В мере теоретико- анализе и смежные отраслях математики , интеграция Лебежит Стилтьесу обобщающего Риман-Стилтьесу и интеграцию лебеговой , сохраняя много преимуществ бывшего в более общей теории меры рамок. Интеграл Лебега – Стилтьеса - это обычный интеграл Лебега относительно меры, известной как мера Лебега – Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на вещественной прямой. Мера Лебега – Стилтьеса является регулярной борелевской мерой , и, наоборот, каждая регулярная борелевская мера на вещественной прямой относится к этому типу.
Интегралы Лебега – Стилтьеса , названные в честь Анри Леона Лебега и Томаса Джоаннеса Стилтьеса , также известны как интегралы Лебега – Радона или просто интегралы Радона в честь Иоганна Радона , которому принадлежит большая часть теории. Они находят общее применение в вероятностных и случайных процессах , а также в некоторых областях анализа, включая теорию потенциала .
Определение
Интеграл Лебега – Стилтьеса.
определяется, когда является Борель - измеримы и ограничены и имеет ограниченную вариацию в [ , Ь ] и непрерывна справа, или когда F является неотрицательным и г является монотонно и непрерывно справа . Для начала предположим, что f неотрицательно, а g монотонно неубывающе и непрерывно справа. Определим w (( s , t ]) = g ( t ) - g ( s ) и w ({ a }) = 0 (В качестве альтернативы, конструкция работает для g, непрерывно слева, w ([ s , t )) = g ( t ) - g ( s ) и w ({ b }) = 0 ).
По теореме Каратеодори о продолжении , существует единственная борелевская мера μ г на [ с , Ь ] , что согласуется с ж на каждом интервале I . Мера μ g возникает из внешней меры (фактически, метрической внешней меры ), задаваемой формулой
инфимум берется по всем покрытиям Й счетного числа полуоткрытых интервалов. Эта мера иногда называют [1] меры Лебега-Стилтьеса , связанную с г .
Интеграл Лебега – Стилтьеса.
определяется как интеграл Лебега функции f по мере μ g обычным образом. Если g не возрастает, определите
последний интеграл определяется предыдущей конструкцией.
Если g имеет ограниченную вариацию и f ограничено, то можно написать
где g 1 ( x ) = V х
аг является полное изменение по г в интервале [ , х ] , и г 2 ( х ) = г 1 ( х ) - г ( х ) . И g 1, и g 2 монотонно не убывают. Теперь интеграл Лебега – Стилтьеса по g определяется равенством
где два последних интеграла корректно определены предыдущей конструкцией.
Даниэля интеграл
Альтернативный подход ( Hewitt & Stromberg 1965 ) состоит в том, чтобы определить интеграл Лебега – Стилтьеса как интеграл Даниэля , расширяющий обычный интеграл Римана – Стилтьеса. Пусть g - неубывающая непрерывная справа функция на [ a , b ] , и определим I ( f ) как интеграл Римана – Стилтьеса
для всех непрерывных функций f . Функционал Я определяет меру Радона на [ с , Ь ] . Затем этот функционал можно расширить до класса всех неотрицательных функций, задав
Для функций, измеримых по Борелю, имеем
и каждая сторона этого тождества определяет интеграл Лебега – Стилтьеса от h . Внешняя мера μ g определяется через
где χ является индикаторная функция из A .
Интеграторы ограниченной вариации обрабатываются, как указано выше, путем разложения на положительные и отрицательные вариации.
Пример
Предположу , что Г : [ , Ь ] → R 2 представляет собой спрямляемые кривой в плоскости и р : R 2 → [0, ∞) измеримо по Борель. Тогда мы можем определить длину γ относительно евклидовой метрики, взвешенной по ρ, как
где - длина ограничения γ на [ a , t ] . Иногда это называют ρ- длиной γ . Это понятие весьма полезно для различных применений: например, на илистой местности скорость, с которой человек может двигаться, может зависеть от того, насколько глубока грязь. Если ρ ( г ) обозначает инверсию скорости пешехода на или вблизи г , то ρ -длин гаммы является время, которое потребуется , чтобы траверса γ . Понятие экстремальной длины использует это понятие ρ -длины кривых и полезно при изучении конформных отображений .
Интеграция по частям
Функция f называется "регулярной" в точке a, если существуют правая и левая границы f ( a +) и f ( a -) , и функция принимает в точке a среднее значение
Для двух функций U и V конечной вариации, если в каждой точке хотя бы одна из U или V непрерывна или U и V оба регулярны, то имеет место формула интегрирования по частям для интеграла Лебега – Стилтьеса: [2]
Здесь соответствующие меры Лебега – Стилтьеса связаны с непрерывными справа версиями функций U и V ; то есть, чтобы и аналогично Ограниченный интервал ( a , b ) может быть заменен неограниченным интервалом (-∞, b ) , ( a , ∞) или (-∞, ∞) при условии, что U и V имеют конечную вариацию на этом неограниченном интервале. Также могут использоваться комплексные функции.
Альтернативный результат, имеющий важное значение для теории стохастического исчисления, заключается в следующем. Даны две функции U и V конечной вариации, которые непрерывны справа и имеют пределы слева (они являются функциями càdlàg ), тогда
где Δ U t = U ( t ) - U ( t -) . Этот результат можно рассматривать как предшественник леммы Ито , и он полезен в общей теории стохастического интегрирования. Окончательный термин Δ U ( т ) Δ V ( т ) = д [ U , V ], которая возникает из квадратичной ковариации U и V . (Тогда предыдущий результат можно рассматривать как результат, относящийся к интегралу Стратоновича .)
Связанные понятия
Интеграция Лебега
Когда g ( x ) = x для всех действительных x , то μ g - мера Лебега , а интеграл Лебега – Стилтьеса от f относительно g эквивалентен интегралу Лебега от f .
Интегрирование Римана – Стилтьеса и теория вероятностей
Если f - непрерывная вещественная функция действительной переменной, а v - неубывающая вещественная функция, интеграл Лебега – Стилтьеса эквивалентен интегралу Римана – Стилтьеса , и в этом случае мы часто пишем
для интеграла Лебега – Стилтьеса, оставив меру μ v неявной. Это особенно часто встречается в теории вероятностей, когда v - кумулятивная функция распределения вещественной случайной величины X , и в этом случае
(Подробнее о таких случаях см. В статье об интеграции Римана – Стилтьеса .)
Заметки
- ^ Халмош (1974), гл. 15
- ^ Хьюитт, Эдвин (май 1960). «Интегрирование по частям для интегралов Стилтьеса». Американский математический ежемесячник . 67 (5): 419–423. DOI : 10.2307 / 2309287 . JSTOR 2309287 .
Рекомендации
- Халмос, Пол Р. (1974), Теория меры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
- Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag.
- Сакс, Станислав (1937) Теория интеграла.
- Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, пер. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8 .