Разрешение (алгебра)

В математике , а более конкретно в гомологической алгебре , с разрешением (или левым разрешения ; дуально coresolution или вправо разрешение ^[1] ) представляет собой точная последовательность из модулей (или, в более общем случае , из объектов в качестве абелевой категории ), которая используется для определения инвариантов, характеризующих структуру конкретного модуля или объекта данной категории. Когда, как обычно, стрелки ориентированы вправо, предполагается, что последовательность бесконечна влево для (левых) разрешений и вправо для правых разрешений. Однакоконечное разрешение - это такое разрешение, при котором только конечное число объектов в последовательности ненулевое ; обычно он представлен конечной точной последовательностью, в которой крайний левый объект (для разрешений) или крайний правый объект (для coresolutions) является нулевым объектом . ^[2]

Как правило, объекты в последовательности ограничены некоторым свойством P (например, свободны). Таким образом , один говорит о разрешении P . В частности, каждый модуль имеет свободные резольвенты , проективные резольвенты и плоские резольвенты , которые представляют собой левые резольвенты, состоящие, соответственно, из свободных модулей , проективных модулей или плоских модулей . Точно так же каждый модуль имеет инъективные резольвенты , которые являются правыми резольвентами, состоящими из инъективных модулей .

Разрешения модулей [ править ]

Определения [ править ]

Учитывая , модуль М над кольцом R , A слева разрешение (или просто разрешение ) из М представляет собой точную последовательность (возможно , бесконечная) R -модулями

${\ displaystyle \ cdots {\ overset {d_ {n + 1}} {\ longrightarrow}} E_ {n} {\ overset {d_ {n}} {\ longrightarrow}} \ cdots {\ overset {d_ {3}} {\ longrightarrow}} E_ {2} {\ overset {d_ {2}} {\ longrightarrow}} E_ {1} {\ overset {d_ {1}} {\ longrightarrow}} E_ {0} {\ overset {\ varepsilon} {\ longrightarrow}} M \ longrightarrow 0.}$

Гомоморфизмы d _i называются граничными отображениями. Карта ε называется картой дополнения . Для краткости указанное выше разрешение можно записать как

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

Двойное понятие является то , что в правой резолюции (или coresolution , или просто разрешение ). В частности, для модуля M над кольцом R правая резольвента - это, возможно, бесконечная точная последовательность R -модулей

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,}$

где каждый C ⁱ является R -модулем (обычно используются верхние индексы на объектах в разрешении и на картах между ними, чтобы указать на двойственный характер такого разрешения). Для краткости указанное выше разрешение можно записать как

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

(Ко) резольвента называется конечной, если только конечное число задействованных модулей ненулевое. Длиной конечного разрешения является максимальным индексом п маркировки модуля ненулевого в конечном разрешении.

Свободные, проективные, инъективные и плоские разрешения [ править ]

Во многих случаях на модули E _i, разрешающие данный модуль M , накладываются условия . Например, свободная резольвента модуля M - это левая резольвента, в которой все модули E _i являются свободными R -модулями. Точно так же проективная и плоская резольвенты - это левые резольвенты, в которых все E _i являются проективными и плоскими R- модулями соответственно. Инъективные резольвенты - это правые резольвенты, все C ^{i которых} являются инъективными модулями..

Каждый R -модуль имеет свободную левую резольвенту. ^[3] Кроме того , каждый модуль имеет проективные и плоские резольвенты. Идея доказательства состоит в том, чтобы определить E ₀ как свободный R -модуль, порожденный элементами M , а затем E ₁ как свободный R- модуль, порожденный элементами ядра естественного отображения E ₀ → M и т. Д. Двойственно каждый R -модуль обладает инъективной резольвентой. Проективные разрешения (и, в более общем смысле, плоские разрешения) могут использоваться для вычисления функторов Tor .

Проективное разрешение модуля M единствен с точностью до цепной гомотопии , т.е. даны две проективных резолюций P ₀ → M и P ₁ → M из M существует цепная гомотопия между ними.

Разрешения используются для определения гомологических размеров . Минимальная длина конечной проективной резольвенты модуля M называется его проективной размерностью и обозначается pd ( M ). Например, модуль имеет нулевую проективную размерность тогда и только тогда, когда он является проективным модулем. Если M не допускает конечной проективной резольвенты, то проективная размерность бесконечна. Например, для коммутативного локального кольца R , проективная размерность конечна тогда и только тогда , когда R является регулярным , и в этом случае оно совпадает с размерностью Крулля из R . Аналогичноинъективная размерность id ( M ) и плоская размерность fd ( M ) также определены для модулей.

Инъективная и проективные размеры используются на категории правых R модулей для определения гомологической размерности для R называется правильное глобальное измерение в R . Точно так же плоское измерение используется для определения слабого глобального измерения . Поведение этих размеров отражает характеристики кольца. Например, кольцо имеет правую глобальную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно является полупростым кольцом , а кольцо имеет слабую глобальную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно является регулярным кольцом фон Неймана .

