Вычислительная гидродинамика

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Вычислительная физика
Механика  · Электромагнетизм  · Термодинамика  · Моделирование
Потенциал Потенциал Морзе / Дальнего действия  · Потенциал Леннарда-Джонса  · Потенциал Юкавы  · Потенциал Морзе
Динамика жидкостей Конечная разница  · Конечный объем Конечный элемент  · Граничный элемент Решетка Больцмана  · Решатель Римана Динамика диссипативных частиц Гидродинамика сглаженных частиц Модели турбулентности
Методы Монте-Карло Интеграция  · Выборка Гиббса  · Алгоритм Метрополиса
Частицы N-тело  · Частица в клетке Молекулярная динамика
Ученые Годунов  · Улам  · фон Нейман  · Галеркин  · Лоренц  · Уилсон  · Ольха  · Рихтмайер
v т е

Моделирование аэродинамического пакета Porsche Cayman (987.2) .

Вычислительная гидродинамика ( CFD ) - это раздел механики жидкости, который использует численный анализ и структуры данных для анализа и решения проблем, связанных с потоками жидкости . Компьютеры используются для выполнения расчетов, необходимых для моделирования набегающего потока жидкости и взаимодействия жидкости ( жидкостей и газов ) с поверхностями, определяемыми граничными условиями . С высокоскоростными суперкомпьютерами, могут быть достигнуты лучшие решения, которые часто требуются для решения самых крупных и сложных проблем. В ходе текущих исследований появляется программное обеспечение, которое повышает точность и скорость сложных сценариев моделирования, таких как трансзвуковые или турбулентные потоки. Первоначальная проверка такого программного обеспечения обычно выполняется с использованием экспериментального оборудования, такого как аэродинамические трубы . Кроме того, для сравнения может быть использован ранее проведенный аналитический или эмпирический анализ конкретной проблемы. Окончательная валидация часто выполняется с использованием полномасштабных испытаний, таких как летные испытания .

CFD применяется для решения широкого круга исследовательских и инженерных задач во многих областях исследований и промышленности, включая аэродинамику и аэрокосмический анализ, моделирование погоды , естественные науки и экологическую инженерию , проектирование и анализ промышленных систем, биологическую инженерию , потоки жидкостей и теплопередачу , и двигатель и сгорание анализ.

Предпосылки и история [ править ]

Фундаментальной основой почти всех задач CFD являются уравнения Навье – Стокса , которые определяют множество однофазных (газовых или жидких, но не обоих) потоков жидкости. Эти уравнения можно упростить, удалив члены, описывающие вязкие действия, чтобы получить уравнения Эйлера . Дальнейшее упрощение путем удаления членов, описывающих завихренность, дает полные уравнения потенциала . Наконец, для малых возмущений в дозвуковых и сверхзвуковых потоках (не трансзвуковых или гиперзвуковых ) эти уравнения можно линеаризовать, чтобы получить линеаризованные уравнения потенциала.

Исторически впервые были разработаны методы для решения линеаризованных потенциальных уравнений. Двумерные (2D) методы, использующие конформные преобразования обтекания цилиндра в обтекание профиля, были разработаны в 1930-х годах. ^[1]

Одним из самых ранних типов расчетов, напоминающих современные CFD, являются расчеты Льюиса Фрая Ричардсона в том смысле, что в этих расчетах использовались конечные разности и физическое пространство делилось на ячейки. Несмотря на то, что они потерпели неудачу, эти расчеты вместе с книгой Ричардсона «Прогноз погоды с помощью числового процесса» ^[2] заложили основу для современной CFD и численной метеорологии. Фактически, в ранних вычислениях CFD в 1940-х годах с использованием ENIAC использовались методы, близкие к методам, описанным в книге Ричардсона 1922 года. ^[3]

Доступные компьютерные мощности опережали развитие трехмерных методов. Вероятно, первая работа с использованием компьютеров для моделирования потока жидкости, регулируемого уравнениями Навье-Стокса, была выполнена в Национальной лаборатории Лос-Аламоса в группе T3. ^{[4] [5]} Эту группу возглавил Фрэнсис Х. Харлоу , которого многие считают одним из пионеров CFD. С 1957 до конца 1960-х годов эта группа разработала ряд численных методов для моделирования переходных двумерных потоков жидкости, таких как метод частиц в ячейках (Harlow, 1957), ^[6] метод жидкости в ячейках (Gentry, Martin and Daly, 1966), ^[7] Функция тока завихренности.метод (Джейк Фромм, 1963), ^[8] и метод маркеров и ячеек (Харлоу и Велч, 1965). ^[9] Метод завихренности-функции потока Фромма для двумерного переходного несжимаемого потока был первым в мире исследованием сильно искривленных потоков несжимаемой жидкости.

