Глоссарий теории поля

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Глоссарий теории поля»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Теория поля является ветвью математики , в которой поля изучаются. Это глоссарий некоторых терминов по данной теме. (См. Теорию поля (физику) для несвязанных теорий поля в физике.)

Определение поля [ править ]

Поле является коммутативное кольцо ( F +, *) , в котором 0 ≠ 1 и каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный. Таким образом, в поле мы можем выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Ненулевые элементы поля F образуют абелеву группу при умножении; эта группа обычно обозначается F ^× ;

Кольцо многочленов в переменной х с коэффициентами в F обозначается через F [ х ].

Основные определения [ править ]

Характеристика

Характеристикой поля F является наименьшим положительным целым числом п таким образом, что п · 1 = 0; здесь n · 1 обозначает n слагаемых 1 + 1 + 1 + ... + 1. Если таких n не существует, мы говорим, что характеристика равна нулю. Каждая ненулевая характеристика - это простое число . Например, рациональные числа , действительные числа и p -адические числа имеют характеристику 0, а конечное поле Z _p, где p простое число, имеет характеристику p .

Подполе

Подполе из поля F является подмножеством из F , замкнутое относительно операции поля + и * из F себя поле , и который, с этими операциями, формы.

Прайм поле

Простое поле поля F является единственным наименьшим подполе F .

Поле расширения

Если F подполе Е , то Е является расширение поля из F . Мы также говорим, что E / F - расширение поля .

Степень расширения

Учитывая расширение E / F , поле E можно рассматривать как векторное пространство над полем F , и размерность этого векторного пространства является степенью расширения, обозначаемой [ E  : F ].

Конечное расширение

Конечное расширение является расширением поля, степень которого конечен.

Алгебраическое расширение

Если элемент α из поля расширения Е над F является корнем из ненулевого многочлена в F [ х ], то α является алгебраическим над F . Если каждый элемент E алгебраичен над F , то E / F является алгебраическим расширением .

Генераторная установка

Учитывая расширение поля E / F и подмножество S из Е , будем писать F ( S ) для наименьшего подполя Е , который содержит и F и S . Он состоит из всех элементов Е , которые могут быть получены путем многократного использования операций +, -, *, / на элементах F и S . Если E = F ( S ) мы говорим , что Е порождается S над F .

Примитивный элемент

Элемент α поля расширения E над полем F называется примитивным элементом, если E = F (α), наименьшее поле расширения, содержащее α. Такое расширение называется простым расширением .

Поле разделения

Расширение поля, порожденное полной факторизацией многочлена.

Нормальное расширение

Расширение поля, порожденное полной факторизацией набора многочленов.

Раздельное расширение

Расширение, порожденное корнями разделимых многочленов .

Идеальное поле

Поле такое, что каждое конечное расширение отделимо. Все поля нулевой характеристики и все конечные поля совершенны.

Несовершенная степень

Пусть F - поле характеристики p > 0; тогда F ^p - подполе. Степень [ F : F ^р ] называется степень несовершенной из F . Поле F является совершенным тогда и только тогда, когда его несовершенная степень равна 1 . Например, если F - функциональное поле от n переменных над конечным полем характеристики p > 0, то его несовершенная степень равна p ⁿ . ^[1]

Алгебраически замкнутое поле

Поле F называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен из F [ x ] имеет корень из F ; эквивалентно: каждый многочлен из F [ x ] является произведением линейных множителей.

Алгебраическое замыкание

Алгебраическое замыкание поля F является алгебраическим расширением F , которое алгебраически замкнуто. Каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и она единственна с точностью до изоморфизма , который фиксирует F .

Трансцендентный

Эти элементы поля расширения F , которые не являются алгебраическими над F являются трансцендентными над F .

Алгебраически независимые элементы

Элементы поля расширения F являются алгебраически независимы над F , если они не удовлетворяют любое ненулевое полиномиальное уравнение с коэффициентами из F .

