Классификация несплошностей

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Классификация разрывов»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Непрерывные функции имеют первостепенное значение в математике , функциях и приложениях. Однако не все функции непрерывны. Если функция не является непрерывной в какой-либо точке своей области определения , говорят, что она имеет разрыв в этом месте. Множество всех точек разрыва функции может быть дискретным множеством , плотным множеством или даже всей областью определения функции. В статье описывается классификация разрывов в простейшем случае, когда функции одной действительной переменной принимают действительные значения.

Колебание функции в точке квантифицирует эти разрывы следующим образом :

• в удаляемом разрыве расстояние, на которое отклоняется значение функции, является колебанием;
• в скачкообразном скачке размер скачка представляет собой колебание (при условии, что значение в точке находится между этими пределами двух сторон);
• в существенном разрыве колебание измеряет несуществование предела. Предел постоянный.

Особый случай - если функция расходится до бесконечности или минус бесконечности, и в этом случае колебание не определено (в расширенных действительных числах это устранимый разрыв).

Классификация [ править ]

Для каждого из следующих случаев рассмотрим действительную функцию f от действительной переменной x , определенную в окрестности точки x _0, в которой f является разрывным.

Съемный разрыв [ править ]

Функция в примере 1, устранимый разрыв

Рассмотрим функцию

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} x ^ {2} & {\ mbox {for}} x <1 \\ 0 & {\ mbox {for}} x = 1 \\ 2-x & {\ mbox {for}} x> 1 \ end {case}}}$

Точка x ₀ = 1 - устранимый разрыв . Для такого рода разрывов:

Односторонний предел от отрицательного направления:

${\ displaystyle L ^ {-} = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x)}$

и односторонний предел с положительного направления:

${\ displaystyle L ^ {+} = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x)}$

при x ₀ оба существуют, конечны и равны L = L ^- = L ⁺ . Другими словами, поскольку два односторонних предела существуют и равны, предел L функции f ( x ), когда x приближается к x _0, существует и равен этому же значению. Если фактическое значение F ( х ₀ ) является не равно L , то х ₀ называются съемной прерывностью. Этот разрыв можно удалить, чтобы сделать f непрерывным в точке x ₀ , или, точнее, функцию

${\ displaystyle g (x) = {\ begin {cases} f (x) & x \ neq x_ {0} \\ L & x = x_ {0} \ end {cases}}}$

непрерывна при x = x ₀ .

Термин « устранимая прерывность» иногда является неправильным употреблением терминологии для случаев, когда пределы в обоих направлениях существуют и равны, в то время как функция не определена в точке x ₀ . ^[a] Такое использование является оскорбительным, потому что непрерывность и прерывность функции - это понятия, определенные только для точек в области определения функции. Такая точка не в домене правильно называется устранимой особенностью .

Разрыв прыжка [ править ]

Функция в примере 2, скачкообразный разрыв

Рассмотрим функцию

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} x ^ {2} & {\ mbox {for}} x <1 \\ 0 & {\ mbox {for}} x = 1 \\ 2- (x- 1) ^ {2} & {\ mbox {for}} x> 1 \ end {case}}}$

Тогда точка x ₀ = 1 является скачкообразным разрывом .

В этом случае единственного предела не существует, потому что односторонние пределы L ^- и L ⁺ существуют и конечны, но не равны: так как L ^- ≠ L ⁺ , предел L не существует. Тогда x ₀ называется скачком , скачком или скачком первого рода . Для этого типа разрыва функция f может иметь любое значение при x ₀ .

Существенный разрыв [ править ]

Функция в примере 3, существенный разрыв

Для существенного нарушения непрерывности не существует по крайней мере одного из двух односторонних ограничений. Рассмотрим функцию

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin {\ frac {5} {x-1}} & {\ text {for}} x <1 \\ 0 & {\ text {for}} x = 1 \\ {\ frac {1} {x-1}} & {\ text {for}} x> 1. \ End {cases}}}$

Тогда точка является существенным разрывом . ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$

В этом примере оба и не существуют, что удовлетворяет условию существенной прерывности. Таким образом, x ₀ является существенным разрывом, бесконечным разрывом или разрывом второго рода. (Это отличается от существенной особенности , которая часто используется при изучении функций комплексных переменных .)${\ Displaystyle L ^ {-}}$${\ displaystyle L ^ {+}}$

Множество разрывов функции [ править ]

Множество точек, в которых функция непрерывна, всегда является множеством G δ . Множество разрывов - это множество F σ .

Множество разрывов монотонной функции является не более чем счетно . Это теорема Фрода .

Функция Тома разрывна в каждой рациональной точке , но непрерывна в каждой иррациональной точке. Согласно первому абзацу не существует функции, непрерывной в каждой рациональной точке, но разрывной в каждой иррациональной точке.

Функция индикатора из рациональных чисел, также известная как функции Дирихля , является разрывной везде .

См. Также [ править ]

• Устранимая особенность
• Математическая особенность
• Расширение за счет непрерывности

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Малик, Южная Каролина; Арора, Савита (1992). Математический анализ (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-470-21858-4.

Внешние ссылки [ править ]

• «Прерывистый» . PlanetMath .
• "Скачок" на Эд Пегг, Jr. , Вольфрам Demonstrations Project 2007.
• Вайсштейн, Эрик В. «Разрыв» . MathWorld .
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], "Точка разрыва" , Математическая энциклопедия , EMS Press