Остаток Пуанкаре

В математике вычет Пуанкаре представляет собой обобщение на несколько комплексных переменных и комплексную теорию многообразия остатка в полюсе теории комплексных функций . Это лишь одно из множества таких возможных расширений.

Дана гиперповерхность , определяемая полиномом степени и рациональной -формой на с полюсом порядка на , тогда мы можем построить класс когомологий . Если мы восстановим классическую конструкцию остатка.${\ Displaystyle Х \ подмножество \ mathbb {P} ^ {п}}$${\ Displaystyle д}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle п}$${\ Displaystyle \ омега}$${\ Displaystyle \ mathbb {Р} ^ {п}}$${\ Displaystyle к> 0}$${\ Displaystyle Х}$${\ displaystyle \ operatorname {Res} (\ omega) \ in H ^ {n-1} (X; \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle п = 1}$

Историческое строительство

Когда Пуанкаре впервые ввел вычеты ^[1] , он изучал интегралы периодов вида

${\ displaystyle {\ underset {\ Gamma} {\ iint}} \ omega}$за${\ displaystyle \ Gamma \ in H_ {2} (\ mathbb {P} ^ {2} -D)}$

где – рациональная дифференциальная форма с полюсами вдоль дивизора . Он смог свести этот интеграл к интегралу вида${\ Displaystyle \ омега}$${\ Displaystyle D}$

${\displaystyle \int _{\gamma }{\text{Res}}(\omega )}$за${\displaystyle \gamma \in H_{1}(D)}$

где , отсылая к границе твердого тела -трубы по гладкому геометрическому месту дивизора. Если${\displaystyle \Gamma =T(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle D^{*}}$

${\displaystyle \omega ={\frac {q(x,y)dx\wedge dy}{p(x,y)}}}$

на аффинной карте, где неприводимо степени и (поэтому на бесконечно удаленной линии нет полюсов ^{[2] стр. 150} ). Затем он дал формулу для вычисления этого остатка как${\displaystyle p(x,y)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \deg q(x,y)\leq N-3}$

${\displaystyle {\text{Res}}(\omega )=-{\frac {qdx}{\partial p/\partial y}}={\frac {qdy}{\partial p/\partial x}}}$

которые являются когомологическими формами.

Строительство

Предварительное определение

Учитывая установку во введении, пусть будет пространство мероморфных -форм, на которых есть полюсы порядка до . Обратите внимание, что стандартный дифференциал посылает${\displaystyle A_{k}^{p}(X)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle d:A_{k-1}^{p-1}(X)\to A_{k}^{p}(X)}$

Определять

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(X)={\frac {A_{k}^{p}(X)}{dA_{k-1}^{p-1}(X)}}}$

как рациональные группы когомологий де Рама . Они образуют фильтр

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(X)\subset {\mathcal {K}}_{2}(X)\subset \cdots \subset {\mathcal {K}}_{n}(X)=H^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)}$

соответствующий фильтрации Ходжа.

Определение остатка

Рассмотрим -цикл . Возьмем трубку вокруг (локально изоморфную ), лежащую в дополнении к . Поскольку это -цикл, мы можем интегрировать рациональную -форму и получить число. Если мы запишем это как${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \gamma \in H_{n-1}(X;\mathbb {C} )}$${\displaystyle T(\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma \times S^{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \int _{T(-)}\omega :H_{n-1}(X;\mathbb {C} )\to \mathbb {C} }$

тогда мы получаем линейное преобразование классов гомологии. Двойственность гомологий/когомологий подразумевает, что это класс когомологий

${\displaystyle \operatorname {Res} (\omega )\in H^{n-1}(X;\mathbb {C} )}$

который мы называем остатком. Заметьте, что если мы ограничимся случаем , это просто стандартный остаток комплексного анализа (хотя мы расширим нашу мероморфную -форму на все . Это определение можно резюмировать как отображение${\displaystyle n=1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle {\text{Res}}:H^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}\setminus X)\to H^{n}(X)}$

Алгоритм вычисления этого класса

Существует простой рекурсивный метод вычисления остатков, сводящийся к классическому случаю . Напомним, что вычет -формы${\displaystyle n=1}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \operatorname {Res} \left({\frac {dz}{z}}+a\right)=1}$

Если мы рассмотрим карту, содержащую где это исчезающее геометрическое место , мы можем записать мероморфную -форму с полюсом на как${\displaystyle X}$${\displaystyle w}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\frac {dw}{w^{k}}}\wedge \rho }$

Тогда мы можем записать это как

${\displaystyle {\frac {1}{(k-1)}}\left({\frac {d\rho }{w^{k-1}}}+d\left({\frac {\rho }{w^{k-1}}}\right)\right)}$

Это показывает, что два класса когомологий

${\displaystyle \left[{\frac {dw}{w^{k}}}\wedge \rho \right]=\left[{\frac {d\rho }{(k-1)w^{k-1}}}\right]}$

равны. Таким образом, мы уменьшили порядок полюса, поэтому мы можем использовать рекурсию, чтобы получить полюс порядка и определить остаток как${\displaystyle 1}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \operatorname {Res} \left(\alpha \wedge {\frac {dw}{w}}+\beta \right)=\alpha |_{X}}$

Пример

Например, рассмотрим кривую , заданную полиномом${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,z)=t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz}$

Затем мы можем применить предыдущий алгоритм для вычисления остатка

${\displaystyle \omega ={\frac {\Omega }{F_{t}}}={\frac {x\,dy\wedge dz-y\,dx\wedge dz+z\,dx\wedge dy}{t(x^{3}+y^{3}+z^{3})-3xyz}}}$

С

${\displaystyle {\begin{aligned}-z\,dy\wedge \left({\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dz\right)&=z{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx\wedge dy-z{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dy\wedge dz\\y\,dz\wedge \left({\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial F_{t}}{\partial z}}\,dz\right)&=-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}\,dx\wedge dz-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}\,dy\wedge dz\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle 3F_{t}-z{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}-y{\frac {\partial F_{t}}{\partial y}}=x{\frac {\partial F_{t}}{\partial x}}}$

у нас есть это

${\displaystyle \omega ={\frac {y\,dz-z\,dy}{\partial F_{t}/\partial x}}\wedge {\frac {dF_{t}}{F_{t}}}+{\frac {3\,dy\wedge dz}{\partial F_{t}/\partial x}}}$

Это означает, что

${\displaystyle \operatorname {Res} (\omega )={\frac {y\,dz-z\,dy}{\partial F_{t}/\partial x}}}$

Смотрите также

• Остаток Гротендика
• Остаток Лере
• Ботт-остаток
• Пучок логарифмических дифференциальных форм
• особенность нормального пересечения
• Формула присоединения # Остаток Пуанкаре
• Структура Ходжа
• Якобианский идеал

Рекомендации

Вводный

• Пуанкаре и алгебраическая геометрия
• Бесконечно малые вариации структуры Ходжа и глобальная проблема Торелли - страница 7 содержит общую формулу вычисления с использованием когомологий Чеха.

• Введение в остатки и результаты (PDF)
• Остатки высших измерений - Mathoverflow

Передовой

• Николаеску, Ливиу, остатки и теория Ходжа (PDF)
• Шнелл, Кристиан, О вычислении уравнений Пикара-Фукса (PDF)

Рекомендации

• Борис А. Хесин , Роберт Вендт, Геометрия бесконечномерных групп (2008) с. 171
• Вебер, Анджей, Лере Остаток для особых многообразий (PDF)