В математике , дифференциал первого рода является традиционный термин , используемый в теории римановых поверхностей ( в более общем случае , комплексные многообразия ) и алгебраических кривых ( в более общем случае , алгебраические многообразия ), для всюду регулярных дифференциальных 1-форм . Для комплексного многообразия M дифференциал первого рода ω - это то же самое, что и 1-форма, всюду голоморфная ; на алгебраическом многообразии V , который несингулярный было бы глобальное сечение из когерентного пучка Ω1 из дифференциалов кэлеровы . В любом случае определение берет свое начало в теории абелевых интегралов .
Размерность пространства дифференциалов первого рода посредством этого отождествления является числом Ходжа
- h 1,0 .
Дифференциалы первого рода при интегрировании по траекториям порождают интегралы, которые обобщают эллиптические интегралы на все кривые над комплексными числами . К ним относятся, например, гиперэллиптические интегралы типа
где Q - многочлен без квадратов любой заданной степени> 4. Допустимая степень k должна быть определена путем анализа возможного полюса в бесконечно удаленной точке на соответствующей гиперэллиптической кривой . Когда это сделано, обнаруживается, что условие
- к ≤ г - 1,
или, другими словами, к более 1 по степени Q 5 или 6, максимум 2 для степени 7 или 8, и так далее (как г = [(1+ град Q ) / 2]).
В общем, как показывает этот пример, для компактной римановой поверхности или алгебраической кривой число Ходжа - это род g . В случае алгебраических поверхностей это величина, классически известная как неоднородность q . Это также, вообще говоря, размерность многообразия Альбанезе , которое заменяет многообразие Якоби .
Дифференциалы второго и третьего рода [ править ]
Традиционная терминология также включала дифференциалы второго и третьего рода . Идея, лежащая в основе этого, была поддержана современными теориями алгебраических дифференциальных форм как со стороны теории Ходжа , так и с помощью морфизмов коммутативных алгебраических групп .
В Вейерштрасса Зета функция называлась интеграл второго рода в эллиптической функции теории; это логарифмическая производная из тэта - функции , и , следовательно , имеет простые полюсы , с целыми остатками. Разложение ( мероморфной ) эллиптической функции на части `` трех видов '' аналогично представлению как (i) константа плюс (ii) линейная комбинация сдвигов дзета-функции Вейерштрасса плюс (iii) функция с произвольными полюсами но никаких остатков на них.
Тот же тип разложения существует в целом, с учетом соответствующих изменений , хотя терминология не полностью соответствует. В теории алгебраических групп ( обобщенного якобиана ) три типа - это абелевы многообразия , алгебраические торы и аффинные пространства , а разложение осуществляется в терминах композиционного ряда .
С другой стороны, мероморфный абелев дифференциал второго рода традиционно был одним с нулевыми вычетами на всех полюсах. Один из третьего - тот, в котором все полюса простые. Доступен многомерный аналог, использующий вычет Пуанкаре .
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- «Абелев дифференциал» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
