В коммутативной алгебре , то функция Гильберта , то многочлен Гильберта , и ряд Гильберта из градуированной коммутативной алгебры конечно порожденной над полем три тесно связаны понятиями , которые измеряют рост размерности однородных компонент алгебры.
Эти понятия были распространены на фильтрованные алгебры и градуированные или фильтрованные модули над этими алгебрами, а также на когерентные пучки над проективными схемами .
Типичные ситуации, в которых используются эти понятия, следующие:
- Фактор однородного идеала в виде многомерного многочлена кольца , градуированный по полной степени.
- Фактор по идеалу многомерного кольца многочленов, отфильтрованный по полной степени.
- Фильтрация локального кольца по степеням его максимального идеала . В этом случае многочлен Гильберта называется многочленом Гильберта – Самуэля .
Гильберт серия алгебры или модуля является частным случаем ряда Гильберта-Пуанкар одного градуированного векторного пространства .
Многочлен Гильберта и ряды Гильберта важны в вычислительной алгебраической геометрии , поскольку они являются самым простым известным способом вычисления размерности и степени алгебраического многообразия, определяемого явными полиномиальными уравнениями. Кроме того, они предоставляют полезные инварианты для семейств алгебраических многообразий, поскольку плоское семейство имеет тот же многочлен Гильберта над любой замкнутой точкой . Это используется в построении схемы Гильберта и схемы Quot .
Определения и основные свойства
Рассмотрим конечно порожденную градуированную коммутативную алгебру S над полем K , конечно порожденную элементами положительной степени. Это значит, что
и это .
Функция Гильберта
отображает целое число n в размерность K- векторного пространства S n . Ряд Гильберта, который в более общем контексте градуированных векторных пространств называется рядами Гильберта – Пуанкаре , является формальным рядом
Если S порождается h однородными элементами положительных степеней, то сумма ряда Гильберта является рациональной дробью
где Q - многочлен с целыми коэффициентами.
Если S порождается элементами степени 1, то сумма ряда Гильберта может быть переписана как
где P - многочлен с целыми коэффициентами, аэто размерность Крулля из S .
В этом случае разложение этой рациональной дроби в ряд будет
где
- биномиальный коэффициент для и 0 в противном случае.
Если
коэффициент в таким образом
Для член индекса i в этой сумме является полиномом от n степени с ведущим коэффициентом Это показывает, что существует единственный многочлен с рациональными коэффициентами, равными для n достаточно большой. Этот многочлен является многочленом Гильберта и имеет вид
Наименьшее n 0 такое, чтопри n ≥ n 0 называется гильбертовой регулярностью . Это может быть меньше чем.
Многочлен Гильберта является числовым многочленом , поскольку размеры являются целыми числами, но многочлен почти никогда не имеет целочисленных коэффициентов ( Schenck 2003 , стр. 41).
Все эти определения могут быть распространены на конечно порожденные градуированные модули над S с той лишь разницей, что множитель t m появляется в ряду Гильберта, где m - минимальная степень образующих модуля, которая может быть отрицательной.
Функция Гильберта , то ряд Гильберта и Гильберт многочлен из фильтрованной алгебры является ассоциированной градуированной алгеброй.
Гильберта многочлен проективного многообразия V в Р п определяется как многочлен Гильберта на однородное координатное кольцо из V .
Градуированная алгебра и кольца многочленов
Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам являются типичными градуированными алгебрами. И наоборот, если S является градуированной алгеброй , порожденная над полем K по п однородных элементы г 1 , ..., г п степени 1, то отображение , которое посылает X я на г я определяет гомоморфизм градуированных колец изна S . Его ядро является однородным идеалом I, и это определяет изоморфизм градуированной алгебры междуи S .
Таким образом, градуированные алгебры, порожденные элементами степени 1, являются с точностью до изоморфизма факторами колец многочленов по однородным идеалам. Поэтому в оставшейся части статьи мы ограничимся факторами колец многочленов по идеалам.
Свойства ряда Гильберта
Аддитивность
Ряды Гильберта и полиномы Гильберта аддитивны относительно точных последовательностей . Точнее, если
является точной последовательностью градуированных или отфильтрованных модулей, то мы имеем
а также
Это сразу следует из того же свойства размерности векторных пространств.
