Проблема круга Гаусса

В математике , то проблема круга Гаусса является проблемой определения , сколько целочисленной решетка точки существует в окружности с центром в начале координат и с радиусом . Это число приблизительно равно площади круга, поэтому настоящая проблема состоит в том, чтобы точно определить член ошибки, описывающий, как количество точек отличается от площади. Первый прогресс в решении этой проблемы был достигнут Карлом Фридрихом Гауссом , отсюда и его название.${\ displaystyle r}$

Проблема [ править ]

Рассмотрим круг внутри с центром в начале координат и радиусом . Задача круга Гаусса спрашивает, сколько точек внутри этого круга формы, где и являются целыми числами. Поскольку уравнение этой окружности задается в декартовых координатах как , вопрос эквивалентен вопросу о том, сколько пар целых чисел m и n существует, таких что${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

Если ответ для заданного обозначен, то в следующем списке показаны первые несколько значений для целого числа от 0 до 12, за которым следует список значений, округленных до ближайшего целого числа:${\displaystyle r}$${\displaystyle N(r)}$${\displaystyle N(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \pi r^{2}}$

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (последовательность A000328 в OEIS )

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (последовательность A075726 в OEIS )

Границы решения и гипотезы [ править ]

${\displaystyle N(r)}$грубо говоря , площадь внутри круга радиуса . Это потому, что в среднем каждый единичный квадрат содержит одну точку решетки. Таким образом, реальное количество точек решетки в круге примерно равно его площади ,. Так что следует ожидать, что${\displaystyle \pi r^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

для некоторого члена ошибки относительно небольшого абсолютного значения. Таким образом, формулировка задачи принимает поиск правильной верхней границы . Обратите внимание, что это не обязательно целое число. После того, как в этих местах появляется, увеличивается на, после чего уменьшается (со скоростью ) до следующего раза.${\displaystyle E(r)}$${\displaystyle \mid E(r)\mid }$${\displaystyle r}$${\displaystyle N(4)=49}$${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$${\displaystyle E(r)}$${\displaystyle 8,4,8,12}$${\displaystyle 2\pi r}$

Гауссу удалось доказать ^[1], что

${\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

Харди ^[2] и, независимо, Ландау нашли оценку снизу, показав, что

${\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

используя небольшую o-нотацию . Предполагается ^[3], что правильная оценка

${\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).}$

Запись , текущие границы на это${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,}$

с нижней оценкой, полученной Харди и Ландау в 1915 г., и верхней оценкой, доказанной Хаксли в 2000 г. ^[4]

Точные формы [ править ]

Значение может быть дано несколькими сериями. В терминах суммы, включающей минимальную функцию, это может быть выражено как: ^[5]${\displaystyle N(r)}$

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

Это следствие теоремы Якоби о двух квадратах, которая почти сразу следует из тройного произведения Якоби . ^[6]

Гораздо более простая сумма появляется, если функция суммы квадратов определяется как количество способов записать число как сумму двух квадратов. Тогда ^[1]${\displaystyle r_{2}(n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

Самый последний прогресс основан на следующей идентичности, которая была впервые обнаружена Харди: ^[7]

${\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}$

где обозначает функцию Бесселя первого рода с порядком 1.${\displaystyle J_{1}}$

Обобщения [ править ]

Хотя исходная задача требует целочисленных точек решетки в круге, нет причин не рассматривать другие формы, например коники ; действительно , проблема делителей Дирихле - это эквивалентная проблема, в которой окружность заменяется прямоугольной гиперболой . ^[3] Точно так же можно расширить вопрос с двух измерений на более высокие измерения и попросить целые точки внутри сферы или других объектов. По этим проблемам существует обширная литература. Если игнорировать геометрию и просто рассматривать проблему как алгебраическую из диофантовых неравенств, тогда можно было бы увеличить показатели, фигурирующие в задаче, с квадратов на кубики или выше.

Проблема примитивного круга [ править ]

Другое обобщение - вычислить количество взаимно простых целочисленных решений неравенства${\displaystyle m,n}$

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,}$

Эта проблема известна как проблема примитивного круга , поскольку она включает поиск примитивных решений исходной проблемы круга. ^[8] Это можно интуитивно понять как вопрос о том, сколько деревьев на расстоянии r видны в саду Евклида , стоящего в начале координат. Если обозначить количество таких решений, то значения для принятия малых целых значений равны ${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle r}$

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192… (последовательность A175341 в OEIS ).

Используя те же идеи, что и обычная проблема круга Гаусс и тот факт , что вероятность того, что два целых числа взаимно просты является , относительно несложно показать , что${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).}$

Как и в случае с обычной проблемой круга, проблемная часть проблемы примитивного круга заключается в уменьшении показателя степени ошибки. В настоящее время наиболее известным является показателем , если один принимает гипотезу Римана . ^[8] Без принятия гипотезы Римана, наиболее известная верхняя граница${\displaystyle 221/304+\varepsilon }$

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))}$

для положительной константы . ^[8] В частности, в настоящее время не известно никаких ограничений на погрешность формы для любого , что не предполагает гипотезу Римана.${\displaystyle c}$${\displaystyle 1-\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon >0}$

Примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Проблема круга Гаусса" . MathWorld .