Первая статья с трехмерной моделью была опубликована Джоном Хессом и АМО Смитом из Douglas Aircraft в 1967 году. ^[10] Этот метод дискретизировал поверхность геометрии с помощью панелей, что привело к появлению этого класса программ, названных панельными методами. Сам их метод был упрощен, так как он не включал подъемные потоки и, следовательно, в основном применялся к корпусам кораблей и фюзеляжам самолетов. Первый код подъемной панели (A230) был описан в статье, написанной Полом Руббертом и Гэри Саарисом из Boeing Aircraft в 1968 году. ^[11] Со временем в Boeing были разработаны более совершенные трехмерные коды панели (PANAIR, A502), ^{[ 12]} Локхид (Квадпан), ^[13] Дуглас (HESS), ^[14] McDonnell Aircraft (MACAERO), ^[15] NASA (PMARC) ^[16] и аналитические методы (WBAERO, ^[17] USAERO ^[18] и VSAERO ^{[19] [20]} ). Некоторые (PANAIR, HESS и MACAERO) были кодами более высокого порядка, использующими распределения сингулярностей более высокого порядка, в то время как другие (Quadpan, PMARC, USAERO и VSAERO) использовали одиночные особенности на каждой панели поверхности. Преимущество кодов более низкого порядка состояло в том, что они работали намного быстрее на компьютерах того времени. Сегодня VSAERO превратилась в многопользовательский код и является наиболее широко используемой программой этого класса. Его использовали при разработке многих подводных лодок., надводные корабли , автомобили , вертолеты , самолеты и, в последнее время, ветряные турбины . Его родственный код USAERO представляет собой метод неустойчивой панели, который также использовался для моделирования таких вещей, как высокоскоростные поезда и гоночные яхты . Код NASA PMARC из ранней версии VSAERO и производной от PMARC, названной CMARC, ^[21] также коммерчески доступен.

В двумерной области был разработан ряд кодов панелей для анализа и проектирования аэродинамического профиля. В коды обычно включен анализ пограничного слоя , чтобы можно было моделировать эффекты вязкости. Ричард Эпплер  [ де ] разработал код ПРОФИЛЯ, частично при финансировании НАСА, который стал доступен в начале 1980-х годов. ^[22] Это было вскоре после чего Марк дрела «s XFOIL код. ^[23] И PROFILE, и XFOIL включают двумерные коды панелей со связанными кодами пограничного слоя для работы по анализу профиля. ПРОФИЛЬ использует конформное преобразование метод обратного конструирования аэродинамического профиля, тогда как XFOIL имеет как конформное преобразование, так и метод обратной панели для конструирования аэродинамического профиля.

Промежуточным шагом между панельными кодами и кодами полного потенциала были коды, в которых использовались уравнения малых трансзвуковых возмущений. В частности, широкое распространение получил трехмерный код WIBCO ^[24], разработанный Чарли Боппе из Grumman Aircraft в начале 1980-х годов.

Разработчики обратились к кодам полного потенциала, поскольку методы панели не могли вычислить нелинейный поток, присутствующий на околозвуковых скоростях. Первое описание способов использования уравнений полного потенциала было опубликовано Эрлом Мурманом и Джулианом Коулом из Boeing в 1970 году. ^[25] Фрэнсис Бауэр, Пол Гарабедян и Дэвид Корн из Института Куранта при Нью-Йоркском университете (NYU) написали серию статей. широко использовавшихся двумерных кодов полнопотенциального аэродинамического профиля, самая важная из которых была названа программой H. ^[26] Дальнейшее развитие программы H было разработано Бобом Мельником и его группой в Grumman Aerospace под названием Grumfoil. ^[27] Энтони Джеймсон , первоначально работавший в Grumman Aircraft и Курантском институте Нью-Йоркского университета, работал с Дэвидом Коги над разработкой важного трехмерного кода полного потенциала FLO22 ^[28] в 1975 году. После этого появилось множество кодов полного потенциала, кульминацией которых стал Tranair компании Boeing (A633) код, ^[29] который до сих пор широко используется.

Следующим шагом были уравнения Эйлера, которые обещали дать более точные решения трансзвуковых потоков. Методология, использованная Джеймсоном в его трехмерном коде FLO57 ^[30] (1981), использовалась другими для создания таких программ, как программа Lockheed TEAM ^[31] и программа MGAERO компании IAI / Analytical Methods. ^[32] MGAERO является уникальным в том , структурированный декартово код сетки, тогда как большинство других таких кодов используют структурированные тела подогнанные сетки (за исключением весьма успешного кода CART3D НАСА, ^[33] SPLITFLOW код Локхид ^[34] и Georgia Tech «ы NASCART-GT). ^[35] Энтони Джеймсонтакже был разработан трехмерный код AIRPLANE ^{[36], в} котором использовались неструктурированные тетраэдрические сетки.

В двумерной сфере Марк Дрела и Майкл Джайлз, тогда аспиранты Массачусетского технологического института, разработали программу ISES Euler ^[37] (фактически набор программ) для проектирования и анализа профиля крыла. Этот код впервые стал доступен в 1986 году и получил дальнейшее развитие для проектирования, анализа и оптимизации одно- или многоэлементных аэродинамических профилей в виде программы MSES. ^[38] MSES находит широкое применение во всем мире. Производной от MSES для проектирования и анализа профилей в каскаде является MISES ^[39], разработанный Гарольдом Янгреном, когда он был аспирантом Массачусетского технологического института.

Уравнения Навье – Стокса были конечной целью разработки. Двумерные коды, такие как код ARC2D НАСА Эймса, впервые появились. Был разработан ряд трехмерных кодов (ARC3D, OVERFLOW , CFL3D три успешных взносы НАСА), что приводит к многочисленным коммерческим пакетам.

