Касательное пространство Зарисского

В алгебраической геометрии , то касательное пространство Зарискому представляет собой конструкцию , которая определяет касательное пространство в точке Р на алгебраическом многообразии V (и в более широком смысле ). Он не использует дифференциальное исчисление , поскольку основан непосредственно на абстрактной алгебре , а в самых конкретных случаях - только на теории системы линейных уравнений .

Мотивация [ править ]

Например, предположим, что задана плоская кривая C, заданная полиномиальным уравнением

F (X, Y) = 0

и возьмем P за начало координат (0,0). Удаление членов более высокого порядка, чем 1, приведет к чтению «линеаризованного» уравнения.

L (X, Y) = 0

в котором все члены X ^a Y ^b были отброшены, если a + b> 1 .

У нас есть два случая: L может быть 0 или это может быть уравнение прямой. В первом случае касательное пространство (Зарисского) к C в точке (0,0) - это вся плоскость, рассматриваемая как двумерное аффинное пространство . Во втором случае касательное пространство - это линия, рассматриваемая как аффинное пространство. (Вопрос о происхождении возникает, когда мы берем P как общую точку на C ; лучше сказать «аффинное пространство» и затем отметить, что P является естественным источником, чем прямо утверждать, что это векторное пространство . )

Легко видеть , что над полем действительных чисел можно получить L в терминах первых частных производных от F . Когда они оба равны 0 в P , у нас есть особая точка ( двойная точка , куспид или что-то более сложное). Общее определение является то , что особые точки из C являются случаи , когда касательное пространство имеет размерность 2.

Определение [ править ]

Кокасательное пространство из локального кольца R с максимальным идеалом определяется как${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} / {\ mathfrak {m}} ^ {2}}$

где ² дается произведением идеалов . Это векторное пространство над полем вычетов k: = R / . Его двойные (как K -векторного пространство) называются касательное пространство из R . ^[1]${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

Это определение является обобщением приведенного выше примера на более высокие размеры: пусть дан аффинное алгебраическое многообразие V и точку V из V . С моральной точки зрения , изменение ² соответствует удалению нелинейных членов из уравнений, определяющих V внутри некоторого аффинного пространства, тем самым давая систему линейных уравнений, определяющих касательное пространство.${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

Касательное пространство и кокасательное пространство к схеме X в точке P является (ко) касательным пространством схемы . Из-за функториальности Spec естественное фактор-отображение индуцирует гомоморфизм для X = Spec ( R ), P - точки в Y = Spec ( R / I ). Это используется для встраивания в . ^[2] Поскольку морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Тогда морфизм k кокасательных пространств индуцируется g${\displaystyle T_{P}(X)}$${\displaystyle T_{P}^{*}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,P}}$${\displaystyle f:R\rightarrow R/I}$${\displaystyle g:{\mathcal {O}}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow {\mathcal {O}}_{Y,P}}$${\displaystyle T_{P}(Y)}$${\displaystyle T_{f^{-1}P}(X)}$, данный

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{P}/{\mathfrak {m}}_{P}^{2}}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/I)/(({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)/I)}$

${\displaystyle \cong {\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2}+I)}$

${\displaystyle \cong ({\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}/{\mathfrak {m}}_{f^{-1}P}^{2})/\mathrm {Ker} (k).}$

Так как это сюръекция, транспонирование - это инъекция.${\displaystyle k^{*}:T_{P}(Y)\rightarrow T_{f^{-1}P}(X)}$

( Касательное и кокасательное пространства многообразия часто определяют аналогичным образом.)

Аналитические функции [ править ]

Если V - подмногообразие n -мерного векторного пространства, заданное идеалом I , то R = F _n / I , где F _n - кольцо гладких / аналитических / голоморфных функций на этом векторном пространстве. Касательное пространство Зарисского в точке x есть

m _n / (I + m _n ² ),

где m _n - максимальный идеал, состоящий из функций из F _n, равных нулю в x .

В приведенном выше плоском примере I = ⟨F⟩ , а I + m ² = <L> + m ² .

Свойства [ править ]

Если R является нетерово локальным кольцом, размерность касательного пространства является , по меньшей мере размерностью из R :

дим м / м ² ≧ дим R

R называется регулярным, если выполняется равенство. Говоря более геометрическим языком, когда R - локальное кольцо многообразия V в v , также говорят, что v - регулярная точка. В противном случае это называется особой точкой .

Касательное пространство имеет интерпретацию в терминах гомоморфизмов к дуальным числам для K ,

К [т] / т ² :

на языке схем , морфизмы Spec K [t] / t ² схемы X над K соответствуют выбору рациональной точки x ∈ X (k) и элемента касательного пространства в точке x . ^[3] Поэтому говорят также о касательных векторах . См. Также: касательное пространство к функтору .

См. Также [ править ]

• Касательный конус
• Джет (математика)

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту  0463157
• Дэвид Эйзенбуд ; Джо Харрис (1998). Геометрия схем . Springer-Verlag . ISBN 0-387-98637-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Касательное пространство Зарисского . В.И. Данилов (составитель), Математическая энциклопедия.