Степень трансцендентности

Число алгебраически независимых трансцендентных элементов в расширении поля. Он используется для определения размерности алгебраического многообразия .

Гомоморфизмы [ править ]

Гомоморфизм поля

Поле гомоморфизм между двумя полями E и F является функцией

f  : E → F

такое, что для всех x , y в E ,

е ( х + у ) = е ( х ) + е ( у )

f ( xy ) = f ( x ) f ( y )

f (1) = 1.

Эти свойства предполагают , что п (0) = 0 , п ( х ^-1 ) = е ( х ) ^-1 для й в Е с й ≠ 0 , и что е является инъективен . Поля вместе с этими гомоморфизмами образуют категорию . Два поля E и F называются изоморфными, если существует биективный гомоморфизм

F  : E → F .

Тогда два поля идентичны для всех практических целей; однако не обязательно уникальным способом. См., Например, комплексное спряжение .

Типы полей [ править ]

Конечное поле

Поле с конечным числом элементов. Также известное как поле Галуа .

Заказанное поле

Поле с полным порядком, совместимым с его операциями.

Рациональное число

Действительные числа

Сложные числа

Числовое поле

Конечное расширение поля рациональных чисел.

Алгебраические числа

Поле алгебраических чисел - это наименьшее алгебраически замкнутое расширение поля рациональных чисел. Их подробные свойства изучаются в алгебраической теории чисел .

Квадратичное поле

Расширение рациональных чисел степени два.

Циклотомическое поле

Расширение рациональных чисел, порожденных корнем из единицы .

Полностью реальное поле

Числовое поле, порожденное корнем многочлена, все корни которого являются действительными числами.

Формально реальное поле

Настоящее закрытое поле

Глобальное поле

Числовое поле или функциональное поле одной переменной над конечным полем.

Местное поле

Пополнение некоторого глобального поля ( WRT простого целочисленного кольца).

Заполнить поле

Поле заполнено для некоторой оценки.

Псевдоалгебраически замкнутое поле

Поле, в котором каждое разнообразие имеет рациональную точку . ^[2]

Гензельское месторождение

Поле, удовлетворяющее лемме Гензеля относительно оценки. Обобщение полных полей.

Гильбертово поле

Поле, удовлетворяющее теореме Гильберта о неприводимости : формально такое , для которого проективная линия не является тонкой по Серру . ^{[3] [4]}

Кронекерово поле

Полностью вещественное поле алгебраических чисел или полностью мнимое квадратичное расширение вполне реального поля. ^[5]

CM-поле или J-поле

Поле алгебраических чисел, которое является полностью мнимым квадратичным расширением вполне реального поля. ^[6]

Связанное поле

Поле, над которым нет бикватернионной алгебры, не является алгеброй с делением . ^[7]

Поле Фробениуса

Псевдо алгебраически замкнутое поле которого абсолютная группа Галуа имеет свойство вложение. ^[8]

Расширения полей [ править ]

Пусть E / F - расширение поля.

Алгебраическое расширение

Расширение , в котором каждый элемент Е является алгебраическим над F .

Простое расширение

Расширение, которое создается одним элементом, называемым примитивным элементом или генерирующим элементом . ^[9] Теорема о примитивных элементах классифицирует такие расширения. ^[10]

Нормальное расширение

Расширение , которое разделяет семейство многочленов: каждый корень минимального многочлена элемента Е над F также в E .

Раздельное расширение

Алгебраическое расширение, в котором минимальный многочлен каждого элемента E над F является сепарабельным многочленом , т. Е. Имеет различные корни. ^[11]

Расширение Галуа

Нормальное, отделимое расширение поля.

