В математике , в частности в абстрактной алгебре , градуированное кольцо - это кольцо такое, что основная аддитивная группа является прямой суммой абелевых групп такой, что . Набор индексов обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом . Разложение на прямую сумму обычно называют градацией или градуировкой .
Градуированный модуль определяется аналогично (смотрите ниже для точного определения). Он обобщает градуированные векторные пространства . Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированное-алгебра.
Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца; следовательно, это понятие применимо и к неассоциативным алгебрам ; например, можно рассматривать градуированную алгебру Ли .
Первые свойства
Обычно предполагается, что индексный набор градуированного кольца является набором неотрицательных целых чисел, если иное не указано явно. Так обстоит дело в этой статье.
Градуированное кольцо - это кольцо , которое раскладывается в прямую сумму
из аддитивных групп , таким образом, что
для всех неотрицательных целых чисел а также .
Ненулевой элемент называется однородным по степени . По определению прямой суммы каждый ненулевой элемент из можно однозначно записать в виде суммы где каждый либо 0, либо однороден степени . Ненулевойявляются однородными компонентами из .
Некоторые основные свойства:
- является Подкольцо из; в частности, мультипликативное тождество является однородным элементом нулевой степени.
- Для любой , двусторонний - модуль , а разложение в прямую сумму представляет собой прямую сумму-модули.
- является ассоциативным-алгебра .
идеал является однородным , если для каждого, однородные компоненты также принадлежат (Эквивалентно, если это градуированный подмодуль ; см. § Градуированный модуль .) Пересечение однородного идеала с участием является -подмодуль называется однородной частью степени из . Однородный идеал - это прямая сумма его однородных частей.
Если является двусторонним однородным идеалом в , тогда также является градуированным кольцом, разложенным как
где однородная часть степени из .
Основные примеры
- Любому (неградуированному) кольцу R можно дать градацию, положив, а также для я ≠ 0. Это называется тривиальной градация на R .
- Кольцо многочленов оценивается по степени : это прямая суммасостоящий из однородных многочленов степени i .
- Пусть S множество всех ненулевых однородных элементов в градуированной области целостности R . Затем локализации из R относительно S является-градуированное кольцо.
- Если I - идеал в коммутативном кольце R , тоявляется градуированным кольцом называется ассоциированное градуированное кольцо из R вдоль I ; геометрический, это координата кольцо нормального конуса вдоль подмногообразия , определяемого I .
- Пусть Х топологическое пространство, Н я (X, R) , я й группы когомологий с коэффициентами в кольце R . Тогда H * (X; R) , кольцо когомологий X с коэффициентами в R , является градуированным кольцом, основная группа которого с мультипликативной структурой, заданной произведением чашки.
Градуированный модуль
Соответствующая идея в теории модулей - это идея градуированного модуля , а именно левого модуля M над градуированным кольцом R, такого что также
а также
Пример : градуированное векторное пространство - это пример градуированного модуля над полем (с полем, имеющим тривиальную градуировку).
Пример : градуированное кольцо - это градуированный модуль над самим собой. Идеал в градуированном кольце однороден тогда и только тогда, когда он является градуированным подмодулем. Аннуляторный градуированной модуля является однородным идеалом.
Пример : даны идеал I в коммутативном кольце R и R -модуль M прямая сумма является градуированным модулем над ассоциированным градуированным кольцом .
Морфизм между градуированными модулями, называемый градуированным морфизмом , - это морфизм базовых модулей, учитывающий градуировку; т.е.. Градуированный подмодуль подмодуль , который представляет собой градуированный модуль в собственном праве и такой , что теоретико-множественное включение морфизм градуированных модулей. Явно градуированный модуль N является градуированным подмодулем модуля M тогда и только тогда, когда он является подмодулем модуля M и удовлетворяет. Ядро и образ морфизма градуированных модулей являются градуированными подмодулями.
Замечание: Придать градуированный морфизм от градуированного кольца к другому градуированному кольцу с изображением, лежащим в центре, то же самое, что дать структуру градуированной алгебры последнему кольцу.
Учитывая оцененный модуль , то -поворот является градуированным модулем, определяемым . (ср . скручивающий пучок Серра в алгебраической геометрии.)
Пусть M и N - градуированные модули. Еслиявляется морфизмом модулей, то говорят , что f имеет степень d, если. Внешняя производная дифференциальных форм в дифференциальной геометрии является примером такого морфизма , имеющим степень 1.
Инварианты градуированных модулей
Для градуированного модуля M над коммутативным градуированным кольцом R можно сопоставить формальный степенной ряд:
(при условии конечны.) Это называется ряд Гильберта-Пуанкаре в М .
Градуированный модуль называется конечно порожденным, если основной модуль конечно порожден. Генераторы можно считать однородными (заменяя генераторы их однородными частями).
Предположим, что R - кольцо многочленов, k - поле, а M - конечно порожденный градуированный модуль над ним. Тогда функцияназывается функцией Гильберта М . Функция совпадает с целочисленным многочленом для большого п называется с многочленом Гильберта из М .
Градуированная алгебра
Алгебра над кольцом R является градуированной алгеброй , если она оценивается как кольцо.
В обычном случае, когда кольцо R не градуировано (в частности, если R - поле), ему дается тривиальная градуировка (каждый элемент R имеет степень 0). Таким образом, и оцениваемые части являются R -модулями.
В случае, когда кольцо R также является градуированным кольцом, то требуется, чтобы
Другими словами, мы требуем А быть дифференцированный левый модуль над R .
