Связный пучок

В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когерентные пучки - это класс пучков, тесно связанных с геометрическими свойствами основного пространства. Определение когерентных пучков дается со ссылкой на пучок колец, который кодифицирует эту геометрическую информацию.

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . В отличие от векторных расслоений, они образуют абелеву категорию и поэтому закрываются при таких операциях, как взятие ядер , изображений и коядров . В квазикогерентных пучках являются обобщением когерентных пучков и включают в себя локально свободные пучки ранга.

Когерентные пучки когомологии - мощный метод, в частности, для изучения сечений данного когерентного пучка.

Определения [ править ]

Квази-когерентный пучок на кольчатой пространстве является пучком из - модулей , который имеет локальное представление, то есть, каждая точка имеет открытую окрестность , в которой существует точная последовательность${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ oplus I} | _ {U} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {\ oplus J} | _ {U} \ в {\ mathcal {F}} | _ {U} \ в 0}$

для некоторых (возможно, бесконечных) множеств и .${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$

Когерентный пучок на кольчатой пространстве является пучком , удовлетворяющий следующим двум свойствам:${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

1. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$имеет конечный тип над , то есть каждая точка из имеет открытую окрестность в такой, что существует сюръективный морфизм для некоторого натурального числа ;${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} \ to {\ mathcal {F}} | _ {U}}$${\displaystyle n}$
2. для любого открытого множества , любого натурального числа , и любой морфизма из -модулей, ядро конечного типа.${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \varphi }$

Морфизмы между (квази) когерентными пучками такие же, как морфизмы пучков -модулей.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Случай схем [ править ]

Когда - схема, общие определения, приведенные выше, эквивалентны более явным. Пучок из -модулей является квазикогерентным тогда и только тогда , когда над каждой открытой аффинной подсхемой ограничение изоморфно пучком , связанным с модулем над . Когда является локально нётеровой схемой, она когерентна тогда и только тогда, когда она квазикогерентна, и указанные выше модули можно считать конечно порожденными .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$

На аффинной схеме существует эквивалентность категорий от -модулей к квазикогерентным пучкам, переводящая модуль в связанный пучок . Обратная эквивалентность имеет квази-когерентный пучок на к - модуль глобальных сечений .${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Вот несколько дополнительных характеристик квазикогерентных пучков на схеме. ^[1]

Свойства [ править ]

На произвольном окольцованном пространстве квазикогерентные пучки не обязательно образуют абелеву категорию. С другой стороны, квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию, и они чрезвычайно полезны в этом контексте. ^[2]

В любом окольцованном пространстве когерентные пучки образуют абелеву категорию, полную подкатегорию категории -модулей. ^[3] (Аналогично, категория когерентных модулей над любым кольцом является полной абелевой подкатегорией категории всех -модулей.) Таким образом, ядро, образ и коядро любого отображения когерентных пучков когерентны. Прямая сумма двух когерентных пучков является когерентным; В более общем смысле, -модуль, являющийся продолжением двух когерентных пучков, является когерентным. ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Подмодуль когерентного пучка когерентен, если он конечного типа. Согласованный пучок всегда -модуль конечного представления , что означает , что каждая точка в имеет открытую окрестность такую , что ограничение на к изоморфному коядру морфизма для некоторых натуральных чисел и . Если когерентен, то, наоборот, каждый пучок конечного представления над когерентен.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Пучок колец называется когерентным, если он когерентен, рассматриваемый как пучок модулей над собой. В частности, теорема Ока о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном аналитическом пространстве является когерентным пучком колец. Основная часть доказательства - это случай . Аналогично, в локально нётеровой схеме структурный пучок является когерентным пучком колец. ^[5]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Основные конструкции когерентных пучков [ править ]

• -Модуль на кольчатое пространстве называется локально свободным конечным рангом или векторное расслоения , если каждая точка имеет открытую окрестность , что сужение изоморфное конечную прямую сумму экземпляров . Если он не имеет одного ранга около каждой точки , то векторное расслоение называется рангом .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n}$

Векторные расслоения в этом теоретико-пучковом смысле над схемой эквивалентны векторным расслоениям, определенным более геометрическим способом, как схема с морфизмом и с покрытием открытыми множествами с заданными изоморфизмами над такими, что два изоморфизма над пересечением отличаются линейным автоморфизмом. ^[6] (Аналогичная эквивалентность справедливо также для комплексных аналитических пространств). Например, дана векторное расслоение в этом геометрическом смысле, соответствующий пучок определяется следующим образом: над открытым множеством из , то модуль является множеством секций из морфизм${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}$. Теоретико-пучковая интерпретация векторных расслоений имеет то преимущество, что векторные расслоения (по локально нётеровой схеме) включены в абелеву категорию когерентных пучков.