Фактор по ненулевому делителю
Пусть A - градуированная алгебра и f - однородный элемент степени d в A, не являющийся делителем нуля . Тогда у нас есть
Из аддитивности на точной последовательности
где стрелка с надписью f - это умножение на f , а- это градуированный модуль, который получается из A сдвигом степеней на d , чтобы умножение на f имело степень 0. Отсюда следует, что
Ряды Гильберта и многочлен Гильберта кольца многочленов
Ряд Гильберта кольца многочленов в неопределенный
Отсюда следует, что многочлен Гильберта равен
Доказательство того, что ряд Гильберта имеет этот простой вид, получается путем рекурсивного применения предыдущей формулы для отношения по ненулевому делителю (здесь ) и отмечая, что
Форма ряда Гильберта и размерность
Градуированная алгебра A, порожденная однородными элементами степени 1, имеет размерность Крулля нуль, если максимальный однородный идеал, то есть идеал, порожденный однородными элементами степени 1, нильпотентен . Отсюда следует, что размерность A как K- векторного пространства конечна, а ряд Гильберта A является многочленом P ( t ) такой, что P (1) равен размерности A как K- векторного пространства.
Если размерность Крулля A положительна, существует однородный элемент f степени один, который не является делителем нуля (фактически, почти все элементы степени один обладают этим свойством). Размерность Крулля A / (f) - это размерность Крулля A минус один.
Аддитивность рядов Гильберта показывает, что . Итерируя это количество раз, равное размерности Крулля алгебры A , мы в конечном итоге получим алгебру размерности 0, ряд Гильберта которой является многочленом P ( t ) . Это показывает , что ряд Гильберта А является
где многочлен Р ( т ) таково , что Р (1) ≠ 0 и d представляет размерность Крулля А .
Из этой формулы для ряда Гильберта следует, что степень многочлена Гильберта равна d , а его старший коэффициент равен.
Степень проективного многообразия и теорема Безу
Ряд Гильберта позволяет нам вычислить степень алгебраического многообразия как значение числителя ряда Гильберта в 1. Это также дает довольно простое доказательство теоремы Безу .
Чтобы показать связь между степенью проективного алгебраического множества и рядом Гильберта, рассмотрим проективное алгебраическое множество V , определяемое как множество нулей однородного идеала , где k - поле, и пусть- кольцо регулярных функций на алгебраическом множестве.
В этом разделе не требуется ни неприводимости алгебраических множеств, ни простоты идеалов. Кроме того, поскольку ряды Гильберта не изменяются расширением поля коэффициентов, поле k предполагается, без ограничения общности, алгебраически замкнутым.
Размерности д из V равно Крулля минус один из R , а степень V есть число точек пересечения, с учетом кратности, из V с пересечениемгиперплоскости общего положения . Это предполагает существование в R , из правильной последовательности из д + 1 однородные многочлены степени. Из определения регулярной последовательности следует существование точных последовательностей
для Это означает, что
где является числителем рядов Гильберта R .
Кольцо имеет размерность Крулля один и является кольцом регулярных функций проективного алгебраического множества размерности 0, состоящий из конечного числа точек, которые могут быть кратными. В виде принадлежит регулярной последовательности, ни одна из этих точек не принадлежит гиперплоскости уравнения Дополнением к этой гиперплоскости является аффинное пространство , содержащее Это делает аффинное алгебраическое множество , которое имееткак его кольцо регулярных функций. Линейный полином не является делителем нуля в и, таким образом, получается точная последовательность
откуда следует, что
Здесь мы используем ряды Гильберта фильтрованных алгебр и тот факт, что ряд Гильберта градуированной алгебры также является ее рядом Гильберта как фильтрованной алгебры.
Таким образом это артиново кольцо , которое является к -векторному пространством размерности P (1) , и Жордан-Гельдер теорема может быть использован для доказательства того, что Р (1) , является степенью алгебраического множества V . Фактически, кратность точки - это количество вхождений соответствующего максимального идеала в композиционный ряд .
Для доказательства теоремы Безу можно поступить аналогично. Если является однородным многочленом степени , не являющийся делителем нуля в R , точная последовательность
показывает, что
Если посмотреть на числители, это доказывает следующее обобщение теоремы Безу:
- Теорема. Если f - однородный многочлен степени , который не является делителем нуля в R , то степень пересечения V с гиперповерхностью, определяемая формулой является произведением степени V на
В более геометрической форме это можно переформулировать так:
- Теорема. Если проективная гиперповерхность степени d не содержит неприводимой компоненты алгебраического множества степени δ , то степень их пересечения равна dδ .
Обычная теорема Безу легко выводится, если начать с гиперповерхности и пересечь ее одну за другой с n - 1 другими гиперповерхностями.
Полное пересечение
Проективное алгебраическое множество является полным пересечением, если его определяющий идеал порождается регулярной последовательностью . В этом случае существует простая явная формула для ряда Гильберта.