Иерархия уравнений потока жидкости [ править ]

CFD можно рассматривать как группу вычислительных методологий (обсуждаемых ниже), используемых для решения уравнений, управляющих потоком жидкости. При применении CFD критическим шагом является решение, какой набор физических допущений и связанных уравнений необходимо использовать для решения данной проблемы. ^[40] Чтобы проиллюстрировать этот шаг, ниже приведены физические допущения / упрощения, сделанные в уравнениях однофазного потока (см. Многофазный поток и двухфазный поток.), однокомпонентный (т. е. состоит из одного химического соединения), не вступающий в реакцию и (если не указано иное) сжимаемый. Тепловым излучением пренебрегают и учитывают массовые силы, обусловленные гравитацией (если не указано иное). Кроме того, для этого типа потока следующее обсуждение подчеркивает иерархию уравнений потока, решаемых с помощью CFD. Обратите внимание, что некоторые из следующих уравнений можно вывести более чем одним способом.

• Законы сохранения (CL): это самые фундаментальные уравнения, рассматриваемые с помощью CFD, в том смысле, что, например, все следующие уравнения могут быть выведены из них. Для однофазного сжимаемого потока, состоящего из одного вида, учитывают сохранение массы , сохранение количества движения и сохранение энергии .
• Законы сохранения континуума (CCL): начните с CL. Предположим, что масса, импульс и энергия сохраняются локально : эти величины сохраняются и не могут «телепортироваться» из одного места в другое, а могут перемещаться только непрерывным потоком (см. Уравнение неразрывности ). Другая интерпретация заключается в том, что каждый начинает с CL и предполагает сплошную среду (см. Механику сплошной среды ). Результирующая система уравнений является незамкнутой, поскольку для ее решения требуются дополнительные соотношения / уравнения: (а) определяющие соотношения для тензора вязких напряжений ; б) определяющие соотношения для диффузионного теплового потока ; (c) уравнение состояния (EOS), такое как идеальный газзакон; и (d) калорическое уравнение состояния, связывающее температуру с такими величинами, как энтальпия или внутренняя энергия .
• Сжимаемые уравнения Навье-Стокса (C-NS): начните с CCL. Предположим, что тензор вязких напряжений Ньютона (см. Ньютоновская жидкость ) и тепловой поток Фурье (см. Тепловой поток ). ^{[41] [42]} C-NS необходимо дополнить УС и калорическим УС, чтобы иметь замкнутую систему уравнений.
• Несжимаемые уравнения Навье-Стокса (I-NS): начните с C-NS. Предположим, что плотность всегда и везде постоянна. ^[43] Другой способ получить I-NS - это предположить, что число Маха очень мало ^{[43] [42]} и что перепады температур в жидкости также очень малы. ^[42] В результате уравнения сохранения массы и импульса отделяются от уравнения сохранения энергии, поэтому необходимо решить только первые два уравнения. ^[42]
• Сжимаемые уравнения Эйлера (EE): начните с C-NS. Предположим, что течение без трения и диффузного теплового потока. ^[44]
• Слабосжимаемые уравнения Навье-Стокса (WC-NS): начните с C-NS. Предположим, что изменение плотности зависит только от температуры, а не от давления. ^[45] Например, для идеального газа используйте , где - это стандартное стандартное давление, которое всегда и везде постоянно, - плотность, - удельная газовая постоянная и - температура. В результате WK-NS не улавливает акустические волны. В WK-NS также часто пренебрегают членами, работающими под давлением, и вязким нагревом в уравнении сохранения энергии. WK-NS также называют C-NS с приближением низкого числа Маха.${\displaystyle \rho =p_{0}/(RT)}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$
• Уравнения Буссинеска: начните с C-NS. Предположим, что вариациями плотности всегда и везде можно пренебречь, за исключением гравитационного члена уравнения сохранения импульса (где плотность умножается на гравитационное ускорение). ^[46] Также предположим, что различные свойства жидкости, такие как вязкость , теплопроводность и теплоемкость , всегда и везде постоянны. Уравнения Буссинеска широко используются в микромасштабной метеорологии .
• Сжимаемые усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса и сжимаемые усредненные по Фавру уравнения Навье-Стокса (C-RANS и C-FANS): начните с C-NS. Предположим, что любая переменная потока , такая как плотность, скорость и давление, может быть представлена ​​как , где - среднее по ансамблю ^[42] любой переменной потока, а представляет собой возмущение или отклонение от этого среднего значения. ^{[42] [47]} не обязательно маленький. Если является классическим средним по ансамблю (см. Разложение Рейнольдса ), можно получить усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса. И если это среднее по ансамблю, взвешенное по плотности, то получаются усредненные по Фавру уравнения Навье-Стокса. ^[47]${\displaystyle f}$${\displaystyle f=F+f''}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f''}$ ${\displaystyle f''}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$ В результате и в зависимости от числа Рейнольдса диапазон масштабов движения значительно уменьшается, что приводит к гораздо более быстрым решениям по сравнению с решением C-NS. Однако информация теряется, и результирующая система уравнений требует закрытия различных незамкнутых членов, особенно напряжения Рейнольдса .
