Функции Нэша

В вещественной алгебраической геометрии , А функция Нэша на открытом полуалгебраическом подмножестве U ⊂ R ^п является аналитической функцией F : U → R , удовлетворяющим нетривиальному полиномиального уравнения Р ( х , е ( х )) = 0 для всех х в U (А полуалгебраический подмножество из R ^п представляет собой подмножество получается из подмножеств вида { х в R ^п  : Р ( х ) = 0} или { хв R ⁿ  : P ( x )> 0}, где P - многочлен, взяв конечные объединения, конечные пересечения и дополнения). Некоторые примеры функций Нэша:

• Полиномиальные и регулярные рациональные функции являются функциями Нэша.
• ${\ Displaystyle х \ mapsto {\ sqrt {1 + х ^ {2}}}}$Нэш на R .
• функция, которая связывает с вещественной симметричной матрицей ее i-е собственное значение (в порядке возрастания), является функцией Нэша на открытом подмножестве симметричных матриц без кратных собственных значений.

Функции Нэша - это те функции, которые необходимы для того, чтобы иметь теорему о неявной функции в реальной алгебраической геометрии.

Коллекторы Нэша [ править ]

Наряду с функциями Нэша определяются многообразия Нэша , которые являются полуалгебраическими аналитическими подмногообразиями некоторого R ⁿ . Отображение Нэша между многообразиями Нэша тогда является аналитическим отображением с полуалгебраическим графом. Функции и многообразия Нэша названы в честь Джона Форбса Нэша младшего , который доказал (1952), что любое компактное гладкое многообразие допускает структуру многообразия Нэша, т. Е. Диффеоморфно некоторому многообразию Нэша. В более общем смысле гладкое многообразие допускает структуру многообразия Нэша тогда и только тогда, когда оно диффеоморфно внутренности некоторого компактного гладкого многообразия, возможно, с краем. Результат Нэша был позже (1973) завершен Альберто Тоньоли.доказавший, что любое компактное гладкое многообразие диффеоморфно некоторому аффинному вещественному алгебраическому многообразию; на самом деле любое многообразие Нэша диффеоморфно по Нэшу аффинному вещественному алгебраическому многообразию. Эти результаты иллюстрируют тот факт, что категория Нэша в какой-то мере занимает промежуточное положение между гладкой и алгебраической категориями.

Местные свойства [ править ]

Локальные свойства функций Нэша хорошо известны. Кольцо ростков функций Нэша в точке многообразия Нэша размерности n изоморфно кольцу алгебраических степенных рядов от n переменных (т. Е. Тех рядов, которые удовлетворяют нетривиальному полиномиальному уравнению), которое является генселизацией кольца ростков рациональных функций. В частности, это регулярное локальное кольцо размерности n .

Глобальные свойства [ править ]

Глобальные свойства получить труднее. Тот факт, что кольцо функций Нэша на многообразии Нэша (даже некомпактном) нётерово, был независимо доказан (1973) Жан-Жаком Рислером и Гюставом Эфроймсоном. Многообразия Нэша обладают свойствами, аналогичными, но более слабыми, чем теоремы Картана A и B о многообразиях Штейна . Пусть обозначит пучок Нэш ростков функций на Нэш коллектору M , и быть когерентным пучком из -идеалов. Предположим , конечна, т.е. существует конечное открытое покрытие полуалгебраическое из М такое , что для каждого I , порождается функциями Нэша на${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle \ {U_ {i} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} | _ {U_ {i}}}$${\ displaystyle U_ {i}}$. Тогда глобально порождается функциями Нэша на M , и естественное отображение${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$

${\ displaystyle H ^ {0} (M, {\ mathcal {N}}) \ to H ^ {0} (M, {\ mathcal {N}} / {\ mathcal {I}})}$

сюръективно. тем не мение

${\ displaystyle H ^ {1} (M, {\ mathcal {N}}) \ neq 0, \ {\ text {if}} \ \ dim (M)> 0,}$

в отличие от случая многообразий Штейна.

Обобщения [ править ]

Функции и многообразия Нэша могут быть определены над любым вещественным замкнутым полем вместо поля действительных чисел, и вышеупомянутые утверждения все еще остаются в силе. Абстрактные функции Нэша также могут быть определены на вещественном спектре любого коммутативного кольца.

Источники [ править ]

1. Я. Бочнак, М. Косте и М.Ф. Рой: Настоящая алгебраическая геометрия. Спрингер, 1998.
2. М. Косте, Дж. М. Руис и М. Шиота: Глобальные проблемы функций Нэша. Ревиста Математика Комплутенсе 17 (2004), 83--115.
3. Г. Эфроймсон: Нулевой звук для колец Нэша. Pacific J. Math. 54 (1974), 101--112.
4. Дж. Ф. Нэш: Вещественные алгебраические многообразия. Анналы математики 56 (1952), 405-421.
5. JJ. Рислер: Sur l'anneau des fonctions de Nash globales. CR Acad. Sci. Paris Sér. AB 276 (1973), A1513 - A1516.
6. М. Сиота: Многообразия Нэша. Спрингер, 1987.
7. А. Тоньоли: Su una congettura di Nash. Аня. Scuola Norm. Как дела. Пиза, 27 (1973), 167-185.