Примеры градуированных алгебр распространены в математике:
- Кольца многочленов . Однородные элементы степени n - это в точности однородные многочлены степени n .
- Тензор алгебра из векторного пространства V . Однородные элементы степени n - это тензоры порядка n ,.
- Внешняя алгебра и симметрическая алгебра также являются градуированными алгебрами.
- Кольцо когомологий в любой теории когомологий также градуируется, будучи прямой суммой групп когомологий.
Градуированные алгебры широко используются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , гомологической алгебре и алгебраической топологии . Одним из примеров является тесная связь между однородными многочленами и проективными многообразиями (см. Однородное координатное кольцо ).
G -градуированные кольца и алгебры
Приведенные выше определения были обобщены на кольца, градуированные с использованием любого моноида G в качестве набора индексов. A G -градуироваиное кольцо R является кольцом с прямым разложением суммы
такой, что
Элементы R , лежащие внутри для некоторых называются однородны из класса I .
Определенное ранее понятие «градуированное кольцо» теперь становится тем же, что и -градуированное кольцо, где является моноидом неотрицательных целых чисел при сложении. Определения градуированных модулей и алгебр также можно расширить таким образом, заменив набор индексациис любым моноиде G .
Примечания:
- Если мы не требуем, чтобы кольцо имело единичный элемент, полугруппы могут заменить моноиды .
Примеры:
- Группа естественным образом оценивает соответствующее групповое кольцо ; аналогично моноидные кольца градуируются соответствующим моноидом.
- (Ассоциативная) супералгебра - это еще один термин для обозначения Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}} -градуированная алгебра. Примеры включают алгебры Клиффорда . Здесь однородные элементы либо степени 0 (четные), либо 1 (нечетные).
Антикоммутативность
Некоторые градуированные кольца (или алгебры) обладают антикоммутативной структурой. Это понятие требует гомоморфизма моноида градуировки в аддитивный моноид, поле с двумя элементами. В частности, подписанный моноид состоит из пары где моноид и является гомоморфизмом аддитивных моноидов. антикоммутативная-градуированное кольцо - это градуированное по Γ кольцо A такое, что:
для всех однородных элементов x и y .
Примеры
- Внешняя алгебра является примером антикоммутативной алгебры, градуированный по отношению к структуре где - факторное отображение.
- Суперкоммутативна алгебра (иногда называется косокоммутативное ассоциативное кольцо ) это то же самое , как антикоммутативные-градуированная алгебра, где - тождественный эндоморфизм аддитивной структуры.
Градуированный моноид
Интуитивно градуированный моноид - это подмножество градуированного кольца,, порожденный х, без использования аддитивной части. То есть набор элементов градуированного моноида равен.
Формально градуированный моноид [1] - это моноид, с функцией градации такой, что . Обратите внимание, что градация обязательно 0. Некоторые авторы требуют, кроме того, когда m не является тождеством.
Если предположить, что градации неединичных элементов не равны нулю, количество элементов градации n не превосходитгде g - мощность множества порождающих G моноида. Следовательно, количество элементов градации n или меньше не превышает (для ) или же еще. В самом деле, каждый такой элемент является произведением не более чем n элементов группы G , и толькотакие продукты существуют. Точно так же элемент идентичности не может быть записан как продукт двух неидентификационных элементов. То есть в таком градуированном моноиде нет делителя единицы.
Степенный ряд, индексируемый градуированным моноидом
Это понятие позволяет расширить понятие кольца степенных рядов . Вместо того, чтобы индексирующая семья была, индексирующим семейством может быть любой градуированный моноид, предполагающий, что количество элементов степени n конечно для каждого целого числа n .
Более формально, пусть - произвольное полукольцо иградуированный моноид. потомобозначает полукольцо силовых рядов с коэффициентами в K индексируется R . Ее элементы являются функциями от R до K . Сумма двух элементов определяется точечно, это функция, отправляющая к . И продукт - это функция отправки к бесконечной сумме . Эта сумма правильно определена (т. Е. Конечна), потому что для каждого m существует только конечное число пар ( p , q ) таких, что pq = m .
Пример
В теории формальных языков , учитывая алфавит , то свободный моноид слов над А можно рассматривать как градуированный моноиде, где градация слова является его длиной.
Смотрите также
- Связанное градуированное кольцо
- Дифференциальная градуированная алгебра
- Фильтрованная алгебра , обобщение
- Оценка (математика)
- Оцениваемая категория
- Градуированное векторное пространство
- Тензорная алгебра
- Дифференциальный градиентный модуль
Рекомендации
- ^ Сакарович, Жак (2009). «Часть II: Сила алгебры». Элементы теории автоматов . Перевод Томаса, Рувима. Издательство Кембриджского университета. п. 384. ISBN 978-0-521-84425-3. Zbl 1188.68177 .
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556.
- Бурбаки, Н. (1974). «Гл. 1–3, 3 § 3». Алгебра я . ISBN 978-3-540-64243-5.
- Стинбринк, Дж. (1977). "Форма пересечения квазиоднородных особенностей" (PDF) . Compositio Mathematica . 34 (2): 211–223 См. Стр. 211. ISSN 0010-437X .
Мацумура, Х. (1989). "5-мерная теория §S3 Градуированные кольца, функция Гильберта и функция Самуэля". Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования в области высшей математики. 8 . Перевод Рида, М. (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-71712-1.