Комплексная дифференциальная форма
В математике комплексная дифференциальная форма — это дифференциальная форма на многообразии (обычно комплексное многообразие ), которому разрешено иметь комплексные коэффициенты.
Комплексные формы имеют широкое применение в дифференциальной геометрии . На комплексных многообразиях они являются фундаментальными и служат основой для большей части алгебраической геометрии , геометрии Кэлера и теории Ходжа . Над некомплексными многообразиями они также играют роль в изучении почти комплексных структур , теории спиноров и CR-структур .
Обычно сложные формы рассматриваются из-за некоторой желаемой декомпозиции, которую формы допускают. Например, на комплексном многообразии любая комплексная k -форма может быть однозначно разложена в сумму так называемых ( p , q )-форм : грубо говоря, клиньев из p дифференциалов голоморфных координат с q дифференциалов их комплексно сопряженных. Ансамбль ( p , q )-форм становится примитивным объектом изучения и определяет более тонкую геометрическую структуру на многообразии, чем k -формы. Существуют даже более тонкие структуры, например, в тех случаях, когда применяетсятеория Ходжа .
Предположим, что M — комплексное многообразие комплексной размерности n . Тогда существует локальная система координат , состоящая из n комплекснозначных функций z 1 , ..., z n такая, что переходы координат от одного участка к другому являются голоморфными функциями этих переменных. Пространство сложных форм имеет богатую структуру, в основном зависящую от того факта, что эти функции перехода голоморфны, а не просто гладки .
Начнем со случая одноформ. Сначала разложите комплексные координаты на их действительную и мнимую части: z j = x j + iy j для каждого j . Сдача
Пусть Ω 1,0 — пространство комплексных дифференциальных форм, содержащих только s, и Ω 0,1 — пространство форм, содержащих только s. С помощью уравнений Коши–Римана можно показать , что пространства Ω 1,0 и Ω 0,1 устойчивы относительно голоморфных замен координат. Другими словами, если сделать другой выбор w i голоморфной системы координат, то элементы Ω 1,0 преобразуются тензорно , как и элементы Ω 0,1 . Таким образом, пространства Ω 0,1 и Ω 1,0 определяют комплексные векторные расслоения на комплексном многообразии.