• Уравнения идеального или потенциального потока : начните с EE. Предположим нулевое вращение жидких частиц (нулевая завихренность) и нулевое расширение потока (нулевая дивергенция). ^[42] Результирующее поле потока полностью определяется геометрическими границами. ^[42] Идеальные потоки могут быть полезны в современном CFD для инициализации моделирования.
• Линеаризованные сжимаемые уравнения Эйлера (LEE): ^[48] Начнем с EE. Предположим, что любая переменная потока , такая как плотность, скорость и давление, может быть представлена ​​как , где - значение переменной потока в некотором эталонном или базовом состоянии и представляет собой возмущение или отклонение от этого состояния. Кроме того, предположим, что это возмущение очень мало по сравнению с некоторым эталонным значением. Наконец, предположим, что он удовлетворяет «собственному» уравнению, например EE. LEE и многие его разновидности широко используются в вычислительной аэроакустике .${\displaystyle f}$${\displaystyle f=f_{0}+f'}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f_{0}}$
• Звуковая волна или уравнение акустической волны : начните с LEE. Пренебрегайте всеми градиентами и и предполагайте, что число Маха в исходном или базовом состоянии очень мало. ^[45] Полученные уравнения для плотности, количества движения и энергии могут быть преобразованы в уравнение давления, давая хорошо известное уравнение звуковой волны.${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle f'}$
• Уравнения мелкой воды (SW): рассмотрим поток у стены, где интересующий масштаб длины, параллельный стене, намного больше, чем интересующий масштаб длины нормали к стене. Начнем с EE. Предположим, что плотность всегда и везде постоянна, пренебрегаем составляющей скорости, перпендикулярной стенке, и считаем скорость, параллельную стенке, пространственно постоянной.
• Уравнения пограничного слоя (BL): начните с C-NS (I-NS) для сжимаемых (несжимаемых) пограничных слоев. Предположим, что рядом со стенами есть тонкие области, где пространственные градиенты, перпендикулярные стене, намного больше, чем градиенты, параллельные стене. ^[46]
• Уравнение Бернулли: начните с EE. Предположим, что изменение плотности зависит только от изменения давления. ^[46] См . Принцип Бернулли .
• Устойчивое уравнение Бернулли: начните с уравнения Бернулли и предположите устойчивый поток. ^[46] Или начните с EE и предположите, что поток устойчивый, и проинтегрируйте полученное уравнение вдоль линии тока. ^{[44] [43]}
• Уравнения Стокса или ползущего потока: начните с C-NS или I-NS. Пренебрегайте инерцией потока. ^{[42] [43]} Такое предположение может быть оправдано, когда число Рейнольдса очень низкое. В результате результирующая система уравнений является линейной, что значительно упрощает их решение.
• Двумерное уравнение потока в канале: рассмотрим поток между двумя бесконечными параллельными пластинами. Начнем с C-NS. Предположим, что течение стационарное, двумерное и полностью развитое (т. Е. Профиль скорости не изменяется в продольном направлении). ^[42] Обратите внимание, что это широко используемое полностью разработанное предположение может быть неадекватным в некоторых случаях, таких как некоторые сжимаемые микроканальные потоки, и в этом случае его можно заменить полностью разработанным на местном уровне предположением. ^[49]
• Одномерные уравнения Эйлера или одномерные уравнения газовой динамики (1D-EE): начните с EE. Предположим, что все величины потока зависят только от одного пространственного измерения. ^[50]
• Уравнение потока Фанно : рассмотрим поток внутри воздуховода с постоянной площадью и адиабатическими стенками. Начнем с 1D-EE. Предположите установившийся поток, отсутствие гравитационных эффектов, и введите в уравнение сохранения импульса эмпирический член для восстановления эффекта трения стенки (которым пренебрегают в EE). Чтобы замкнуть уравнение потока Фанно, необходима модель для этого члена трения. Такое закрытие включает в себя предположения, зависящие от проблемы. ^[51]
• Уравнение потока Рэлея . Рассмотрим поток внутри воздуховода с постоянной площадью и либо неадиабатическими стенками без объемных источников тепла, либо адиабатическими стенками с объемными источниками тепла. Начнем с 1D-EE. Предположите установившийся поток, отсутствие гравитационных эффектов, и введите в уравнение сохранения энергии эмпирический член для восстановления эффекта теплопередачи стенок или влияния источников тепла (которым пренебрегают в EE).