Градуированные модули и алгебры [ править ]

Пусть M - градуированный модуль над градуированной алгеброй , порожденный над полем элементами положительной степени. Тогда M имеет свободную резольвенту, в которой свободные модули E _i могут быть градуированы таким образом, что d _i и ε являются градуированными линейными отображениями . Среди этих градуированных свободных резольвент минимальные свободные резольвенты - это те, для которых количество базисных элементов каждого E _i минимально. Количество базисных элементов каждого E _i и их степени одинаковы для всех минимальных свободных разрешений градуированного модуля.

Если я это однородный идеал в кольце многочленов над полем, то Кастельнуово-Мамфорд закономерность в проективном алгебраическом множестве , определенном I есть минимальный целое число г , такая , что степени базисных элементов Е _я в минимальном свободном разрешении Я все ниже Ри .

Примеры [ править ]

Классический пример свободного разрешения задается комплексом Кошуля о наличии правильной последовательности в локальном кольце или однородной регулярной последовательность в градуированной алгебре конечно порожденной над полем.

Пусть X быть асферичное пространство , то есть, его универсальное накрытие E является сжимаемым . Тогда любой сингулярный (или симплициальный ) цепной комплекс E является свободной резольвентой модуля Z не только над кольцом Z, но и над групповым кольцом Z [ π ₁ ( X )].

Резолюции в абелевых категориях [ править ]

Определение решений объекта М в качестве абелевой категории А такое же , как и выше, но Е _я и С ^я это объекты А , и все карты участвуют являются морфизмы в А .

Аналогичным понятием проективных и инъективных модулей являются проективные и инъективные объекты и, соответственно, проективные и инъективные резольвенты. Однако такие решения не должны существовать в общей абелевой категории A . Если каждый объект из A имеет проективную (соответственно инъективную) резольвенту, то говорят, что у A достаточно проективов (соответственно, достаточно инъективных ). Даже если они существуют, с такими разрешениями часто сложно работать. Например, как указывалось выше, каждый R -модуль имеет инъективную резольвенту, но эта резольвента не является функториальной , т. Е. При заданном гомоморфизме M →M ' вместе с инъективными резольвентами

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},}$

вообще не существует функционального способа получить отображение между и .${\displaystyle I_{*}}$${\displaystyle I'_{*}}$

Ациклическое разрешение [ править ]

Во многих случаях нас действительно интересуют не объекты, появляющиеся в разрешении, а поведение разрешения по отношению к данному функтору . Поэтому во многих ситуациях используется понятие ациклических резольвент : для заданного точного слева функтора F : A → B между двумя абелевыми категориями резольвента

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots }$

объекта M из A называется F -ациклическим, если производные функторы R _i F ( E _n ) обращаются в нуль для всех i  > 0 и n  ≥ 0. Двойственно левая резольвента ациклична относительно правого точного функтора, если его производные функторы обращаются в нуль на объектах резольвенты.

Например, дано R модуля M , то тензорное произведение    является правым точный функтор Mod ( R ) → Mod ( R ). Всякая плоская резольвента ациклична относительно этого функтора. Плоское разрешение ациклическое для тензора продукта с помощью любого М . Точно так же резольвенты, которые ацикличны для всех функторов Hom (⋅, M ), являются проективными резольвентами, а резольвенты, которые ацикличны для функторов Hom ( M ,), являются инъективными резольвентами.${\displaystyle \otimes _{R}M}$

Любая инъективная (проективная) резольвента F- ациклична для любого точного слева (точного справа соответственно) функтора.

Важность ациклических резольвент заключается в том, что производные функторы R _i F (точного слева функтора, а также L _i F точного справа функтора) могут быть получены из гомологий F -ациклических резольвент: задана ациклическая разрешение объекта M , имеем${\displaystyle E_{*}}$

${\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),}$

где правая часть - i -й объект гомологии комплекса${\displaystyle F(E_{*}).}$

Эта ситуация применима во многих ситуациях. Например, для постоянного пучка R на дифференцируемом многообразии M разрешаются пучки гладких дифференциальных форм :${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$

${\displaystyle 0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.}$

Пучки - это тонкие пучки , которые, как известно, ацикличны по отношению к функтору глобального сечения . Следовательно, когомологии пучка, являющиеся производным функтором глобального функтора сечения Γ, вычисляются как${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)}$${\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}$

Точно так же резольвенты Годема ацикличны по отношению к функтору глобальных секций.

См. Также [ править ]

• Стандартное разрешение
• Теорема Гильберта – Берча
• Теорема Гильберта о сизигиях
• Бесплатная презентация

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Иэн Т. Адамсон (1972), элементарные кольца и модули , университетские математические тексты, Оливер и Бойд, ISBN 0-05-002192-3
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics , 150 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, MR  1322960 , Zbl  0819.13001
• Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Базовая алгебра II (второе изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47187-7
• Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848,13001
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .