Делитель нуля
В абстрактной алгебре элемент a кольца R называется левым делителем нуля , если существует ненулевой x в R , такой что ax = 0 , [1] или, что то же самое, если отображение из R в R , которое переводит x в ax , не равно инъективный . [a] Аналогично, элемент a кольца называется правым делителем нуля , если существует ненулевой y в R такой, что я = 0 . Это частный случай делимости в кольцах. Элемент, который является левым или правым делителем нуля, просто называется делителем нуля . [2] Элемент a , являющийся и левым, и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (отличный от нуля x , такой что ax = 0 , может отличаться от ненулевого y , такого что ya = 0 ). Если кольцо коммутативно , то левый и правый делители нуля совпадают.
Элемент кольца, не являющийся левым делителем нуля, называется регулярным слева или сократимым слева . Точно так же элемент кольца, не являющийся делителем нуля справа, называется регулярным справа или сократимым справа . Элемент кольца, который сократим слева и справа и, следовательно, не является делителем нуля, называется регулярным или сократимым [ 3] или не делителем нуля . Делитель нуля, отличный от нуля, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Ненулевое кольцо, не имеющее нетривиальных делителей нуля, называется областью .
Нет необходимости в отдельном соглашении для случая a = 0 , потому что определение применимо и в этом случае:
Некоторые ссылки включают или исключают 0 в качестве делителя нуля во всех кольцах по соглашению, но тогда они страдают от необходимости вводить исключения в утверждениях, таких как следующие:
Пусть R — коммутативное кольцо, пусть M — R - модуль , и пусть a — элемент кольца R. Говорят, что а является М - регулярным , если отображение «умножение на а » инъективно, и что а является делителем нуля на М в противном случае. [4] Множество M -регулярных элементов является мультипликативным множеством в R . [4]
Специализируя определения « M -регулярный» и «делитель нуля на M » для случая M = R , мы восстанавливаем определения «регулярного» и «делителя нуля», данные ранее в этой статье.