В математике , окольцованное пространство представляет собой семейство ( коммутативных ) кольца параметризованных открытых подмножеств одного топологического пространства вместе с кольцевыми гомоморфизмами , которые играют роли ограничений . Точнее, это топологическое пространство, снабженное пучком колец, называемым структурным пучком . Это абстракция понятия колец непрерывных (скалярнозначных) функций на открытых подмножествах.
Среди окольцованных пространств особенно важным и заметным является локально окольцованное пространство : окольцованное пространство, в котором справедлива аналогия между стержнем в точке и кольцом ростков функций в точке.
Кольчатые пространства появляются в анализе , а также комплексной алгебраической геометрии и теории схем в алгебраической геометрии .
Примечание : в определении окольцованного пространства в большинстве описаний, как правило, кольца ограничиваются коммутативными кольцами , включая Хартсхорн и Википедию. " Éléments de géométrie algébrique ", с другой стороны, не налагает предположения о коммутативности, хотя в книге в основном рассматривается коммутативный случай. [1]
Определения
Окольцованное пространство является топологическим пространством вместе с пучком из колец на . Связканазывается структурным пучком из.
Локально окольцованное пространство является замужней пространствотаким образом, чтобы все стебли изявляются локальными кольцами (т.е. имеют единственные максимальные идеалы ). Обратите внимание, что не требуется, чтобы быть локальным кольцом для каждого открытого множества ; на самом деле, этого почти никогда не бывает.
Примеры
Произвольное топологическое пространство можно рассматривать как локально окольцованное пространство, взяв быть пучком вещественнозначных (или комплекснозначных ) непрерывных функций на открытых подмножествах. Стебель в точкеможно рассматривать как множество всех ростков непрерывных функций в; это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом, состоящим из ростков, значение которых при является .
Если является многообразием с некоторой дополнительной структурой, мы также можем взять пучок дифференцируемых или комплексно-аналитических функций. Оба они порождают локально окольцованные пространства.
Если является алгебраическим многообразием, несущим топологию Зарисского , мы можем определить локально окольцованное пространство, взявбыть кольцом рациональных отображений, определенных на открытом по Зарискому множеству которые не взрываются (становятся бесконечными) внутри . Важным обобщением этого примера является спектр любого коммутативного кольца; эти спектры также являются локально окольцованными пространствами. Схемы - это локально окольцованные пространства, полученные путем «склеивания» спектров коммутативных колец.
Морфизмы
Морфизм из к пара , где - непрерывное отображение между лежащими в основе топологическими пространствами, иявляется морфизмом из структурного пучкак прямым образом структурного пучка X . Другими словами, морфизм из к дается следующими данными:
- непрерывное отображение
- семейство кольцевых гомоморфизмов за каждый открытый комплект из которые коммутируют с отображениями ограничения. То есть, если два открытых подмножества , то следующая диаграмма должна коммутировать (вертикальные отображения являются гомоморфизмами ограничения):
Существует дополнительное требование для морфизмов между локально окольцованными пространствами:
- гомоморфизмы колец, индуцированные между стеблями и стебли должны быть локальными гомоморфизмами , т. е. для каждого максимальный идеал локального кольца (стебля) в точке отображается в максимальный идеал локального кольца в точке .
Два морфизма могут быть составлены, чтобы сформировать новый морфизм, и мы получаем категорию окольцованных пространств и категорию локально окольцованных пространств. Изоморфизмы в этих категориях определяются как обычно.
Касательные пространства
Локально окольцованные пространства имеют достаточно структуры, чтобы дать осмысленное определение касательных пространств . Позволять быть локально окольцованным пространством со структурным пучком ; мы хотим определить касательное пространство в момент . Возьмите местное кольцо (стебель) в момент , с максимальным идеалом . потомэто поле и- векторное пространство над этим полем ( кокасательное пространство ). Касательное пространствоопределяется как двойственное к этому векторному пространству.
Идея заключается в следующем: касательный вектор в точке должен рассказать вам, как «различать» «функции» на , т.е. элементы . Теперь достаточно знать, как различать функции, значение которых приравен нулю, поскольку все остальные функции отличаются от этих только константой, и мы знаем, как дифференцировать константы. Итак, нам нужно только рассмотреть. Кроме того, если две функции заданы с нулевым значением при, то их произведение имеет производную 0 при , по правилу продукта . Итак, нам нужно только знать, как присвоить «числа» элементам, и это то, что делает двойное пространство.
-модули
Учитывая локально окольцованное пространство , определенные пучки модулей на встречаются в приложениях, -модули. Для того, чтобы определить их, рассмотрим пучок F на абелевых групп на. Если F ( U ) - модуль над кольцом за каждый открытый комплект в , а отображения ограничений совместимы со структурой модуля, то мы называем ан -модуль. В этом случае стебель в будет модулем над локальным кольцом (стебельком) , для каждого .
Морфизм между двумя такими -модули - это морфизм пучков, совместимый с данными модульными структурами. Категория-модули над фиксированным локально окольцованным пространством - абелева категория .
Важная подкатегория категории -модули - это категория квазикогерентных пучков на. Пачка-модули называются квазикогерентными, если они локально изоморфны коядру отображения между свободными -модули. Когерентный пучок является квазикогерентным пучком, который локально имеет конечный тип и для любого открытого подмножества из ядро любого морфизма из свободного -модули конечного ранга к тоже конечного типа.
Цитаты
- ^ EGA, Глава 0, 4.1.1.
Рекомендации
- Раздел 0.4 Гротендика, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). "Algébrique Éléments de géométrie: I. Le langage des schémas" . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . DOI : 10.1007 / bf02684778 . Руководство по ремонту 0217083 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
Внешние ссылки
- Онищик, А.Л. (2001) [1994], "Окольцованное пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press