Методология [ править ]

Во всех этих подходах соблюдается одна и та же основная процедура.

• Во время предварительной обработки
  • В геометрии и физические границы проблемы могут быть определены с помощью системы автоматизированного проектирования (CAD). Оттуда данные можно соответствующим образом обработать (очистить) и извлечь объем жидкости (или область жидкости).
  • Объем , занимаемый жидкость разделяется на отдельные клетки (сетки). Сетка может быть однородной или неоднородной, структурированной или неструктурированной, состоящей из комбинации гексаэдрических, тетраэдрических, призматических, пирамидальных или многогранных элементов.
  • Определяется физическое моделирование - например, уравнения движения жидкости + энтальпия + излучение + сохранение частиц.
  • Определены граничные условия. Это включает в себя определение поведения и свойств жидкости на всех ограничивающих поверхностях области жидкости. Для переходных задач также определены начальные условия.
• Моделирование запускается и уравнения решаются итеративно как стационарные или переходный процесс .
• Наконец, для анализа и визуализации полученного решения используется постпроцессор.

Методы дискретизации [ править ]

Стабильность выбранной дискретизации обычно устанавливается численно, а не аналитически, как в простых линейных задачах. Особое внимание следует уделить тому, чтобы при дискретизации изящно обрабатывались прерывистые решения. Уравнения Эйлера и уравнения Навье – Стокса допускают удары и контактные поверхности.

Некоторые из используемых методов дискретизации:

Метод конечного объема [ править ]

Метод конечных объемов (FVM) - это общий подход, используемый в кодах CFD, поскольку он имеет преимущество в использовании памяти и скорости решения, особенно для больших задач, турбулентных потоков с высоким числом Рейнольдса и потоков с преобладанием источников (например, сгорание). ^[52]

В методе конечных объемов основные дифференциальные уравнения в частных производных (обычно уравнения Навье-Стокса, уравнения сохранения массы и энергии и уравнения турбулентности) преобразовываются в консервативную форму, а затем решаются для дискретных контрольных объемов. Такая дискретизация гарантирует сохранение потоков через определенный контрольный объем. Уравнение конечного объема приводит к основным уравнениям в виде

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint Q\,dV+\iint F\,d\mathbf {A} =0,}$

где - вектор сохраняемых переменных, - вектор потоков (см. уравнения Эйлера или уравнения Навье – Стокса ), - объем элемента контрольного объема и - площадь поверхности элемента контрольного объема.${\displaystyle Q}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {A} }$

Метод конечных элементов [ править ]

Метод конечных элементов (МКЭ) используется в структурном анализе твердых тел, но также применим к жидкостям. Однако рецептура МКЭ требует особой осторожности, чтобы гарантировать консервативное решение. Формулировка МКЭ адаптирована для использования с уравнениями гидродинамики. ^{[ необходима цитата ]} Хотя МКЭ должен быть тщательно сформулирован, чтобы быть консервативным, он намного более устойчив, чем подход конечных объемов. ^[53] Однако FEM может потребовать больше памяти и иметь более медленное время решения, чем FVM. ^[54]

В этом методе формируется взвешенное остаточное уравнение:

${\displaystyle R_{i}=\iiint W_{i}Q\,dV^{e}}$

где - невязка уравнения в вершине элемента , - уравнение сохранения, выраженное на элементной основе, - весовой коэффициент, - объем элемента.${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle V^{e}}$

Метод конечных разностей [ править ]

Метод конечных разностей (FDM) имеет историческое значение ^{[ необходима цитата ]} и прост в программировании. В настоящее время он используется только в нескольких специализированных кодах, которые обрабатывают сложную геометрию с высокой точностью и эффективностью за счет использования встроенных границ или перекрывающихся сеток (с интерполяцией решения по каждой сетке). ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0}$

где есть вектор консервативных переменных, и , и являются потоки в , и направления соответственно.${\displaystyle Q}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

Метод спектрального элемента [ править ]

Метод спектральных элементов - это метод конечных элементов. Это требует, чтобы математическая задача (уравнение в частных производных) была сформулирована в слабой формулировке. Обычно это делается путем умножения дифференциального уравнения на произвольную тестовую функцию и интегрирования по всей области. Чисто математически тестовые функции совершенно произвольны - они принадлежат бесконечномерному функциональному пространству. Ясно, что бесконечномерное функциональное пространство не может быть представлено на дискретной сетке спектральных элементов; здесь начинается дискретизация спектрального элемента. Самое главное - это выбор функций интерполяции и тестирования. В стандартном МКЭ низкого порядка в 2D для четырехугольных элементов наиболее типичным выбором является билинейный тест или интерполирующая функция вида${\displaystyle v(x,y)=ax+by+cxy+d}$. Однако в методе спектральных элементов интерполяционные и тестовые функции выбираются как полиномы очень высокого порядка (обычно, например, 10-го порядка в приложениях CFD). Это гарантирует быструю сходимость метода. Кроме того, необходимо использовать очень эффективные процедуры интеграции, так как число интеграций, которые необходимо выполнить в числовых кодах, велико. Таким образом, используются квадратуры интегрирования Гаусса высокого порядка, поскольку они обеспечивают наивысшую точность при наименьшем количестве выполняемых вычислений. В настоящее время существует несколько академических кодов CFD, основанных на методе спектральных элементов, и еще несколько в настоящее время находятся в стадии разработки, поскольку в научном мире появляются новые схемы с временным шагом.

Решеточный метод Больцмана [ править ]

Решеточный метод Больцмана (LBM) с его упрощенной кинетической картиной на решетке обеспечивает эффективное с вычислительной точки зрения описание гидродинамики. В отличие от традиционных методов CFD, которые решают уравнения сохранения макроскопических свойств (то есть массы, импульса и энергии) численно, LBM моделирует жидкость, состоящую из фиктивных частиц, и такие частицы выполняют последовательные процессы распространения и столкновения по дискретной сетке решетки. В этом методе работают с дискретной по пространству и времени версией кинетического эволюционного уравнения в форме Больцмана Бхатнагара-Гросса-Крука (BGK) .

Метод граничных элементов [ править ]

В методе граничных элементов граница, занятая жидкостью, делится на поверхностную сетку.

