собственные значения удовлетворяют${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \lambda ^{2}-2u\lambda +u^{2}-c^{2}=0}$

давать

${\displaystyle \lambda =u\pm c}$

а собственные векторы оказываются равными

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1\\{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right),\left({\begin{matrix}1\\-{\frac {c}{\rho }}\end{matrix}}\right)}$

где инварианты Римана равны

${\displaystyle r_{1}=J_{+}=u+\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,}$

${\displaystyle r_{2}=J_{-}=u-\int {\frac {c}{\rho }}d\rho ,}$

( и являются широко используемыми обозначениями в газовой динамике ). Для идеального газа с постоянной удельной теплоемкостью существует соотношение , где - коэффициент теплоемкости , дающее инварианты Римана ^{[5] [6]}${\displaystyle J_{+}}$${\displaystyle J_{-}}$${\displaystyle c^{2}={\text{const}}\,\gamma \rho ^{\gamma -1}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle J_{+}=u+{\frac {2}{\gamma -1}}c,}$

${\displaystyle J_{-}=u-{\frac {2}{\gamma -1}}c,}$

дать уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial J_{+}}{\partial t}}+(u+c){\frac {\partial J_{+}}{\partial x}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial J_{-}}{\partial t}}+(u-c){\frac {\partial J_{-}}{\partial x}}=0}$

Другими словами,

${\displaystyle {\begin{aligned}&dJ_{+}=0,\,J_{+}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{+}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u+c,\\&dJ_{-}=0,\,J_{-}={\text{const}}\quad {\text{along}}\,\,C_{-}\,:\,{\frac {dx}{dt}}=u-c,\end{aligned}}}$

где и - характеристические кривые. Это можно решить с помощью преобразования годографа . В годографической плоскости, если все характеристики сворачиваются в одну кривую, то мы получаем простые волны . Если матричная форма системы ПДЭ имеет вид${\displaystyle C_{+}}$${\displaystyle C_{-}}$

${\displaystyle A{\frac {\partial v}{\partial t}}+B{\frac {\partial v}{\partial x}}=0}$

Тогда это может быть возможным , чтобы умножить через на обратную матрицу , пока матрица определитель из не равен нулю.${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

См. Также [ править ]

• Простая волна

Ссылки [ править ]