Слабые формулировки являются важными инструментами для анализа математических уравнений , допускающих передачу понятий о линейной алгебры для решения проблем в других областях , таких как дифференциальных уравнений с частными . В слабой формулировке уравнения или условия больше не должны выполняться абсолютно (и это даже не определено четко), а вместо этого имеют слабые решения только в отношении определенных «тестовых векторов» или « тестовых функций ». В формулировке Стронга пространство решений строится таким образом, что эти уравнения или условия уже выполняются.
Мы вводим слабые формулировки на нескольких примерах и представляем основную теорему для решения - теорему Лакса – Милграма . Теорема названа в честь Питера Лакса и Артура Милграма , которые доказали ее в 1954 году.
Общая концепцияПозволять
быть банаховым пространством . Мы хотим найти решение
уравнения
,
где
а также
, с участием
будучи два из
.
Это эквивалентно нахождению
такое, что для всех
держит:
.
Здесь мы называем
тестовый вектор или тестовая функция.
Мы приводим это в общую форму слабой формулировки, а именно, находим
такой, что
![a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
путем определения билинейной формы
![a(u,v):=[Au](v).](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку это очень абстрактно, давайте рассмотрим несколько примеров.
Пример 1: линейная система уравненийТеперь позвольте
а также
- линейное отображение. Тогда слабая формулировка уравнения
![Au=f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
включает поиск
такое, что для всех
имеет место следующее уравнение:
![{\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
обозначает внутренний продукт.
С
является линейным отображением, достаточно проверить с базисными векторами, и мы получаем
![{\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle \quad i=1,\ldots ,n.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Собственно, расширяясь
, получаем матричную форму уравнения
![{\mathbf A}{\mathbf u}={\mathbf f},](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
а также
.
Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, есть
![a(u,v)={\mathbf v}^{T}{\mathbf A}{\mathbf u}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пример 2: уравнение ПуассонаНаша цель - решить уравнение Пуассона
![{\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
на домене
с участием
на его границе, и мы хотим указать пространство решений
позже. Мы будем использовать
-скалярный продукт
![\langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
чтобы вывести нашу слабую формулировку. Затем тестирование с дифференцируемыми функциями
, мы получили
![-\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мы можем сделать левую часть этого уравнения более симметричной, интегрировав по частям, используя тождество Грина и предполагая, что
на
:
![\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это то, что обычно называют слабой формулировкой уравнения Пуассона . Нам еще предстоит указать пробел
в котором нужно найти решение, но как минимум он должен позволять нам записать это уравнение. Поэтому мы требуем, чтобы функции в
равны нулю на границе и имеют интегрируемые с квадратом производные. Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является пространство Соболева.
функций со слабыми производными по
и с нулевыми граничными условиями, поэтому положим
Мы получаем общий вид, полагая
![a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
а также
![f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теорема Лакса – Милгрэма.Это формулировка теоремы Лакса – Милграма, основанная на свойствах симметричной части билинейной формы . Это не самая общая форма.
Позволять
- гильбертово пространство и
билинейная форма на
, который
- ограниченный :
а также - принудительный :
![a(u,u)\geq c\|u\|^{2}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда для любого
, есть уникальное решение
к уравнению
![{\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и он держит
![\|u\|\leq {\frac 1c}\|f\|_{{V'}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Применение к примеру 1
Здесь применение теоремы Лакса – Милграма определенно является более сильным результатом, чем необходимо, но мы все же можем использовать его и придать этой задаче ту же структуру, что и другие.
- Ограниченность: все билинейные формы на
ограничены. В частности, у нас есть ![{\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Коэрцитивность: это фактически означает, что действительные части собственных значений
не меньше чем
. Поскольку отсюда, в частности, следует, что никакое собственное значение не равно нулю, система разрешима.
Дополнительно получаем оценку
![{\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
- минимальная действительная часть собственного значения оператора
.
Применение к примеру 2
Здесь, как уже упоминалось выше, мы выбираем
с нормой
![\|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где норма справа - это
-норма на
(это дает истинную норму
по неравенству Пуанкаре ). Но мы видим, что
и по неравенству Коши-Шварца ,
.
Поэтому для любого
, есть уникальное решение
из уравнения Пуассона и мы имеем оценку
![\|\nabla u\|\leq \|f\|_{{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}}.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите такжеРекомендации- Лакс, Питер Д .; Милгрэм, Артур Н. (1954), «Параболические уравнения», Вклад в теорию уравнений в частных производных , Annals of Mathematics Studies, 33 , Princeton, NJ : Princeton University Press , pp. 167–190, doi : 10.1515 / 9781400882182- 010 , Руководство по ремонту 0067317 , Zbl 0058.08703
Внешние ссылки