• Локально свободные связки снабжены стандартными операциями модуля, но они возвращают локально свободные связки. ^{[ расплывчато ]}${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• Пусть , нетерово кольцо. Тогда векторные расслоения на - это в точности пучки, связанные с конечно порожденными проективными модулями над или (что эквивалентно) с конечно порожденными плоскими модулями над . ^[7]${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

• Пусть , нетеров -градуированное кольцо, быть проективная схема над нётеровым кольцом . Тогда каждый -градуированный -модуль определяет квазикогерентный пучок на таком, что это связка, связанная с -модулем , где - однородный элемент положительной степени и геометрическое место, где не обращается в нуль.${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}$${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}}$${\displaystyle f}$

• Например, для каждого целого числа let обозначает градуированный -модуль, заданный как . Затем каждый определяет квазикогерентный пучок на . Если порождается как -алгебра , то является линейным расслоением (обратимым пучком) на и является -й тензорной степенью . В частности, оно называется тавтологическим линейным расслоением на проективном -пространстве.${\displaystyle n}$${\displaystyle R(n)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$${\displaystyle R(n)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$${\displaystyle n}$

• Простой пример когерентного пучка , не являющегося векторным расслоением, дается коядром в следующей последовательности${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}$

это потому, что нулевой объект ограничен множеством исчезающих двух многочленов.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

• Идеальные пучки : если это замкнутая подсхема локально нётеровой схемы , пучок всех регулярных функций, исчезающих на нем, является когерентным. Аналогично, если является замкнутым аналитическим подпространством комплексного аналитического пространства , пучок идеалов когерентен.${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$

• Структурный пучок замкнутой подсхемы локально нётеровой схемы можно рассматривать как когерентный пучок на . Если быть точным, это прямой пучок изображений , где - включение. То же самое для замкнутого аналитического подпространства комплексного аналитического пространства. Пучок имеет слой (определенный ниже) нулевой размерности в точках открытого множества и слой размерности 1 в точках в . Вот краткая точная последовательность когерентных пучков на :${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$${\displaystyle i:Z\to X}$${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$${\displaystyle X-Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}$

• Большинство операций линейной алгебры сохраняют когерентные пучки. В частности, для когерентных пучков и на кольчатое пространстве , то тензорное произведение пучок и пучок гомоморфизмов когерентны. ^[8]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$

• Простой не пример квазикогерентного пучка дает расширение с помощью нулевого функтора. Например, рассмотрим для${\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$^[9]

Поскольку этот пучок имеет нетривиальные слои, но нулевые глобальные сечения, он не может быть квазикогерентным пучком. Это связано с тем, что квазикогерентные пучки на аффинной схеме эквивалентны категории модулей над нижележащим кольцом, а присоединение происходит от взятия глобальных секций.

Функциональность [ править ]

Позвольте быть морфизм окольцованных пространств (например, морфизм схем ). Если - квазикогерентный пучок на , то модуль обратного изображения (или откат ) квазикогерентен на . ^[10] Для морфизма схем и когерентного пучка на , откат не является когерентным в полной общности (например, , которые не могут быть когерентным), но прообразы когерентных пучков когерентны , если локально нётерово. Важным частным случаем является возврат векторного расслоения, которое является векторным расслоением.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$

Если является квазикомпактным квазиразделенным морфизмом схем и является квазикогерентным пучком на , то прямой пучок изображений (или прямой поток ) является квазикогерентным на . ^[2]${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$

Прямое изображение связного пучка часто бывает некогерентным. Например, для поля позвольте быть аффинной линией над и рассмотреть морфизм ; тогда прямой образ - это связка, связанная с кольцом многочленов , которое не является когерентным, поскольку имеет бесконечную размерность как -векторное пространство. С другой стороны, прямое изображение связного пучка при правильном морфизме является когерентным, согласно результатам Грауэрта и Гротендика .${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle k[x]}$${\displaystyle k[x]}$${\displaystyle k}$

