Заказанное кольцо

В действительных числах представляют собой упорядоченное кольцо , которое также упорядоченное поле . Эти целые числа , подмножество действительных чисел, представляют собой упорядоченное кольцо , которое не является упорядоченным поле.

В абстрактной алгебре , упорядоченное кольцо является (обычно коммутативное ) кольцо R с общей порядка ≤, что для всех в , б , и с в R : ^[1]

• если a ≤ b, то a + c ≤ b + c .
• если 0 ≤ a и 0 ≤ b, то 0 ≤ ab .

Примеры [ править ]

Заказанные кольца знакомы из арифметики . Примеры включают целые числа , рациональные и действительные числа . ^[2] (Рациональные числа и действительные числа на самом деле образуют упорядоченные поля .) Комплексные числа , напротив, не образуют упорядоченного кольца или поля, потому что между элементами 1 и i нет присущего отношения порядка .

Положительные элементы [ править ]

По аналогии с действительными числами, мы называем элемент c упорядоченного кольца R положительным, если 0 < c , и отрицательным, если c <0. 0 не считается ни положительным, ни отрицательным.

Множество положительных элементов упорядоченного кольца R часто обозначают R ₊ . Альтернативная нотация, предпочитаемая в некоторых дисциплинах, заключается в использовании R ₊ для набора неотрицательных элементов и R ₊₊ для набора положительных элементов.

Абсолютное значение [ править ]

Если элемент упорядоченного кольца R , то абсолютное значение из , обозначаемого , определяются следующим образом:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle | a |}$

${\ displaystyle | a |: = {\ begin {cases} a, & {\ mbox {if}} 0 \ leq a, \\ - a, & {\ mbox {else}}, \ end {cases}}}$

где это добавка , обратный из и 0 является аддитивным единичным элементом .${\ displaystyle -a}$${\ displaystyle a}$

Дискретно упорядоченные кольца [ править ]

Дискретное упорядоченное кольцо или дискретно упорядоченное кольцо представляет собой упорядоченное кольцо , в котором не существует элемента между 0 и 1. целых чисел дискретное заказал кольцо, но рациональные числа не являются.

Основные свойства [ править ]

Для всех a , b и c в R :

• Если a ≤ b и 0 ≤ c , то ac ≤ bc . ^[3] Это свойство иногда используется для определения упорядоченных колец вместо второго свойства в определении выше.
• | ab | = | а | | б |. ^[4]
• Нетривиальное упорядоченное кольцо бесконечно. ^[5]
• Ровно одно из следующих условий: положительно, - положителен или = 0. ^[6] Это свойство вытекает из того факта , что заказанного кольцо абелево , линейно упорядоченные группы относительно сложения.
• В упорядоченном кольце отрицательный элемент не является квадратом. ^[7] Это потому, что если a ≠ 0 и a = b ^2, то b ≠ 0 и a = (- b ) ² ; поскольку либо b, либо - b положительно, a должно быть неотрицательным.

См. Также [ править ]

• Частично заказанное кольцо

Заметки [ править ]

Приведенный ниже список включает ссылки на теоремы, формально проверенные проектом IsarMathLib .