Схемы дискретизации высокого разрешения [ править ]

Схемы с высоким разрешением используются там, где присутствуют толчки или неоднородности. Улавливание резких изменений в решении требует использования численных схем второго или более высокого порядка, которые не вносят паразитные колебания. Обычно это требует применения ограничителей потока, чтобы гарантировать уменьшение общего отклонения решения . ^{[ необходима цитата ]}

Модели турбулентности [ править ]

При компьютерном моделировании турбулентных потоков одной общей целью является получение модели, которая может предсказывать представляющие интерес величины, такие как скорость жидкости, для использования в инженерных конструкциях моделируемой системы. Для турбулентных течений диапазон масштабов длины и сложность явлений, связанных с турбулентностью, делают большинство подходов к моделированию непомерно дорогими; разрешение, необходимое для разрешения всех масштабов турбулентности, превышает вычислительно возможное. Основным подходом в таких случаях является создание числовых моделей для аппроксимации неразрешенных явлений. В этом разделе перечислены некоторые часто используемые вычислительные модели турбулентных потоков.

Модели турбулентности можно классифицировать на основе вычислительных затрат, что соответствует диапазону масштабов, которые моделируются по сравнению с разрешенными (чем больше масштабов турбулентности будет разрешено, тем точнее будет разрешение моделирования и, следовательно, тем выше будут вычислительные затраты). Если большая часть или все турбулентные масштабы не моделируются, вычислительные затраты будут очень низкими, но компромисс заключается в снижении точности.

В дополнение к широкому диапазону масштабов длины и времени и связанных с ними вычислительных затрат, основные уравнения гидродинамики содержат член нелинейной конвекции и член нелинейного и нелокального градиента давления. Эти нелинейные уравнения необходимо решать численно с соответствующими граничными и начальными условиями.

Усредненное по Рейнольдсу Навье – Стокса [ править ]

Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (RANS) - самый старый подход к моделированию турбулентности. Решается ансамблевая версия основных уравнений, которая вводит новые кажущиеся напряжения, известные как напряжения Рейнольдса.. Это добавляет тензор неизвестных второго порядка, для которого разные модели могут обеспечивать разные уровни закрытия. Распространенным заблуждением является то, что уравнения RANS неприменимы к потокам с изменяющимся во времени средним потоком, потому что эти уравнения являются «усредненными по времени». Фактически, можно рассматривать и статистически нестационарные (или нестационарные) потоки. Иногда это называют УРАН. В усреднении по Рейнольдсу нет ничего, что могло бы предотвратить это, но модели турбулентности, используемые для замыкания уравнений, действительны только до тех пор, пока время, в течение которого происходят эти изменения среднего значения, велико по сравнению с временными масштабами турбулентного движения, содержащего большую часть энергия.

Модели RANS можно разделить на два основных подхода:

Гипотеза Буссинеска

Этот метод включает использование алгебраического уравнения для напряжений Рейнольдса, которое включает определение турбулентной вязкости и, в зависимости от уровня сложности модели, решение уравнений переноса для определения турбулентной кинетической энергии и диссипации. Модели включают k-ε ( Лаундер и Сполдинг ), ^[55] Модель смешанной длины ( Прандтль ), ^[56] и Модель нулевого уравнения (Себечи и Смит ). ^[56] Модели, доступные в этом подходе, часто называют количеством уравнений переноса, связанных с методом. Например, модель длины смешения является моделью «нулевого уравнения», поскольку уравнения переноса не решаются; то${\displaystyle k-\epsilon }$представляет собой модель "двух уравнений", поскольку решаются два уравнения переноса (одно для и одно для ).${\displaystyle k}$${\displaystyle \epsilon }$

Модель напряжения Рейнольдса (RSM)

Этот подход пытается фактически решить уравнения переноса для напряжений Рейнольдса. Это означает введение нескольких уравнений переноса для всех напряжений Рейнольдса, и, следовательно, такой подход требует гораздо больших затрат ресурсов центрального процессора. ^{[ необходима цитата ]}

Моделирование больших вихрей [ править ]

Моделирование крупных вихрей (LES) - это метод, в котором самые мелкие масштабы потока удаляются посредством операции фильтрации, а их влияние моделируется с использованием моделей подсеточного масштаба. Это позволяет разрешить самые большие и наиболее важные масштабы турбулентности, при этом значительно снижая вычислительные затраты, связанные с наименьшими масштабами. Этот метод требует больших вычислительных ресурсов, чем методы RANS, но намного дешевле, чем DNS.

Моделирование отдельных вихрей [ править ]

Моделирование отдельных вихрей(DES) - это модификация модели RANS, в которой модель переключается на формулировку подсеточного масштаба в областях, достаточно мелких для расчетов LES. Области вблизи твердых границ, где турбулентный масштаб длины меньше максимального размера сетки, получают режим решения RANS. Поскольку турбулентный масштаб длины превышает размер сетки, области решаются с использованием режима LES. Следовательно, разрешение сетки для DES не так требовательно, как для чистого LES, что значительно снижает стоимость вычислений. Хотя DES изначально был сформулирован для модели Спаларта-Аллмараса (Spalart et al., 1997), он может быть реализован с другими моделями RANS (Стрелец, 2001), соответствующим образом изменяя масштаб длины, который явно или неявно участвует в модели RANS. . Таким образом, хотя DES на основе модели Спаларта – Аллмараса действует как LES с моделью стены,DES, основанный на других моделях (таких как модели с двумя уравнениями), ведет себя как гибридная модель RANS-LES. Генерация сети более сложна, чем для простого случая RANS или LES, из-за переключателя RANS-LES. DES - это незональный подход, который обеспечивает единое плавное поле скорости в областях RANS и LES решений.