Локальное поведение когерентных пучков [ править ]

Важной особенностью когерентных пучков является то, что свойства в точке управляют поведением в окрестности , больше, чем было бы верно для произвольного пучка. Например, леммы Накаяма говорит (на геометрическом языке) , что , если это когерентный пучок на схеме , затем волокно из в точке (векторное пространство над полем вычетов ) равен нулю тогда и только тогда , когда пучок равен нулю на некотором открытом окрестности . С этим связан факт, что размерность слоев когерентного пучка полунепрерывна сверху . ^[11]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k(x)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$ Таким образом, когерентный пучок имеет постоянный ранг на открытом множестве, в то время как ранг может увеличиваться на замкнутом подмножестве меньшей размерности.

В том же духе: когерентный пучок на схеме является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его стержень является свободным модулем над локальным кольцом для каждой точки в . ^[12]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

По общей схеме нельзя определить, является ли когерентный пучок векторным расслоением, только по его слоям (в отличие от его стеблей). Однако в редуцированной локально нётеровой схеме когерентный пучок является векторным расслоением тогда и только тогда, когда его ранг локально постоянен. ^[13]

Примеры векторных расслоений [ править ]

Для морфизма схем , пусть будет диагональной морфизм , который представляет собой замкнутое вложение , если будет отделен над . Позвольте быть идеальным пучком в . Тогда пучок дифференциалов может быть определен как откат от до . Сечения этого пучка называются 1-формами на над , и их можно записать локально на как конечные суммы для регулярных функций и . Если локально конечного типа над полем , то является когерентным пучком на .${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle g_{j}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$${\displaystyle X}$

Если будет гладкой над , то ( имеется в виду ) является векторным расслоением над , называется котангенс пучок из . Тогда касательное расслоение определяется как дуальное расслоение . Для сглаживания размерности всюду касательное расслоение имеет ранг .${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Omega ^{1}}$${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$${\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Если - гладкая замкнутая подсхема гладкой схемы над , то существует короткая точная последовательность векторных расслоений на :${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

который можно использовать как определение нормального пакета в in .${\displaystyle N_{Y/X}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

Для получения гладкой схемы над полем и натурального числа , векторное расслоение из I -формы на определяется как -й внешней степени кокасательного расслоения, . Для гладкого многообразия размерности над , то каноническое расслоение означает расслоение . Таким образом, сечения канонического расслоения являются алгебро-геометрическими аналогами форм объема на . Например, сечение канонического расслоения аффинного пространства над может быть записано как${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Omega ^{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle \Omega ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$

где - многочлен с коэффициентами в .${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$

Позвольте быть коммутативным кольцом и натуральным числом. Для каждого целого числа существует важный пример линейного расслоения на проективном пространстве над , называемый . Чтобы определить это, рассмотрим морфизм -схем${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}$

задано в координатах по . (То есть, в виде проективного пространства как пространство 1-мерных линейных подпространств аффинного пространства, отправить точку ненулевой в аффинном пространстве к линии , что она охватывает.) Тогда сечение над открытым подмножеством из определенно , чтобы быть регулярная функция на нем однородна степени , что означает, что${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

как регулярные функции на ( . Для всех целых и существует изоморфизм линейных расслоений на .${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

В частности, каждый однородный многочлен в степени за кадром можно рассматривать как глобальный раздел более . Обратите внимание, что каждая замкнутая подсхема проективного пространства может быть определена как нулевое множество некоторого набора однородных многочленов, следовательно, как нулевое множество некоторых сечений линейных расслоений . ^[14] Это контрастирует с более простым случаем аффинного пространства, где замкнутая подсхема - это просто нулевое множество некоторого набора регулярных функций. Регулярные функции на проективном пространстве над - это просто «константы» (кольцо ), поэтому очень важно работать с линейными расслоениями .${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

