Нормальный конус

В алгебраической геометрии нормальный конус подсхемы схемы - это схема, аналогичная нормальному расслоению или трубчатой ​​окрестности в дифференциальной геометрии.${\ displaystyle C_ {X} Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Определение

Нормальный конус C _X Y или вложения i : X → Y , определяемый некоторым пучком идеалов I , определяется как относительный Spec${\ displaystyle C_ {X / Y}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}).}$

Когда вложение я являюсь регулярным нормальным конус нормального расслоение, векторное расслоение на X , соответствующее сопряженный пучка Я / Я ² .

Если X - точка, то нормальный конус и нормальное расслоение к нему также называются касательным конусом и касательным пространством ( касательным пространством Зарисского ) к точке. Когда Y = Spec R аффинно, средство определения , что нормальный конус к X = Spec R / I является Spec из ассоциированного градуированного кольца из R по отношению к I .

Если Y представляет собой произведение Х × Х и вложение я это диагональное вложение , то нормальное расслоение к X в Y является касательное расслоение к X .

Нормальный конус (точнее его проективный родственник) появляется в результате раздува. Именно пусть

${\displaystyle \pi :\operatorname {Bl} _{X}Y=\operatorname {Proj} _{Y}(\oplus _{n=0}^{\infty }I^{n})\to Y}$

быть раздутие Y вдоль X . Тогда по определению исключительный дивизор является прообразом ; который является проективным конус из . Таким образом,${\displaystyle E=\pi ^{-1}(X)}$${\displaystyle \oplus _{0}^{\infty }I^{n}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$

${\displaystyle E=\mathbb {P} (C_{X}Y)}$.

Глобальные участки нормального расслоения классифицируют вкладывается бесконечно малых деформаций из Y в X ; существует естественная биекция между множеством замкнутых подсхем Y × _k D , плоских над кольцом D двойственных чисел и имеющих X в качестве специального слоя, и H ⁰ ( X , N _X Y ). ^[1]

Характеристики

Композиции регулярных вложений

Если - регулярные вложения , то - правильное вложение и существует естественная точная последовательность векторных расслоений на X : ^[2]${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z}$${\displaystyle j\circ i}$

${\displaystyle 0\to N_{X/Y}\to N_{X/Z}\to i^{*}N_{Y/Z}\to 0}$.

Если - регулярные вложения коразмерности и если - регулярное вложение коразмерности${\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow X}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \sum c_{i}}$

затем ^[2]

${\displaystyle N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}}$.

В частности, если - гладкий морфизм , то нормальное расслоение к диагональному вложению${\displaystyle X\to S}$

${\displaystyle \Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X}$( r -сложить)

есть прямая сумма r - 1 экземпляров относительного касательного расслоения .${\displaystyle T_{X/S}}$

Если это закрытое погружение и если плоский морфизм такой, что , то ^{[3] [ необходима ссылка ]}${\displaystyle X\hookrightarrow X'}$${\displaystyle Y'\to Y}$${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$

${\displaystyle C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\times _{X}X'.}$

Если - гладкий морфизм и является регулярным вложением, то существует естественная точная последовательность векторных расслоений на X : ^[4]${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

${\displaystyle 0\to T_{X/S}\to T_{Y/S}|_{X}\to N_{X/Y}\to 0}$,

(который является частным случаем точной последовательности для кокасательных пучков .)

Декартова площадь

Для декартового квадрата схем

${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &Y\end{matrix}}}$

с вертикальной картой существует замкнутое вложение${\displaystyle f:X'\to X}$

${\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow f^{*}C_{X/Y}}$

нормальных шишек.

Размер компонентов

Пусть - схема конечного типа над полем и замкнутая подсхема. Если имеет чистую размерность r ; т.е. каждая неприводимая компонента имеет размерность r , тогда она также имеет чистую размерность r . ^[5] (Это можно рассматривать как следствие # Деформации нормального конуса .) Это свойство является ключом к применению в теории пересечений: задана пара замкнутых подсхем в некотором окружающем пространстве, в то время как теоретико-схемное пересечение имеет неприводимые компоненты различных размеров, в зависимости от положения деликатно , нормальный конус имеет чистый размер.${\displaystyle X}$${\displaystyle W\subset X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{W/X}}$${\displaystyle V,X}$ ${\displaystyle V\cap X}$${\displaystyle V,X}$${\displaystyle V\cap X}$

Примеры

• Пусть - эффективный дивизор Картье. Тогда нормальное расслоение к нему (или, что то же самое, нормальный конус к нему) есть ^[6]${\displaystyle D\hookrightarrow X}$

  ${\displaystyle N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}}$.

