В математике , теорема сизигии Гильберта является одним из трех основных теорем о кольцах многочленов над полями , впервые доказан Давидом Гильбертом в 1890 году, которые были введены для решения важных открытых вопросов в теории инвариантов , и лежат в основе современной алгебраической геометрии . Две другие теоремы - это базисная теорема Гильберта , утверждающая, что все идеалы колец многочленов над полем конечно порождены, и Nullstellensatz Гильберта , устанавливающая взаимно однозначное соответствие между аффинными алгебраическими многообразиями и простыми идеалами. колец многочленов.
Теорема сизигии озабоченность Гильберта в отношениях , или сизигия в терминологии Гильберта, между образующими в качестве идеала , или, более общо, модуль . Поскольку отношения образуют модуль, можно рассматривать отношения между отношениями; Теорема Гильберта о сизигиях утверждает, что, если продолжить таким образом, начиная с модуля над кольцом многочленов от n неопределенностей над полем, то в конечном итоге будет найден нулевой модуль отношений после не более чем n шагов.
Теорема Гильберта о сизигиях теперь считается ранним результатом гомологической алгебры . Это отправная точка использования гомологических методов в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.
История
Теорема сизигий впервые появилась в основополагающей статье Гильберта «Über die Theorie der algebraischen Formen» (1890). [1] Работа разделена на пять частей: в части I доказывается базисная теорема Гильберта над полем, а в части II - над целыми числами. Часть III содержит теорему о сизигии (теорема III), которая используется в части IV для обсуждения полинома Гильберта. Последняя часть, часть V, доказывает конечное порождение некоторых колец инвариантов . Между прочим, часть III также содержит частный случай теоремы Гильберта – Берча .
Сизигии (отношения)
Первоначально Гильберт определил сизигии для идеалов в кольцах многочленов , но эта концепция тривиально обобщается на (левые) модули над любым кольцом .
Учитывая генераторную установку из модуля M над кольцом R , A отношение или первым сизигий между генераторами является к -кратномуэлементов из R таких, что [2]
Позволять быть свободным модулем с базойК - кортеж может быть отождествлен с элементом
а отношения образуют ядро на линейной карте определяется Другими словами, есть точная последовательность
Этот первый сизигийный модуль зависит от выбора генераторной установки, но, если - модуль, полученный с другой генераторной установкой, существуют два свободных модуля а также такой, что
где обозначим прямую сумму модулей .
Вторая сизигия модуль является модулем соотношений между генераторами первого модуля сизигий. Продолжая таким образом, можно определить k- й модуль сизигии для каждого положительного целого числа k .
Если k- й модуль сизигии свободен для некоторого k , то, взяв за основу порождающий набор, следующий модуль сизигии (и каждый последующий) будет нулевым модулем . Если не брать базы как генераторные, то все последующие модули сизигий бесплатны.
Пусть n будет наименьшим целым числом, если таковое имеется, такое, что n- й модуль сизигии модуля M является свободным или проективным . Из указанного выше свойства инвариантности с точностью до суммы, прямой со свободными модулями, следует, что n не зависит от выбора порождающих множеств. Проективная размерность из M это целое число, если оно существует, или ∞ , если нет. Это эквивалентно существованию точной последовательности
где модули свободны и проективно. Можно показать, что всегда можно выбрать генераторные установки длябудучи свободным, это означает, что указанная выше точная последовательность является свободным разрешением .
Заявление
Теорема Гильберта о сизигиях утверждает, что если M - конечно порожденный модуль над кольцом многочленов в n неопределенностях над полем k , то n- й модуль сизигии M всегда является свободным модулем .
На современном языке это означает , что проективная размерность из М не превосходит п , и , таким образом , что существует свободное разрешение
длины k ≤ n .
Эта верхняя граница проективной размерности точна, т. Е. Существует модулей проективной размерности ровно n . Стандартный пример - поле k , которое можно рассматривать как-модуль, установив для любого i и любого c ∈ k . Для этого модуля свободен n- й модуль сизигий, но не ( n - 1) -й (доказательство см. Ниже в § Комплекс Кошуля ).
Теорема верна и для неконечно порожденных модулей. Поскольку глобальная размерность кольца является супремумом проективных размерностей всех модулей, теорему Гильберта о сизигии можно переформулировать как: глобальная размерностьэто п .
Низкая размерность
В случае нулевых неопределенных теорема Гильберта о сизигии - это просто факт, что каждое векторное пространство имеет базис .