Серр дал алгебраическое описание всех когерентных пучков на проективном пространстве, более тонкое, чем то, что происходит в аффинном пространстве. А именно, пусть будет нетерово кольцо (например, поле), и рассмотрим кольцо многочленов как градуированное кольцо, каждое из которых имеет степень 1. Тогда каждому конечно порожденному градуированному -модулю соответствует связанный когерентный пучок на вершине . Таким образом, всякий когерентный пучок на возникает из конечно порожденного градуированного -модуля . (Например, линейный пучок - это связка, связанная с -модулем, градуировка которого понижена на .) Но -модуль${\displaystyle R}$${\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle j}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$что дает заданный когерентный пучок, не единственно; он уникален только с точностью до изменения градуированными модулями, отличными от нуля лишь в конечном числе степеней. Более точно, абелева категория когерентных пучков на является фактором категории конечно порожденных градуированных -модулей по подкатегории Серра модулей, отличных от нуля лишь в конечном числе степеней. ^[15]${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle S}$

Касательное расслоение проективного пространства над полем можно описать в терминах линейного расслоения . А именно, есть короткая точная последовательность, последовательность Эйлера :${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}$

Отсюда следует, что каноническое расслоение (двойственное к детерминантному линейному расслоению касательного расслоения) изоморфно . Это фундаментальное вычисление для алгебраической геометрии. Например, тот факт, что каноническое расслоение является отрицательным кратным обильному линейному расслоению, означает, что проективное пространство является многообразием Фано . По комплексным числам это означает, что проективное пространство имеет кэлерову метрику с положительной кривизной Риччи .${\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Векторные расслоения на гиперповерхности [ править ]

Рассмотрим гладкую степень- гиперповерхность, определяемую однородным многочленом степени . Тогда есть точная последовательность${\displaystyle d}$${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0}$

где вторая карта - это откат дифференциальных форм, а первая карта отправляет

${\displaystyle \phi \mapsto d(f\cdot \phi )}$

Обратите внимание, что эта последовательность говорит нам, что это конормальный пучок in . Дуализация этого дает точную последовательность${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0}$

следовательно, это нормальный пучок в . Если мы воспользуемся тем фактом, что дана точная последовательность${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0}$

векторные расслоения с рангами , , , существует изоморфизм${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$

${\displaystyle \Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}}$

линейных расслоений, то мы видим, что существует изоморфизм

${\displaystyle i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)}$

показывая это

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)}$

Классы Черны и алгебраическая K -теория [ править ]

Расслоение на гладкое многообразие над полем имеет классы Черны в кольце Чжоу из , в течение . ^[16] Они удовлетворяют тем же формальным свойствам, что и классы Черна в топологии. Например, для любой короткой точной последовательности${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{i}(E)}$${\displaystyle CH^{i}(X)}$${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

векторных расслоений на , классы Черна задаются формулами${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}$

Отсюда следует, что классы Черна векторного расслоения зависят только от класса в группе Гротендика . По определению, для схемы , является фактором свободной абелевой группы на множестве классов изоморфизма векторных расслоений на соотношении , что для любой точной последовательности , как описаны выше. Хотя в целом ее сложно вычислить, алгебраическая K-теория предоставляет множество инструментов для ее изучения, включая последовательность связанных групп для целых чисел .${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle K_{i}(X)}$${\displaystyle i>0}$

Вариантом является группа (или ), группа Гротендика когерентных пучков на . (В топологических терминах G -теория обладает формальными свойствами теории гомологий Бореля – Мура для схем, тогда как K -теория является соответствующей теорией когомологий .) Естественный гомоморфизм является изоморфизмом, если является регулярной отделенной нётеровой схемой, используя то, что каждая когерентный пучок в этом случае имеет конечное разрешение векторными расслоениями. ^[17] Например, это дает определение классов Черна когерентного пучка на гладком многообразии над полем.${\displaystyle G_{0}(X)}$${\displaystyle K_{0}'(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}$${\displaystyle X}$

В более общем смысле говорят , что нётерова схема обладает свойством разрешающей способности, если на каждом когерентном пучке есть сюръекция из некоторого векторного расслоения . Например, любая квазипроективная схема над нётеровым кольцом обладает свойством разрешающей способности.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Применение свойства разрешения [ править ]

Поскольку состояния разрешения собственности, когерентный пучок на нётеровой схеме квазиизоморфен в производной категории в комплекс векторных расслоений: мы можем вычислить общий класс Черна с${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}}$

