В математике , и в частности в области алгебры , ряд Гильберта – Пуанкаре (также известный под названием рядов Гильберта ), названный в честь Давида Гильберта и Анри Пуанкаре , является адаптацией понятия размерности к контексту градуированных алгебраических структур. (где размер всей конструкции часто бесконечен). Это формальный степенной ряд от одного неопределенного, скажем, где коэффициент дает размерность (или ранг) подструктуры элементов, однородных степени . Он тесно связан с многочленом Гильберта в тех случаях, когда последний существует; однако ряд Гильберта – Пуанкаре описывает ранг в каждой степени, в то время как многочлен Гильберта описывает его только во всех, кроме конечного числа степеней, и поэтому предоставляет меньше информации. В частности, ряд Гильберта – Пуанкаре не может быть выведен из полинома Гильберта, даже если последний существует. В хороших случаях ряд Гильберта – Пуанкаре может быть выражен как рациональная функция своего аргумента.
Определение
Пусть K - поле, и пусть быть - градуированное векторное пространство над K , где каждое подпространствовекторов степени i конечномерна. Тогда ряд Гильберта – Пуанкаре группы V является формальным степенным рядом
Аналогичное определение можно дать для -градуированных R - модуль над любым коммутативным кольцом R , в которой каждый подмодуль элементов однородных фиксированной степени п является свободным конечного ранга; достаточно заменить размерность рангом. Часто градуированное векторное пространство или модуль, в котором рассматривается ряд Гильберта – Пуанкаре, имеет дополнительную структуру, например структуру кольца, но ряд Гильберта – Пуанкаре не зависит от мультипликативной или другой структуры.
Пример: поскольку есть мономы степени k от переменных (например, по индукции), можно вывести, что сумма ряда Гильберта – Пуанкаре является рациональной функцией . [2]
Теорема Гильберта – Серра
Предположим, что M конечно порожденный градуированный модуль надс артиновым кольцом (например, полем) A . Тогда ряд Пуанкаре матрицы M представляет собой многочлен с целыми коэффициентами, деленными на. [3] Стандартное доказательство сегодня - индукция по n . Первоначальное доказательство Гильберта сделало использование теоремы сизигий Гильберта (а проективное разрешение на М ), что дает более гомологическую информацию.
Вот доказательство индукцией по числу неопределенных n . Если, то, поскольку M имеет конечную длину,если k достаточно велико. Далее, предположим, что теорема верна дляи рассмотрим точную последовательность градуированных модулей (точную степень) с обозначениями,
- .
Поскольку длина аддитивна, ряды Пуанкаре также аддитивны. Следовательно, мы имеем:
- .
Мы можем написать . Поскольку K убит, мы можем рассматривать его как градуированный модуль над ; То же самое справедливо и для C . Таким образом, теорема следует из предположения индукции.
Цепной комплекс
Пример градуированного векторного пространства связан с цепным комплексом или коцепным комплексом C векторных пространств; последний принимает форму
Ряд Гильберта – Пуанкаре (здесь часто называемый полиномом Пуанкаре) градуированного векторного пространства для этого комплекса
Многочлен Гильберта – Пуанкаре когомологий с пространствами когомологий H j = H j ( C ) равен
Известная связь между ними состоит в том, что существует многочлен с неотрицательными коэффициентами, такими, что
Рекомендации
- Перейти ↑ Atiyah & MacDonald 1969 , Ch. 11.
- Перейти ↑ Atiyah & MacDonald 1969 , Ch. 11, пример сразу после предложения 11.3.
- Перейти ↑ Atiyah & MacDonald 1969 , Ch. 11, теорема 11.1.
- Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.