Прямое численное моделирование [ править ]

Прямое численное моделирование (DNS) разрешает весь диапазон турбулентных масштабов длины. Это минимизирует влияние моделей, но стоит очень дорого. Вычислительная стоимость пропорциональна . ^[57] DNS трудноразрешима для потоков со сложной геометрией или конфигурациями потоков.${\displaystyle Re^{3}}$

Когерентное моделирование вихря [ править ]

Подход моделирования когерентного вихря разделяет поле турбулентного потока на когерентную часть, состоящую из организованного вихревого движения, и некогерентную часть, которая представляет собой случайный фоновый поток. ^[58] Это разложение выполняется с использованием вейвлет- фильтрации. Этот подход имеет много общего с LES, поскольку он использует декомпозицию и разрешает только отфильтрованную часть, но отличается тем, что не использует линейный фильтр нижних частот. Вместо этого операция фильтрации основана на вейвлетах, и фильтр можно адаптировать по мере развития поля потока. Фарж и Шнайдер протестировали метод CVS с двумя конфигурациями потока и показали, что когерентная часть потока демонстрирует${\displaystyle -{\frac {40}{39}}}$Энергетический спектр, представленный полным потоком, соответствует когерентным структурам ( вихревым трубкам ), в то время как некогерентные части потока составляют однородный фоновый шум, который не демонстрирует организованных структур. Гольдштейн и Васильев ^[59] применили модель FDV к моделированию больших вихрей, но не предполагали, что вейвлет-фильтр полностью устраняет все когерентные движения из масштабов подфильтра. Используя фильтрацию LES и CVS, они показали, что в диссипации SFS преобладает когерентная часть поля потока SFS.

Методы PDF [ править ]

Функция плотности вероятности (PDF) метода турбулентности, впервые введено Lundgren , ^[60] основаны на отслеживание одной точки PDF скорости, , что дает вероятность скорости в точке находится между и . Этот подход аналогичен кинетической теории газов , в которой макроскопические свойства газа описываются большим числом частиц. Методы PDF уникальны тем, что могут применяться в рамках ряда различных моделей турбулентности; основные отличия заключаются в форме уравнения переноса PDF. Например, в контексте моделирования больших вихрей PDF-файл становится фильтрованным PDF-файлом. ^[61]${\displaystyle f_{V}({\boldsymbol {v}};{\boldsymbol {x}},t)d{\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {v}}}$ Методы PDF также могут быть использованы для описания химических реакций ^{[62] [63]} и особенно полезны для моделирования химически реагирующих потоков, поскольку член химического источника замкнут и не требует модели. PDF обычно отслеживается с помощью методов лагранжевых частиц; в сочетании с моделированием крупных вихрей это приводит к уравнению Ланжевена для эволюции частиц подфильтра.

Метод Vortex [ править ]

Вихревой метод представляет собой бессеточный метод моделирования турбулентных течений. Он использует вихри в качестве вычислительных элементов, имитируя физические структуры в турбулентности. Вихревые методы были разработаны как методология без сетки, которая не будет ограничена фундаментальными эффектами сглаживания, связанными с методами на основе сетки. Однако для практического применения вихревые методы требуют средств для быстрого вычисления скоростей от вихревых элементов - другими словами, они требуют решения конкретной формы задачи N тел (в которой движение N объектов связано с их взаимными влияниями. ). Прорыв произошел в конце 1980-х годов с развитием метода быстрых мультиполей.(FMM), алгоритм В. Рохлина (Йель) и Л. Грингарда (Институт Куранта). Этот прорыв проложил путь к практическому вычислению скоростей от вихревых элементов и является основой успешных алгоритмов.

Программное обеспечение, основанное на вихревом методе, предлагает новые средства для решения сложных задач гидродинамики с минимальным вмешательством пользователя. ^{[ необходима цитата ]} Все, что требуется, - это указать геометрию задачи и задать граничные и начальные условия. Среди значительных преимуществ этой современной техники;

• Он практически не имеет сетки, что исключает многочисленные итерации, связанные с RANS и LES.
• Все проблемы рассматриваются одинаково. Никаких вводных данных для моделирования или калибровки не требуется.
• Возможно моделирование временных рядов, которые имеют решающее значение для правильного анализа акустики.
• Малый и крупный масштабы точно моделируются одновременно.

Метод удержания завихренности [ править ]

Метод удержания завихренности (ВК) - это метод Эйлера, используемый при моделировании турбулентных следов. Он использует подход, подобный уединенной волне, для получения стабильного решения без численного распространения. VC может захватывать мелкомасштабные объекты с точностью до 2 ячеек сетки. В рамках этих функций решается нелинейное разностное уравнение в отличие от конечно-разностного уравнения . ВК аналогичен методам захвата ударных волн , где выполняются законы сохранения, так что основные интегральные величины вычисляются точно.

Модель линейного вихря [ править ]

Модель линейных вихрей - это метод, используемый для моделирования конвективного перемешивания, происходящего в турбулентном потоке. ^{[64] В} частности, он предоставляет математический способ описания взаимодействий скалярной переменной в векторном поле потока. Он в основном используется в одномерном представлении турбулентного потока, так как его можно применять в широком диапазоне масштабов длины и чисел Рейнольдса. Эта модель обычно используется в качестве строительного блока для более сложных представлений потока, поскольку она обеспечивает прогнозы с высоким разрешением, которые сохраняются в большом диапазоне условий потока.