Например, эта формула полезна для поиска классов Черна пучка, представляющего подсхему . Если взять проективную схему, ассоциированную с идеалом , то${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (xy,xz)\subset \mathbb {C} [x,y,z,w]}$

${\displaystyle c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}}$

поскольку есть разрешение

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

закончился .${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Гомоморфизм пучка против гомоморфизма пучка [ править ]

Когда векторные расслоения и локально свободные пучки конечного постоянного ранга используются как взаимозаменяемые, необходимо проявлять осторожность, чтобы различать гомоморфизмы расслоений и гомоморфизмы пучков. В частности, данные векторные расслоения , по определению, гомоморфизм расслоения - это морфизм схемы над (т. Е. ) Такой, что для каждой геометрической точки в , является линейным отображением ранга, не зависящего от . Таким образом, он индуцирует гомоморфизм пучков постоянного ранга между соответствующими локально свободными -модулями (пучками двойственных сечений). Но может существовать гомоморфизм -модулей, который не возникает таким образом; а именно те, которые не имеют постоянного звания.${\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X}$${\displaystyle \varphi :E\to F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p=q\circ \varphi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

В частности, подгруппа - это подпучок (т. Е. Подпучок ). Но обратное может потерпеть неудачу; например, для эффективного Картье делителя на , является подпучком но , как правило , не подрасслоение (поскольку любое линейное расслоение имеет только два подрасслоений).${\displaystyle E\subset F}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subset {\mathcal {O}}_{X}}$

Категория квазикогерентных пучков [ править ]

Квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию. Габбер показал, что на самом деле квазикогерентные пучки на любой схеме образуют абелеву категорию с особенно хорошим поведением, категорию Гротендика . ^[18] Квазикомпактная квази-разделенная схема (такая как алгебраическое многообразие над полем) определяется с точностью до изоморфизма абелевой категорией квазикогерентных пучков на Розенберге, обобщая результат Габриэля . ^[19]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Когерентные когомологии [ править ]

Основным техническим инструментом алгебраической геометрии является теория когомологий когерентных пучков. Хотя он был введен только в 1950-х годах, многие более ранние методы алгебраической геометрии проясняются языком когомологий пучков, применяемых к когерентным пучкам. Вообще говоря, когерентные когомологии пучков можно рассматривать как инструмент для создания функций с заданными свойствами; сечения линейных пучков или более общих пучков можно рассматривать как обобщенные функции. В комплексной аналитической геометрии когомологии когерентных пучков также играют фундаментальную роль.

Среди основных результатов когомологий когерентных пучков - результаты о конечномерности когомологий, результаты об исчезновении когомологий в различных случаях, теоремы двойственности, такие как двойственность Серра , отношения между топологией и алгебраической геометрией, такие как теория Ходжа , и формулы для характеристик Эйлера. когерентных пучков, таких как теорема Римана – Роха .

См. Также [ править ]

• Группа Пикард
• Дивизор (алгебраическая геометрия)
• Возвратная связка
• Схема котировки
• Скрученная связка
• Существенно конечное векторное расслоение
• Связка основных деталей
• Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга
• Псевдокогерентный пучок
• Квазикогерентный пучок на алгебраическом стеке

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Antieau, Benjamin (2016), «Теорема восстановления абелевых категорий скрученных пучков», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 712 : 175–188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515 / crelle-2013-0119 , MR  3466552
• Данилов В.И. (2001) [1994], "Когерентный алгебраический пучок" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1984), когерентные аналитические пучки , Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-642-69582-7 , ISBN 3-540-13178-7, Руководство по ремонту  0755331
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике , 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-0-387-98549-7, MR  1644323
• Разделы 0.5.3 и 0.5.4 Гротендика, Александра ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту 0217083 . 
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974 г.) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / b62130 . ISBN 354063293X. Руководство по ремонту  1748380 .
• Онищик А.Л. (2001) [1994], "Когерентный аналитический пучок" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Онищик А.Л. (2001) [1994], «Когерентный пучок» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Серра, Жан-Пьер (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Анналы математики , 61 : 197-278, DOI : 10,2307 / 1969915 , МР  0068874

Внешние ссылки [ править ]

• Авторы проекта Stacks, проект Stacks
• Часть V Вакил, Рави , Восходящее море