Эллиптическое уравнение в частных производных

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (PDE) подразделяются на эллиптические , гиперболические или параболические . Любые линейные уравнения в частных производных второго порядка от двух переменных можно записать в виде

${\ displaystyle Au_ {xx} + 2Bu_ {xy} + Cu_ {yy} + Du_ {x} + Eu_ {y} + Fu + G = 0, \,}$

где A , B , C , D , E , F и G - функции от x и y и где , и аналогично для . УЧП, записанное в таком виде, будет эллиптическим, если${\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {\ partial u} {\ partial x}}}$${\displaystyle u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}}$${\displaystyle u_{xx},u_{y},u_{yy}}$

${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$

с этим соглашением об именах, вдохновленным уравнением для плоского эллипса .

Простейшие нетривиальные примерами эллиптических уравнений в частных производных являются уравнением Лапласа , и уравнение Пуассона , в некотором смысле, любой другой эллиптический PDE в двух переменных можно рассматривать как обобщение одного из этих уравнений, так как она всегда может быть введена в каноническая форма${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0}$${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=f(x,y).}$

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

через замену переменных. ^{[1] [2]}

Качественное поведение [ править ]

Эллиптические уравнения не имеют вещественных характеристических кривых , кривых, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную из условий задачи Коши . ^[1] Поскольку характеристические кривые - единственные кривые, вдоль которых решения уравнений в частных производных с гладкими параметрами могут иметь разрывные производные, решения эллиптических уравнений не могут иметь разрывных производных где-либо. Это означает, что эллиптические уравнения хорошо подходят для описания состояний равновесия, в которых любые разрывы уже сглажены. Например, мы можем получить уравнение Лапласа из уравнения теплопроводности , задав${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{t}=\Delta u}$${\displaystyle u_{t}=0}$. Это означает, что уравнение Лапласа описывает стационарное состояние уравнения теплопроводности. ^[2]

В параболических и гиперболических уравнениях характеристики описывают линии, по которым перемещается информация о начальных данных. Поскольку эллиптические уравнения не имеют реальных характеристических кривых, нет смысла в распространении информации для эллиптических уравнений. Это делает эллиптические уравнения более подходящими для описания статических, а не динамических процессов. ^[2]

Вывод канонической формы [ править ]

Выведем каноническую форму для эллиптических уравнений с двумя переменными .${\displaystyle u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}+{\text{ (lower-order terms)}}=0}$

${\displaystyle \xi =\xi (x,y)}$и .${\displaystyle \eta =\eta (x,y)}$

Если однократное применение цепного правила дает${\displaystyle u(\xi ,\eta )=u[\xi (x,y),\eta (x,y)]}$

${\displaystyle u_{x}=u_{\xi }\xi _{x}+u_{\eta }\eta _{x}}$и ,${\displaystyle u_{y}=u_{\xi }\xi _{y}+u_{\eta }\eta _{y}}$

второе приложение дает

${\displaystyle u_{xx}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{x}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{x}+2u_{\xi \eta }\xi _{x}\eta _{x}+u_{\xi }\xi _{xx}+u_{\eta }\eta _{xx},}$

${\displaystyle u_{yy}=u_{\xi \xi }{\xi ^{2}}_{y}+u_{\eta \eta }{\eta ^{2}}_{y}+2u_{\xi \eta }\xi _{y}\eta _{y}+u_{\xi }\xi _{yy}+u_{\eta }\eta _{yy},}$ а также

${\displaystyle u_{xy}=u_{\xi \xi }\xi _{x}\xi _{y}+u_{\eta \eta }\eta _{x}\eta _{y}+u_{\xi \eta }(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+u_{\xi }\xi _{xy}+u_{\eta }\eta _{xy}.}$

Мы можем заменить наши УЧП в x и y эквивалентным уравнением в и${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle au_{\xi \xi }+2bu_{\xi \eta }+cu_{\eta \eta }{\text{ + (lower-order terms)}}=0,\,}$

где

${\displaystyle a=A{\xi _{x}}^{2}+2B\xi _{x}\xi _{y}+C{\xi _{y}}^{2},}$

${\displaystyle b=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$ а также

${\displaystyle c=A{\eta _{x}}^{2}+2B\eta _{x}\eta _{y}+C{\eta _{y}}^{2}.}$

Чтобы преобразовать наши PDE в желаемую каноническую форму, мы ищем и такие, что и . Это дает нам систему уравнений${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle a=c}$${\displaystyle b=0}$

${\displaystyle a-c=A({\xi _{x}}^{2}-{\eta _{x}}^{2})+2B(\xi _{x}\xi _{y}-\eta _{x}\eta _{y})+C({\xi _{y}}^{2}-{\eta _{y}}^{2})=0}$

${\displaystyle b=0=2A\xi _{x}\eta _{x}+2B(\xi _{x}\eta _{y}+\xi _{y}\eta _{x})+2C\xi _{y}\eta _{y},}$

Складывая второе уравнение с первым, получаем квадратное уравнение${\displaystyle i}$${\displaystyle \phi =\xi +i\eta }$

${\displaystyle A{\phi _{x}}^{2}+2B\phi _{x}\phi _{y}+C{\phi _{y}}^{2}=0.}$

Поскольку дискриминант , это уравнение имеет два различных решения:${\displaystyle B^{2}-AC<0}$

${\displaystyle {\phi _{x}},{\phi _{y}}={\frac {B\pm i{\sqrt {AC-B^{2}}}}{A}}}$

которые являются комплексно сопряженными. Выбор либо решение, мы можем решить для , и восстанавливать и с преобразованиями и . Поскольку и будет удовлетворять и , поэтому при замене переменных с x и y на и преобразует PDE${\displaystyle \phi (x,y)}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \xi =\operatorname {Re} \phi }$${\displaystyle \eta =\operatorname {Im} \phi }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle a-c=0}$${\displaystyle b=0}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,\,}$

в каноническую форму

${\displaystyle u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+{\text{ (lower-order terms)}}=0,}$

по желанию.

В высших измерениях [ править ]

Общее уравнение в частных производных второго порядка от n переменных принимает вид

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;{\text{ + (lower-order terms)}}=0.}$

Это уравнение считается эллиптическим, если нет характеристических поверхностей, т. Е. Поверхностей, вдоль которых невозможно исключить хотя бы одну вторую производную от u из условий задачи Коши . ^[1]

В отличие от двумерного случая это уравнение, вообще говоря, не может быть приведено к простой канонической форме. ^[2]

См. Также [ править ]

• Эллиптический оператор
• Гиперболическое уравнение в частных производных
• Параболическое уравнение в частных производных
• PDE второго порядка (для более полного обсуждения)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Эллиптическое уравнение в частных производных" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• "Эллиптическое уравнение в частных производных, численные методы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Эллиптическое уравнение с частными производными" . MathWorld .