Целочисленный многочлен

В математике , целочисленный многочлен (также известный как числовой полином ) является полиномом , значение которого является целым числом для любого целого п . Каждый многочлен с целыми коэффициентами является целочисленным, но обратное неверно. Например, полином ${\ Displaystyle P (t)}$ ${\ Displaystyle P (п)}$

{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}t(t+1)

принимает целые значения всякий раз, когда t является целым числом. Это происходит потому , что один из т и должно быть четным числом . (Значения, которые принимает этот полином, являются треугольными числами .) $t+1$

Целочисленные многочлены являются самостоятельными объектами изучения алгебры и часто появляются в алгебраической топологии . ^[1]

Классификация [ править ]

Класс целочисленных многочленов полностью описал Джордж Полиа ( 1915 ). Внутри кольца многочленов многочленов с рациональными числовыми коэффициентами подкольцо целочисленных многочленов является свободной абелевой группой . В его основе лежат многочлены $\mathbb {Q} [t]$

P_{k}(t)=t(t-1)\cdots (t-k+1)/k!

для , т. е. биномиальных коэффициентов . Другими словами, каждый целочисленный многочлен может быть записан как целочисленная линейная комбинация биномиальных коэффициентов точно одним способом. Доказательство проводится методом дискретных рядов Тейлора : биномиальные коэффициенты являются целочисленными многочленами, и, наоборот, дискретная разность целочисленного ряда является целочисленным рядом, поэтому дискретный ряд Тейлора целочисленного ряда, порожденного многочленом, имеет целые коэффициенты (и является конечной серией). $k=0,1,2,\dots$

Фиксированные простые делители [ править ]

Целочисленные многочлены могут быть эффективно использованы для решения вопросов о фиксированных делителях многочленов. Например, многочлены P с целочисленными коэффициентами, которые всегда принимают четные числовые значения, - это как раз те, которые имеют целочисленные значения. Те, в свою очередь, являются многочленами, которые могут быть выражены как линейная комбинация с четными целыми коэффициентами биномиальных коэффициентов. $P/2$

В вопросах теории простых чисел, таких как гипотеза Шинцеля H и гипотеза Бейтмана – Хорна , принципиально важно понять случай, когда P не имеет фиксированного простого делителя (это было названо свойством Буняковского ^{[ ссылка ]} после Виктор Буняковский ). Записывая P в терминах биномиальных коэффициентов, мы видим, что наивысший фиксированный простой делитель также является наивысшим простым общим делителем коэффициентов в таком представлении. Таким образом, свойство Буняковского эквивалентно взаимно простым коэффициентам.

Например, пара многочленов n и нарушает это условие при : для каждого n произведение $n^{2}+2$ $p=3$

n(n^{2}+2)

делится на 3, что следует из представления

n(n^{2}+2)=6{\binom {n}{3}}+6{\binom {n}{2}}+3{\binom {n}{1}}

по отношению к биномиальному базису, где наибольший общий делитель коэффициентов - следовательно, наибольший фиксированный делитель - равен 3. $n(n^{2}+2)$

Другие кольца [ править ]

Числовые многочлены могут быть определены над другими кольцами и полями, и в этом случае целочисленные многочлены, указанные выше, называются классическими числовыми многочленами . ^{[ необходима цитата ]}

Приложения [ править ]

К-теория из BU ( п ) является численными (симметричным) полиномами.

Многочлен Гильберта кольца многочленов в K + 1 переменных числовой многочлен . ${\binom {t+k}{k}}$

Ссылки [ править ]

^ Джонсон, Кейт (2014), «Стабильная теория гомотопий, формальные групповые законы и целочисленные многочлены», в Фонтане, Марко; Фриш, Софи; Глаз, Сара (ред.), Коммутативная алгебра: последние достижения в области коммутативных колец, целочисленных многочленов и полиномиальных функций , Springer, стр. 213–224, ISBN 9781493909254. См., В частности, стр. 213–214.

Алгебра [ править ]

Каэн, Поль-Жан; Chabert, Жан-Люк (1997), Целочисленные многочлены , Математические обзоры и монографии, 48 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR 1421321
Полиа, Джордж (1915), "Über ganzwertige ganze Funktionen", Палермо Ренд. (на немецком языке ), 40 : 1-16, ISSN 0009-725X , СУЛ 45.0655.02 CS1 maint: discouraged parameter (link)

Алгебраическая топология [ править ]

Бейкер, Эндрю; Кларк, Фрэнсис; Рэй, Найджел; Шварц, Лайонел (1989), "О сравнениях куммеровых и стабильной гомотопности БУ ", Труды Американского математического общества , 316 (2): 385-432, DOI : 10,2307 / 2001355 , JSTOR 2001355 , MR 0942424

Экедаль, Торстен (2002), "О минимальных моделях в интегральной теории гомотопий" , Гомологии, гомотопии и приложения , 4 (2): 191–218, doi : 10.4310 / hha.2002.v4.n2.a9 , MR 1918189 , Zbl 1065.55003

Эллиотт, Джесси (2006). «Биномиальные кольца, целочисленные многочлены и λ-кольца». Журнал чистой и прикладной алгебры . 207 (1): 165–185. DOI : 10.1016 / j.jpaa.2005.09.003 . Руководство по ремонту 2244389 .

Hubbuck, Джон Р. (1997), "Численные формы", журнал Лондонского математического общества , Series 2, 55 (1): 65-75, DOI : 10,1112 / S0024610796004395 , MR 1423286

Дальнейшее чтение [ править ]

Наркевич, Владислав (1995). Полиномиальные отображения . Конспект лекций по математике. 1600 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-59435-3. ISSN 0075-8434 . Zbl 0829.11002 .

[1] Джонсон, Кейт (2014), «Стабильная теория гомотопий, формальные групповые законы и целочисленные многочлены», в Фонтане, Марко; Фриш, Софи; Глаз, Сара (ред.), Коммутативная алгебра: последние достижения в области коммутативных колец, целочисленных многочленов и полиномиальных функций , Springer, стр. 213–224, ISBN 9781493909254. См., В частности, стр. 213–214.

[1]