Позволять - k однородных многочленов от, соответствующих степеней Параметр есть следующие точные последовательности
Аддитивность рядов Гильберта влечет, таким образом,
Простая рекурсия дает
Это показывает, что полное пересечение, определяемое регулярной последовательностью k многочленов, имеет коразмерность k , и что его степень является произведением степеней многочленов в последовательности.
Связь со свободными разрешениями
Каждый градуированный модуль M над градуированным регулярным кольцом R имеет градуированную свободную резольвенту , что означает, что существует точная последовательность
где являются градуированными свободными модулями , а стрелки - градуированными линейными отображениями нулевой степени.
Из аддитивности рядов Гильберта следует, что
Если является полиномиальным кольцом, и если известны степени базисных элементов то формулы предыдущих разделов позволяют вывести из Фактически из этих формул следует, что если градуированный свободный модуль L имеет базис из h однородных элементов степеней то его ряд Гильберта равен
Эти формулы можно рассматривать как способ вычисления рядов Гильберта. Это случается редко, так как с известными алгоритмами вычисление ряда Гильберта и вычисление свободного разрешения начинаются с одного и того же базиса Грёбнера , из которого ряд Гильберта может быть непосредственно вычислен с вычислительной сложностью не выше чем сложность вычисления свободного разрешения.
Вычисление рядов Гильберта и полиномов Гильберта
Многочлен Гильберта легко выводится из ряда Гильберта (см. Выше ). В этом разделе описывается, как можно вычислить ряд Гильберта в случае частного кольца многочленов, отфильтрованного или градуированного по общей степени.
Итак, пусть K - поле,полиномом кольцо и I идеал в R . Пусть H однородный идеал , порожденный однородными частями высшей степени элементов I . Если я однородно, то Н = I . Наконец , пусть Б будет базисом Грёбнера из I для мономиального упорядочения рафинирования полной степени частичного упорядочения и G (однородный) идеал , порожденный ведущих мономами элементов B .
Вычисление ряда Гильберта основано на том факте, что фильтрованная алгебра R / I и градуированные алгебры R / H и R / G имеют один и тот же ряд Гильберта .
Таким образом, вычисление ряда Гильберта сводится посредством вычисления базиса Гребнера к той же задаче для идеала, порожденного одночленами, что обычно намного проще, чем вычисление базиса Гребнера. Вычислительная сложность всего расчета зависит главным образом от регулярности, что степень числителя рядов Гильберта. Фактически базис Грёбнера может быть вычислен линейной алгеброй над многочленами степени, ограниченной регулярностью.
Вычисление рядов Гильберта и многочленов Гильберта доступно в большинстве систем компьютерной алгебры . Например, как в Maple, так и в Magma эти функции называются HilbertSeries и HilbertPolynomial .
Обобщение на когерентные пучки
В алгебраической геометрии градуированные кольца, порожденные элементами степени 1, образуют проективные схемы с помощью конструкции Proj, в то время как конечно порожденные градуированные модули соответствуют когерентным пучкам. Еслиявляется когерентным пучком над проективной схемой X , определим многочлен Гильберта как функция , где χ - эйлерова характеристика когерентного пучка, аСерра поворот . Эйлерова характеристика в этом случае является корректно определенным числом по теореме Гротендика о конечности .
Эта функция действительно является полиномом. [1] Для больших m соответствует тускломупо теореме об исчезновении Серра . Если M - конечно порожденный градуированный модуль и связанного когерентного пучка два определения полинома Гильберта совпадают.
Градуированные бесплатные разрешения
Поскольку категория когерентных пучков на проективном многообразии эквивалентно категории градуированных модулей по модулю конечного числа градуированных частей, мы можем использовать результаты предыдущего раздела для построения многочленов Гильберта когерентных пучков. Например, полное пересечение многоступенчатого имеет разрешение
Смотрите также
- Регулярность Кастельнуово – Мамфорда.
- Схема гильберта
- Схема котировки
Рекомендации
- ^ Ravi Vakil (2015). Основы алгебраической геометрии (PDF) ., Теорема 18.6.1
- Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics, 150 , New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960.
- Шенк, Хэл (2003), Вычислительная алгебраическая геометрия , Кембридж : Издательство Кембриджского университета , CiteSeerX 10.1.1.57.7472 , ISBN 978-0-521-53650-9, Руководство по ремонту 0011360
- Стенли, Ричард (1978), "функции Гильберта градуированных алгебр", Успехи математических наук , 28 (1), стр 57-83,. DOI : 10,1016 / 0001-8708 (78) 90045-2 , МР 0485835.