В случае единственного неопределенного, теорема Гильберта о сизигии является примером теоремы, утверждающей, что над кольцом главных идеалов каждый подмодуль свободного модуля сам свободен.
Кошульский комплекс
Комплекс Кошуля , также называемый «комплексом внешней алгебры», позволяет в некоторых случаях явное описание всех модулей сизигий.
Позволять - порождающая система идеала I в кольце многочленов, и разреши быть свободным модулем базисаВнешняя алгебра изявляется прямой суммой
где это бесплатный модуль, в основе которого лежат внешние продукты
такой, что В частности, есть (из-за определения пустого продукта ) два определения совпадают, и при t > k . Для каждого положительного t можно определить линейное отображение от
где шляпа означает, что множитель опущен. Непосредственное вычисление показывает, что композиция двух последовательных таких отображений равна нулю, и, таким образом, одно имеет сложное
Это комплекс Кошул . В общем, комплекс Кошуля не является точной последовательностью , но это точная последовательность, если работать с кольцом многочленов. и идеал , порожденный регулярной последовательностью из однородных многочленов .
В частности, последовательность является регулярным, и комплекс Кошуля, таким образом, является проективной резольвентой В этом случае n- й модуль сизигии свободен от размерности один (генерируется произведением всех); ( п - 1) й модуль сизигий, таким образом , фактор свободного модуля размерности п на подмодуль , порожденныйЭтот фактор не может быть проективным модулем , иначе существовали бы многочлены такой, что что невозможно (подставив 0 в последнем равенстве дает 1 = 0 ). Это доказывает, что проективная размерностьровно n .
То же доказательство применяется для доказательства того, что проективная размерность точно t, если образуют регулярную последовательность однородных многочленов.
Вычисление
Во времена Гильберта не существовало метода вычисления сизигий. Было известно только, что алгоритм может быть выведен из любой верхней границы степени образующих модуля сизигий. Фактически, коэффициенты сизигий являются неизвестными многочленами. Если степень этих многочленов ограничена, количество их одночленов также ограничено. Выражение наличия сизигии дает систему линейных уравнений , неизвестными в которой являются коэффициенты этих одночленов. Следовательно, любой алгоритм для линейных систем подразумевает алгоритм для сизигий, как только известна граница степеней.
Первая оценка сизигий (а также проблемы принадлежности к идеалу ) была дана в 1926 г. Гретой Герман : [3] Пусть M подмодуль свободного модуля L размерности t надесли коэффициенты над базисом L порождающей системы M имеют общую степень не больше d , то существует такая константа c , что степени, встречающиеся в порождающей системе первого модуля сизигии, не большеЖе оценка применяется для проверки членства в М элемента из L . [4]
С другой стороны, есть примеры, когда обязательно имеет место двойная экспоненциальная степень. Однако такие примеры крайне редки, и это ставит вопрос об алгоритме, который был бы эффективным, когда выход не слишком велик. В настоящее время лучшими алгоритмами для вычисления сизигий являются базисные алгоритмы Грёбнера . Они позволяют вычислить первый модуль сизигий, а также, почти без дополнительных затрат, все модули сизигий.
Сизигии и регулярность
Можно задаться вопросом, какое теоретико-кольцевое свойство приводит к выполнению теоремы Гильберта о сизигии. Оказывается, это регулярность , которая представляет собой алгебраическую формулировку того факта, что аффинное n -пространство является многообразием без особенностей . На самом деле имеет место следующее обобщение: пустьбыть нётеровым кольцом. потом имеет конечную глобальную размерность тогда и только тогда, когда регулярна, а размерность Крулля конечно; в этом случае глобальное измерениеравна размерности Крулля. Этот результат можно доказать с помощью теоремы Серра о регулярных локальных кольцах .
Смотрите также
- Теорема Квиллена – Суслина
- Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
Рекомендации
- ↑ D. Hilbert, Uber die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen 36, 473–530.
- ^ Теория представлена для конечно порожденных модулей , но легко распространяется на произвольные модули.
- ↑ Grete Hermann: Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. Unter Benutzung nachgelassener Sätze von K. Hentzelt , Mathematische Annalen, Volume 95, Number 1, 736-788, doi : 10.1007 / BF01206635 ( аннотация на немецком языке) - Вопрос о конечном числе шагов в теории полиномиальных идеалов (обзор и на английском языке) перевод)
- ^ Г. Германн утверждал, что c = 1 , но не доказал этого.
- Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра. С прицелом на алгебраическую геометрию . Тексты для выпускников по математике, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi + 785 стр. ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6 MR1322960
- "Теорема Гильберта" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]