Нерегулярное вложение

Рассмотрим нерегулярное вложение ^{[7] стр. 4-5}

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)\to \mathbb {A} ^{3}}$

тогда мы можем вычислить нормальный конус, сначала наблюдая

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=(xz,yz)\\I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})\\\end{aligned}}}$

Если мы сделаем вспомогательные переменные и получим соотношение${\displaystyle a=xz}$${\displaystyle b=yz}$

${\displaystyle ya-xb=0.}$

Мы можем использовать это, чтобы представить нормальный конус как относительный спектр

${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b]}{(ya-xb)}}\right)}$

Поскольку он аффинен, мы можем просто записать относительный спектр в виде аффинной схемы${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$

${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z][a,b]}{(ya-xb)}}\right)}$

давая нам нормальный конус.

Геометрия этого нормального конуса

Геометрию нормального конуса можно дополнительно изучить, посмотрев на волокна для различных замкнутых точек . Обратите внимание, что геометрически это объединение -плоскости с -осью ,${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle H}$${\displaystyle z}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle X=H\cup L}$

поэтому интересующие нас точки - это гладкие точки на плоскости, гладкие точки на оси и точки на их пересечении. Любая гладкая точка на плоскости задается картой

${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto z_{1}&y\mapsto z_{2}&z\mapsto 0\end{matrix}}}$

для и либо или . Так как точку мы выбираем произвольно, для удобства предположим , следовательно, слой в этой точке изоморфен${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{1}\neq 0}$${\displaystyle z_{2}\neq 0}$${\displaystyle z_{1}\neq 0,z_{2}=0}$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle p=(z_{1},0,0)}$

${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{p}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(z_{1}a)}}\cong \mathbb {C} [b]}$

давая нормальный конус как одномерную линию, как и ожидалось. Для точки на оси это дается картой${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto 0&y\mapsto 0&z\mapsto z_{3}\end{matrix}}}$

следовательно , волокно в точке является${\displaystyle q=(0,0,z_{3})}$

${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{q}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(0)}}\cong \mathbb {C} [a,b]}$

что дает самолет. В начале координат нормальный конус над этой точкой снова изоморфен .${\displaystyle r=(0,0,0)}$${\displaystyle \mathbb {C} [a,b]}$

Узловая кубическая

Для узловой кубической кривой, заданной полиномом над , и точки в узле конус имеет изоморфизм${\displaystyle Y}$${\displaystyle y^{2}+x^{2}(x-1)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle C_{X/Y}\cong {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x^{2}))}$

показывает, что у нормального конуса больше компонентов, чем у схемы, над которой он лежит.

Деформация до нормального конуса

Предположим , это вложение. Его можно деформировать до вложения внутрь нормального конуса (как нулевого сечения) в следующем смысле ^{[7], стр. 6} : существует плоское семейство${\displaystyle i:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{X/Y}}$

${\displaystyle \pi :M_{X/Y}^{o}\to \mathbb {P} ^{1}}$

с общим слоем и специальным слоем такие, что существует семейство замкнутых вложений${\displaystyle Y}$${\displaystyle C_{X/Y}}$

${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M_{X/Y}^{o}}$

над таким, что${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

1. По любой точке связанные вложения являются вложением${\displaystyle t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}}$${\displaystyle X\times \{t\}\hookrightarrow Y}$
2. Слой над - это вложение, заданное нулевым сечением.${\displaystyle 0\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X\hookrightarrow C_{X/Y}}$

Эта конструкция определяет инструмент, аналогичный дифференциальной топологии, где непересеченные пересечения выполняются в трубчатой ​​окрестности пересечения. Теперь пересечение с циклом in может быть дано как прямое движение пересечения с откатом in .${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle C_{X/Y}}$

Строительство

Одно из применений этого - определение произведений пересечений в кольце Чоу . Предположим , что X и V являются замкнутые подсхемы Y с пересечением W , и мы хотим определить пересечение произведение X и V в кольце Чжоу Y . Деформация к нормальному конусу в этом случае означает, что мы заменяем вложения X и W в Y и V их нормальными конусами C _Y ( X ) и C _W ( V), Так что мы хотим , чтобы найти произведение X и C _W V в C _X Y . Это может быть гораздо проще: например, если Х является регулярно вложен в Y , то его нормальный конус является векторным расслоением, поэтому мы сводимся к задаче о нахождении пересечения продукта подсхемы С _Ш V векторного расслоения C _X Y с нулевого сечения X . Однако это пересечение продукт только что, применяя изоморфизм Гизина к C _W V .

Конкретно, деформация нормального конуса может быть построена с помощью раздува. Именно пусть

${\displaystyle \pi :M\to Y\times \mathbb {P} ^{1}}$

быть взрывом вместе . Исключительный дивизор есть проективное пополнение нормального конуса; для обозначений, используемых здесь, см. cone # Properties . Нормальный конус является открытой подсхемой и вложен как нулевое сечение в .${\displaystyle Y\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)}$${\displaystyle C_{X}Y}$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{X}Y}$

Теперь отметим:

Пункт 1. ясен (проверить отсутствие кручения). В общем, учитывая , что имеем . Поскольку это уже эффективный дивизор Картье на , получаем${\displaystyle X\subset Y}$${\displaystyle \operatorname {Bl} _{V}X\subset \operatorname {Bl} _{V}Y}$${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M}$,

уступчивый . Пункт 3. следует из того факта, что отображение продувки π является изоморфизмом вне центра . Последние два элемента видны из явных локальных вычислений.${\displaystyle {\widetilde {i}}}$${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle \square }$

Теперь последний пункт в предыдущем абзаце подразумевает, что изображение в M не пересекается . Таким образом, мы получаем деформацию i до вложения X нулевого сечения в нормальный конус.${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$

Внутренний нормальный конус

Внутренняя нормальная связка

Пусть - стек Делиня – Мамфорда локально конечного типа над полем . Если обозначает кокасательный комплекс из X относительно , то внутреннее нормальное расслоение ^{[8] стр 27} , чтобы это стек фактор${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}:=h^{1}/h^{0}({\textbf {L}}_{X,{\text{fppf}}}^{\vee })}$

который является стеком fppf - торсоров на . Конкретную интерпретацию этого коэффициента стека можно дать, посмотрев на его поведение локально в этальных топосах стека .${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,0}}$${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,1}}$${\displaystyle X}$

Свойства внутреннего нормального пучка

Более конкретно, предположим, что существует этальный морфизм из аффинной -схемы конечного типа вместе с локально замкнутым погружением в гладкую аффинную -схему конечного типа . Тогда можно показать${\displaystyle U\to X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}|_{U}=[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$

это означает, что мы можем понимать внутреннюю нормальную связку как стековое воплощение отказа нормальной последовательности

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{U}\to {\mathcal {T}}_{M}|_{U}\to {\mathcal {N}}_{U/M}}$

а точнее с правой стороны. Более того, для особых случаев, обсуждаемых ниже, мы теперь рассматриваем фактор как продолжение предыдущей последовательности как треугольник в некоторой триангулированной категории. Это связано с тем, что локальный коэффициент стека можно интерпретировать как${\displaystyle [N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$

${\displaystyle B{\mathcal {T}}_{U}={\mathcal {T}}_{U}[+1]}$

в определенных случаях.

Нормальный конус

Характеристический нормальный конус к , обозначенный как ^{[8] стр 29} , затем определяются путем замены нормального расслоения с нормальным конусом ; т.е.${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}}$${\displaystyle N_{U/M}}$${\displaystyle C_{U/M}}$

${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}|_{U}=[C_{U/M}/f^{*}T_{M}].}$

Пример : есть локальное полное пересечение тогда и только тогда, когда . В частности, если это гладкое , то есть стек классифицируя касательное расслоение , которое является коммутативной групповой схемой над .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}}$${\displaystyle T_{X}}$${\displaystyle X}$

В более общем смысле, let - это морфизм типа Делиня-Мамфорда (DM-тип) стэков Артина, который локально имеет конечный тип. Затем описывается как замкнутый подстак, такой, что для любой этальной карты, для которой учитывается некоторая гладкая карта (например, ), откат будет:${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}\subseteq {\mathfrak {N}}_{X/Y}}$${\displaystyle U\to X}$${\displaystyle U\to X\to Y}$${\displaystyle M\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y}$

${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}|_{U}=[C_{U/M}/T_{M/Y}|_{U}].}$

Смотрите также

• Класс Сегре
• Остаточное пересечение
• Виртуальный фундаментальный класс

Примечания

использованная литература

• Behrend, K .; Фантечи, Б. (1997-03-01). «Внутренний нормальный конус» . Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. DOI : 10.1007 / s002220050136 . ISSN  0020-9910 .
• Фултон, Уильям (1998), теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR  1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157

Внешние ссылки

• Волокна нормального конуса