Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях
В теории чисел теорема Дирихле , также называемая теоремой Дирихле о простых числах, утверждает, что для любых двух положительных взаимно простых целых чисел a и d существует бесконечно много простых чисел формы a + nd , где n также является положительным целым числом. Другими словами, существует бесконечно много простых чисел , конгруэнтных модулю d . Числа вида a + nd образуют арифметическую прогрессию
а теорема Дирихле утверждает, что эта последовательность содержит бесконечно много простых чисел. Теорема, названная в честь Питера Густава Лежена Дирихле , расширяет теорему Евклида о том , что существует бесконечно много простых чисел. Более сильные формы теоремы Дирихле утверждают, что для любой такой арифметической прогрессии сумма обратных простых чисел в прогрессии расходится и что разные такие арифметические прогрессии с одним и тем же модулем имеют примерно одинаковые пропорции простых чисел. Эквивалентно, простые числа равномерно распределены (асимптотически) среди классов конгруэнтности по модулю d , содержащих a, взаимно простое с d .
Последовательности dn + a с нечетным d часто игнорируются, потому что половина чисел четная, а другая половина состоит из тех же чисел, что и последовательность с 2 d , если мы начинаем с n = 0. Например, 6 n + 1 дает те же самые простые числа. как 3 n + 1, а 6 n + 5 дает то же самое, что и 3 n + 2, за исключением единственного четного простого числа 2. В следующей таблице перечислены несколько арифметических прогрессий с бесконечным числом простых чисел и первые несколько единиц в каждом из них.
Поскольку простые числа в среднем уменьшаются в соответствии с теоремой о простых числах , то же самое должно быть верно и для простых чисел в арифметической прогрессии. Естественно задаться вопросом о том, как распределяются простые числа между различными арифметическими прогрессиями для заданного значения d (их, по существу, d , если мы не различаем две прогрессии, имеющие почти все общие члены). Ответ дается в такой форме: количество допустимых прогрессий по модулю d — тех, где a и d не имеют общего делителя > 1, — определяется функцией Эйлера
(все кроме )
По сравнению друг с другом прогрессии с квадратичным невычетом обычно содержат немного больше элементов, чем прогрессии с квадратичным вычетом ( смещение Чебышева ).