Первичное расширение

Расширение E / F такое , что алгебраическое замыкание F в Й является чисто неотделимо над F ; что эквивалентно, Е является линейно разделенным с сепарабельным замыкания в F . ^[12]

Чисто трансцендентное расширение

Расширение Е / Р , в которой каждый элемент Е не F трансцендентен над F . ^{[13] [14]}

Обычное продление

Расширение Е / Р таким образом, что Е сепарабельно над F и F алгебраически замкнуто в Е . ^[12]

Простое радикальное расширение

Простое расширение Е / Р порождается одним элементом альфа , удовлетворяющие для элемента Ь из F . В характеристике p мы также считаем, что расширение с помощью корня многочлена Артина – Шрайера является простым радикальным расширением. ^[15]${\ Displaystyle \ альфа ^ {п} = Ь}$

Радикальное расширение

Башня, в которой каждое расширение представляет собой простое радикальное расширение. ^[15]${\ Displaystyle F = F_ {0} <F_ {1} <\ cdots <F_ {k} = E}$${\ displaystyle F_ {i} / F_ ​​{i-1}}$

Самостоятельное расширение

Расширение E / F такое, что E ⊗ _F E, является областью целостности. ^[16]

Совершенно трансцендентное расширение

Расширение Е / Р такое , что Р алгебраически замкнуто в F . ^[14]

Выдающийся класс

Класс C расширений полей с тремя свойствами ^[17]

1. Если Е представляет собой С-расширение F и F представляет собой С-расширение К , то Е представляет собой С-расширение K .
2. Если E и F являются С-расширения K в общей надполе М , то композит EF является C-расширение K .
3. Если Е представляет собой С-расширение F и Е > K > F , то Е представляет собой С-расширение K .

Теория Галуа [ править ]

Расширение Галуа

Нормальное, отделимое расширение поля.

Группа Галуа

Группа автоморфизмов расширения Галуа. Когда это конечное расширение, это конечная группа порядка, равного степени расширения. Группы Галуа для бесконечных расширений являются проконечными группами .

Теория Куммера

Теория Галуа извлечения корней n-й степени при наличии достаточного количества корней из единицы . Он включает общую теорию квадратичных расширений .

Теория Артина – Шрайера

Охватывает исключительный случай теории Куммера в характеристике p .

Нормальная основа

Базис в векторном пространстве L над K , на котором группа Галуа L над K действует транзитивно.

Тензорное произведение полей

Другой фундаментальный элемент алгебры, включая операцию compositum ( соединение полей).

Расширения теории Галуа [ править ]

Обратная задача теории Галуа

Для группы G найдите расширение рационального числа или другого поля с G в качестве группы Галуа.

Дифференциальная теория Галуа

Предмет, в котором группы симметрий дифференциальных уравнений изучаются в традиционном для теории Галуа направлении. На самом деле это старая идея, и это одна из мотиваций, когда Софус Ли основал теорию групп Ли . Окончательной формы, наверное, не дошло.

Теория Галуа Гротендика

Очень абстрактный подход из алгебраической геометрии , введенный для изучения аналога фундаментальной группы .

Ссылки [ править ]

• Адамсон, Иэн Т. (1982). Введение в теорию поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-28658-1.
• Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 11 (3-е изд. Изм.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001 .
• Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . 67 . Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1095-2. Руководство по ремонту  2104929 . Zbl  1068.11023 .
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl  0869.11051 .
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001
• Роман, Стивен (2007). Теория поля . Тексты для выпускников по математике . 158 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-27678-5.
• Серр, Жан-Пьер (1989). Лекции по теореме Морделла-Вейля . Аспекты математики. E15 . Перевод и редакция Мартина Брауна из заметок Мишеля Вальдшмидта. Брауншвейг и др .: Friedr. Vieweg & Sohn. Zbl  0676.14005 .
• Серр, Жан-Пьер (1992). Разделы теории Галуа . Исследования по математике. 1 . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-86720-210-6. Zbl  0746.12001 .
• Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым вниманием к сводимости . Энциклопедия математики и ее приложений. 77 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-66225-7. Zbl  0956.12001 .