Двухфазный поток [ править ]

Моделирование двухфазного потока все еще находится в стадии разработки. Были предложены различные методы, в том числе метод объема жидкости, метод установки уровня и отслеживание фронта . ^{[65] [66]} Эти методы часто предполагают компромисс между поддержанием четкой границы раздела или сохранением массы ^{[ согласно кому? ]} . Это очень важно, поскольку оценка плотности, вязкости и поверхностного натяжения основана на значениях, усредненных по границе раздела. ^{[ необходима ссылка ]} Лагранжевые многофазные модели, которые используются для дисперсных сред, основаны на решении лагранжевого уравнения движения для дисперсной фазы.^{[ необходима цитата ]}

Алгоритмы решения [ править ]

Дискретизация в пространстве дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений для нестационарных задач и алгебраических уравнений для стационарных задач. Неявные или полунеявные методы обычно используются для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, создавая систему (обычно) нелинейных алгебраических уравнений. Применение итерации Ньютона или Пикара дает систему линейных уравнений, которая несимметрична при наличии адвекции и неопределенна при наличии несжимаемости. Такие системы, особенно в 3D, часто слишком велики для прямых решателей, поэтому используются итерационные методы, либо стационарные методы, такие как последовательная сверхрелаксация, либо методы подпространства Крылова . Крылова такие какGMRES , обычно используемый с предварительным условием , работает путем минимизации остатка по последовательным подпространствам, сгенерированным оператором с предварительным условием.

Преимущество Multigrid заключается в асимптотически оптимальной производительности при решении многих задач. Традиционный ^{[ согласно кому? ]} решатели и предобуславливатели эффективны для уменьшения высокочастотных компонентов остатка, но низкочастотные компоненты обычно требуют большого количества итераций для уменьшения. Работая в нескольких масштабах, multigrid уменьшает все компоненты остатка на аналогичные коэффициенты, что приводит к независимому от сетки количеству итераций. ^{[ необходима цитата ]}

Для неопределенных систем предварительные кондиционеры, такие как неполная факторизация LU , аддитивная Шварца и многосеточные, работают плохо или полностью выходят из строя, поэтому для эффективного предварительного кондиционирования необходимо использовать структуру задачи. ^[67] Методами, обычно используемыми в CFD, являются алгоритмы SIMPLE и Uzawa, которые демонстрируют зависящие от сетки скорости сходимости, но недавние достижения, основанные на блочной факторизации LU в сочетании с многосеточной факторизацией для полученных определенных систем, привели к предварительным кондиционерам, которые обеспечивают скорость сходимости независимо от сетки. ^[68]

Неустойчивая аэродинамика [ править ]

В конце 70-х годов CFD совершила большой прорыв с введением LTRAN2, двумерного кода для моделирования колеблющихся профилей, основанного на трансзвуковой теории малых возмущений, разработанной Баллхаусом и его коллегами . ^[69] Он использует алгоритм переключения Мурмана-Коула для моделирования движущихся ударных волн. ^[70] Позже AFWAL / Boeing расширили его до 3-D с использованием схемы повернутых разностей, что привело к LTRAN3. ^{[71] [72]}

Биомедицинская инженерия [ править ]

CFD-исследования используются для уточнения характеристик аортального кровотока в деталях, которые выходят за рамки возможностей экспериментальных измерений. Для анализа этих условий извлекаются CAD-модели сосудистой системы человека с использованием современных методов визуализации, таких как МРТ или компьютерная томография . На основе этих данных реконструируется трехмерная модель, и можно рассчитать поток жидкости. Необходимо учитывать такие свойства крови, как плотность и вязкость, а также реалистичные граничные условия (например, системное давление). Таким образом, это дает возможность анализировать и оптимизировать поток в сердечно-сосудистой системе для различных приложений. ^[73]

CPU против GPU [ править ]

Традиционно моделирование CFD выполняется на процессорах. ^{[ необходима цитата ]} В последнее время моделирование также выполняется на графических процессорах. Обычно они содержат более медленные, но больше процессоров. Для алгоритмов CFD с хорошей производительностью параллелизма (т.е. хорошим ускорением за счет добавления большего количества ядер) это может значительно сократить время моделирования. Неявные жидкие частицы ^[74] и методы решетки-Больцмана ^[75] являются типичными примерами кодов, которые хорошо масштабируются на графических процессорах.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

• Андерсон, Джон Д. (1995). Вычислительная гидродинамика: основы с приложениями . Наука / Инженерия / Математика. McGraw-Hill Science. ISBN 978-0-07-001685-9.
• Патанкар, Сухас (1980). Числовой теплообмен и поток жидкости . Серия Hemisphere по вычислительным методам в механике и теплотехнике. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-89116-522-4.

Внешние ссылки [ править ]

• Курс: Введение в CFD - Дмитрий Кузьмин ( Дортмундский технологический университет )
• Курс: вычислительная гидродинамика - Суман Чакраборти ( Индийский технологический институт, Харагпур )
• Курс: Численные методы PDE для ученых и инженеров , лекции в открытом доступе и коды для численных PDE, включая современный взгляд на сжатие CFD
• Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform