В алгебраической геометрии при морфизме схем , То диагональный морфизм
является морфизмом, определяемым универсальным свойством волокнистого продукта из р и р применительно к идентичности и личность .
Это частный случай морфизма графов : данный морфизмнад S , его морфизм графа индуцированный и личность . Диагональное вложение - это морфизм графа.
По определению X - отделимая схема над S (- отделимый морфизм ), если диагональный морфизм является замкнутым погружением . Также морфизмлокально конечного представления является неразветвленным морфизмом тогда и только тогда, когда диагональное вложение является открытым погружением.
Объяснение
В качестве примера рассмотрим алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем k иструктурная карта. Затем, отождествляя X с множеством его k -рациональных точек, а также дается как ; отсюда и название диагональный морфизм.
Раздельный морфизм
Отделен морфизм является морфизмомтаким образом, что волокна продукт из с собой вместе имеет свою диагональ как замкнутую подсхему - другими словами, диагональный морфизм - это замкнутое погружение .
Как следствие, схема будет отделен , когда диагоналив схеме продукта изсам с собой - это закрытое погружение. Подчеркивая относительную точку зрения, можно было бы эквивалентным образом определить схему, которая должна быть разделена, если уникальный морфизм отделен.
Обратите внимание , что топологическое пространство Y является Хаусдорф тогда и только тогда диагонального вложения
закрыто. В алгебраической геометрии указанная выше формулировка используется потому, что схема, которая является хаусдорфовым пространством, обязательно пуста или нульмерна. Разница между топологическим и алгебро-геометрическим контекстом проистекает из топологической структуры расслоенного продукта (в категории схем)., которое отличается от произведения топологических пространств.
Любая аффинная схема Spec A отделима, поскольку диагональ соответствует сюръективному отображению колец (следовательно, является замкнутым погружением схем):
- .
Позволять - схема, полученная путем идентификации двух аффинных линий через карту идентичности, за исключением исходных точек (см. схему склеивания # Примеры ). Это не разделено. [1] Действительно, образ диагонального морфизма image имеет два начала, а его закрытие содержит четыре начала.
Использование в теории пересечений
Классический способ определения пересечения продукта из алгебраических циклов на гладком многообразии X пересекая (ограничивая) их декартово произведение с диагональю (на): точно,
где - откат по диагональному вложению .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Хартсхорн 1977 , пример 4.0.1.
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157