Однородное координатное кольцо

В алгебраической геометрии , то однородный координатное кольцо R в качестве алгебраического многообразия V данного в качестве подмногообразия из проективного пространства данной размерности N является по определению фактора - кольцо

R = K [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ] /  I

где I - однородный идеал, определяющий V , K - алгебраически замкнутое поле, над которым определено V , и

K [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ]

это кольцо многочленов в N + 1 переменных X _I . Таким образом, кольцо многочленов является однородным координатным кольцом самого проективного пространства, а переменные являются однородными координатами для данного выбора базиса (в векторном пространстве, лежащем в основе проективного пространства). Выбор базиса означает, что это определение не является внутренним, но его можно сделать так, используя симметрическую алгебру .

Формулировка [ править ]

Поскольку V предполагается многообразием и, следовательно, неприводимым алгебраическим множеством , идеал I может быть выбран как первичный идеал , и поэтому R является областью целостности . То же определение можно использовать для общих однородных идеалов, но результирующие координатные кольца могут тогда содержать ненулевые нильпотентные элементы и другие делители нуля . С точки зрения теории схем, эти случаи могут быть рассмотрены на одинаковых основаниях с помощью конструкции Proj .

Не имеет значение идеала J , порожденные всеми X _я соответствую пустому множеству, так как не все однородные координаты может исчезнуть в точке проективного пространства.

Проективные нули дают взаимно однозначное соответствие между проективными сортами и однородными идеалами я не содержащими J .

Резолюции и сизигии [ править ]

При применении гомологича методов алгебраической геометрии, он был традиционным , так как Давид Гильберт (хотя современная терминология отличается) применять свободные решения о R , рассматриваемые как градуированный модуль над кольцом многочленов. Это дает информация о сизигиях , а именно отношения между образующим идеалом I . В классической точке зрения, такие генераторы просто уравнение выписывается для определения V . Если V - гиперповерхность, должно быть только одно уравнение, а для полных пересеченийчисло уравнений можно принять за коразмерность; но общее проективное многообразие не имеет такой прозрачной определяющей системы уравнений. Подробные исследования, например канонических кривых и уравнений, определяющих абелевы многообразия , показывают геометрический интерес к систематическим методам работы с этими случаями. Предмет также вырос из теории исключения в ее классической форме, в которой редукция по модулю I должна стать алгоритмическим процессом (который сейчас на практике обрабатывается базами Грёбнера ).

По общим причинам существуют свободные резольвенты R как градуированного модуля над K [ X ₀ , X ₁ , X ₂ , ..., X _N ]. Разрешение определяется как минимальное, если изображение в каждом модульном морфизме свободных модулей

φ: F _я → F _{я - 1}

в разрешении лежит в JF _{i - 1,} где J - нерелевантный идеал. Как следствие леммы Накаямы , φ переводит данный базис в F _i в минимальный набор образующих в F _{i - 1} . Понятие минимальной свободной резольвенты хорошо определено в сильном смысле: единственное с точностью до изоморфизма цепных комплексов и возникающее как прямое слагаемое в любой свободной резольвенте. Поскольку этот комплекс присущ R , можно определить градуированные числа Бетти β _{i, j} как число ступенейj изображений, поступающих из F _i (точнее, если рассматривать φ как матрицу однородных многочленов, количество элементов этой однородной степени, увеличенных градуировками, полученными индуктивно справа). Другими словами, веса всех свободных модулей могут быть выведены из разрешения, а градуированные числа Бетти подсчитывают количество генераторов данного веса в данном модуле разрешения. Свойства этих инвариантов V в данном проективном вложении вызывают активные исследовательские вопросы, даже в случае кривых. ^[1]

Есть примеры, когда минимальное свободное разрешение известно явно. Для рациональной нормальной кривой это комплекс Игона – Норткотта . Для эллиптических кривых в проективном пространстве резольвента может быть построена как конус отображения комплексов Игона – Норткотта. ^[2]

Регулярность [ править ]

Кастельнуово-Mumford закономерность может быть считана с минимальным разрешением идеала I , определяющего проективное многообразие. С точки зрения вмененных «сдвигов» a _{i , j} в i -м модуле F _i , это максимум по i из a _{i , j} - i ; поэтому оно мало, когда сдвиги увеличиваются только с шагом 1 при перемещении влево в разрешении (только линейные сизигии). ^[3]

Проективная нормальность [ править ]

Многообразие V в проективном вложении является проективно нормальным , если R является целозамкнуто . Это условие означает, что V - нормальное многообразие , но не наоборот: свойство проективной нормальности не зависит от проективного вложения, как показано на примере рациональной кривой квартики в трех измерениях. ^[4] Другое эквивалентное условие относится к линейной системе дивизоров на V, высекаемой двойственным тавтологическому линейному расслоению на проективном пространстве, и его d -м степеням для d = 1, 2, 3, ...; когдаВ это неособо , то проективно нормально тогда и только тогда , когда каждой такой линейной системе является полной линейной системой . ^{[5] В} качестве альтернативы можно думать о двойственном тавтологическом линейном расслоении как о скрученном пучке Серра O (1) на проективном пространстве и использовать его для скручивания структурного пучка O _V любое количество раз, скажем k раз, получая пучок О _В ( к ). Тогда V называется k -нормальным, если глобальные сечения O ( k ) сюръективно отображаются в сечения O _V( k ) для данного k , и если V 1-нормальный, он называется линейно нормальным . Неособое многообразие является проективно нормальным тогда и только тогда, когда оно k -нормально для всех k ≥ 1. Линейная нормальность также может быть выражена геометрически: V как проективное многообразие не может быть получено изоморфной линейной проекцией из проективного пространства более высокой размерности. , за исключением тривиального положения, лежащего в собственном линейном подпространстве. Аналогичным образом можно преобразовать проективную нормальность, используя достаточное количество отображений Веронезе, чтобы свести ее к условиям линейной нормальности.

Глядя на проблему с точки зрения данного очень обильного линейного расслоения, порождающего проективное вложение V , такое линейное расслоение ( обратимый пучок ) называется нормально порожденным, если вложенное V проективно нормально. Проективная нормальность - это первое условие N ₀ последовательности условий, определенных Грином и Лазарсфельдом. За это

${\ displaystyle \ bigoplus _ {d = 0} ^ {\ infty} H ^ {0} (V, L ^ {d})}$

рассматривается как градуированный модуль над однородным координатным кольцом проективного пространства, и берется минимальная свободная резольвента. Условие N _p применяется к первым p градуированным числам Бетти, требуя, чтобы они обращались в нуль, когда j > i + 1. ^[6] Для кривых Грин показал, что условие N _p выполняется, когда deg ( L ) ≥ 2 g + 1 + p , что для p = 0 - классический результат Гвидо Кастельнуово . ^[7]

См. Также [ править ]

• Проективное разнообразие
• Полином Гильберта

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Оскар Зариски и Пьер Самуэль , Коммутативная алгебра Vol. II (1960), стр. 168–172.