Каноническая особенность

В математике канонические особенности появляются как особенности канонической модели проективного многообразия , а терминальные особенности - это частные случаи, которые появляются как особенности минимальных моделей . Их ввел Рид (1980) . Терминальные особенности важны в программе минимальных моделей, потому что гладкие минимальные модели не всегда существуют, и поэтому необходимо допускать определенные особенности, а именно терминальные особенности.

Определение

Предположим , что Y является нормальным многообразием таким образом, что ее канонический класс K _Y является Q -Cartier, и пусть F : X → Y является разрешение особенностей Y . потом

${\ displaystyle \ displaystyle K_ {X} = f ^ {*} (K_ {Y}) + \ sum _ {i} a_ {i} E_ {i}}$

где сумма берется по неприводимым исключительным делителям, а a _i - рациональные числа, называемые невязками .

Тогда особенности Y называются:

терминал, если a _i > 0 для всех i

каноническим, если a _i ≥ 0 для всех i

лог-терминал, если a _i > −1 для всех i

лог-каноническим, если a _i ≥ −1 для всех i .

Характеристики

Особенности проективного многообразия V являются каноническими, если многообразие нормально , некоторая степень канонического линейного расслоения неособой части V продолжается до линейного расслоения на V и V имеет те же плюригены, что и любое разрешение его особенностей . V имеет канонические особенности тогда и только тогда, когда это относительная каноническая модель .

Особенности проективного многообразия V являются терминальными, если многообразие нормально , некоторая степень канонического линейного расслоения неособой части V продолжается до линейного расслоения на V и V обратный образ любого сечения V ^m обращается в нуль вдоль любая компонента коразмерности 1 исключительного геометрического места резольвенты его особенностей.

Классификация по малым габаритам

Двумерные терминальные особенности гладкие. Если многообразие имеет терминальные особенности, то его особые точки имеют коразмерность не менее 3, и, в частности, в размерностях 1 и 2 все терминальные особенности гладкие. В трех измерениях они изолированы и были классифицированы Мори (1985) .

Двумерные канонические особенности аналогичны особенностям дю Валя и аналитически изоморфны факторам C ² по конечным подгруппам SL ₂ ( C ).

Двумерные логтерминальные особенности аналитически изоморфны факторам C ² по конечным подгруппам GL ₂ ( C ).

Двумерные логканонические особенности были классифицированы Каваматой (1988) .

Пары

В более общем плане можно определить эти понятия для пары, где - формальная линейная комбинация простых делителей с рациональными коэффициентами, такая как -Картье. Пара называется${\ displaystyle (X, \ Delta)}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle K_ {X} + \ Delta}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

• терминал, если Discrep${\displaystyle (X,\Delta )>0}$
• канонический, если Discrep${\displaystyle (X,\Delta )\geq 0}$
• klt (лог-терминал Каваматы), если Discrep и${\displaystyle (X,\Delta )>-1}$${\displaystyle \lfloor \Delta \rfloor \leq 0}$
• plt (чисто лог-терминал), если Discrep${\displaystyle (X,\Delta )>-1}$
• lc (лог канонический), если Discrep .${\displaystyle (X,\Delta )\geq -1}$

использованная литература

• Коллар, Янош (1989), "Минимальные модели трехмерных алгебраических многообразий: программа Мори" , Astérisque (177): 303–326, ISSN  0303-1179 , MR  1040578
• Кавамата, Юджиро (1988), "Крепантное раздутие трехмерных канонических особенностей и его применение к вырождению поверхностей", Ann. математики. , 2, 127 (1): 93-163, DOI : 10,2307 / 1971417 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1971417 , МР  0924674
• Мори, Shigefumi (1985), "О 3-мерных терминальных особенностей" , Нагоя математический журнал , 98 : 43-66, DOI : 10,1017 / s0027763000021358 , ISSN  0027-7630 , МР  0792770
• Рейд, Майлз (1980), «Канонические трехмерности», Journées de Géometrie Algébrique d'Angers, Juillet 1979 / Algebraic Geometry, Angers, 1979 , Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, стр. 273–310, MR  0605348
• Рейд, Майлз (1987), "Руководство для молодых людей по каноническим особенностям", Алгебраическая геометрия, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, 46 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 345–414, MR  0927963