Сумматорная функция делителя

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для

{\ displaystyle x <10 ^ {4}}

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для

{\ displaystyle x <10 ^ {7}}

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для , изображенная в виде распределения или гистограммы. Вертикальный масштаб не является постоянным слева направо; нажмите на изображение для подробного описания.

{\ displaystyle x <10 ^ {7}}

В теории чисел , в делителе Сумматорной функцией является функцией , которая является суммой по функции делителей . Это часто встречается при изучении асимптотического поведения дзета-функции Римана . Различные исследования поведения функции делителей иногда называют проблемами делителей .

Определение [ править ]

Сумматорная функция делителей определяется как

{\ displaystyle D (x) = \ sum _ {n \ leq x} d (n) = \ sum _ {j, k \ attop jk \ leq x} 1}

где

d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1

- функция делителя . Функция делителя подсчитывает количество способов, которыми целое число n может быть записано как произведение двух целых чисел. В более общем плане можно определить

D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)

где d _k ( n ) подсчитывает количество способов, которыми n может быть записано как произведение k чисел. Эту величину можно представить как количество точек решетки, отгороженных гиперболической поверхностью в k измерениях. Таким образом, для k = 2 D ( x ) = D ₂ ( x ) подсчитывает количество точек на квадратной решетке, ограниченной слева вертикальной осью, снизу горизонтальной осью и верхней. справа по гиперболе jk = x . Грубо говоря, эту форму можно представить как гиперболический симплекс.. Это позволяет нам предоставить альтернативное выражение для D ( x ) и простой способ вычислить его во времени: $O({\sqrt {x}})$

D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}

, где

u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor

Если гипербола в этом контексте заменяется кругом, то определение значения результирующей функции известно как проблема круга Гаусса .

Последовательность D (n) (последовательность A006218 в OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

Проблема делителей Дирихле [ править ]

Поиск замкнутой формы для этого суммированного выражения, кажется, выходит за рамки доступных методов, но можно дать приближения. Ведущее поведение серии определяется

D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\

где - постоянная Эйлера – Маскерони , а член ошибки равен $\gamma$

\Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).

Здесь обозначает нотацию Big-O . Эта оценка может быть доказана с помощью метода гиперболы Дирихля , и впервые была установлена Дирихлем в 1849. ^[1]^:^37-38,69 проблемы делителей Дирихля , точно указано, чтобы улучшить эту ошибку , связанную, находя наималейшее значение для который $O$ $\theta$

\Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)

верно для всех . На сегодняшний день эта проблема остается нерешенной. Прогресс был медленным. Многие из тех же методов работают для этой задачи и для задачи о круге Гаусса , другой задачи подсчета точек решетки. В разделе F1 « Нерешенные проблемы теории чисел» ^[2] дается обзор того, что известно и что неизвестно об этих проблемах. $\epsilon >0$

В 1904 г. Г. Вороной доказал, что член ошибки можно улучшить до ^[3]^:³⁸¹ $O(x^{1/3}\log x).$
В 1916 году это показал Г. Х. Харди . В частности, он продемонстрировал, что для некоторой константы существуют значения x, для которых и значения x, для которых . ^[1]^:⁶⁹ $\inf \theta \geq 1/4$ $K$ $\Delta (x)>Kx^{1/4}$ $\Delta (x)<-Kx^{1/4}$
В 1922 г. Й. ван дер Корпут улучшил привязку Дирихле к . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 33/100=0.33$
В 1928 г. это доказал Й. ван дер Корпут . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}$
В 1950 году Чжи Цунг-дао и независимо в 1953 году Х.Э. Ричерт доказали это . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...$
В 1969 году это продемонстрировал Григорий Колесник . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}$
В 1973 году это продемонстрировал Григорий Колесник . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...$
В 1982 году это продемонстрировал Григорий Колесник . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}$
В 1988 г. это доказали Х. Иванец и К.Дж. Моззочи . ^[4] $\inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}$
В 2003 году М. Н. Хаксли улучшил это, чтобы показать это . ^[5] $\inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...$

Итак, лежит где-то между 1/4 и 131/416 (приблизительно 0,3149); широко распространено предположение, что оно составляет 1/4. Теоретические данные подтверждают эту гипотезу, поскольку имеет (негауссовское) предельное распределение. ^[6] Значение 1/4 также следует из гипотезы о парах экспонент . ^[7] $\inf \theta$ $\Delta (x)/x^{1/4}$

Проблема делителя Пильца [ править ]

В обобщенном случае

D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,

где - многочлен степени . Используя простые оценки, легко показать, что $P_{k}$ $k-1$

\Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)

для целого числа . Как и в случае, точная нижняя грань границы неизвестна ни для какого значения . Вычисление этой инфимы известно как проблема делителей Пильца по имени немецкого математика Адольфа Пильца (см. Также его страницу на немецком языке). Определение порядка как наименьшего значения, для которого выполняется для любого , дает следующие результаты (обратите внимание, что это результат предыдущего раздела): $k\geq 2$ $k=2$ $k$ $\alpha _{k}$ $\Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)$ $\varepsilon >0$ $\alpha _{2}$ $\theta$

\alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,

^[5]

\alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,

^[8] и^[9]

{\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}

Е.К. Титчмарш предполагает, что $\alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .$

Преобразование Меллина [ править ]

Обе части могут быть выражены как преобразования Меллина :

D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

для . Здесь есть дзета - функция Римана . Точно так же $c>1$ $\zeta (s)$

\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

с . Главный член получается путем сдвига контура мимо двойного полюса на : главный член - это просто вычет по интегральной формуле Коши . В общем, есть $0<c^{\prime }<1$ $D(x)$ $w=1$

D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

и аналогично для , для . $\Delta _{k}(x)$ $k\geq 2$

Заметки [ править ]

^ a b Монтгомери, Хью ; RC Vaughan (2007). Мультипликативная теория чисел I: классическая теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6. CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-0-387-20860-2.
^ Б с д е е г Ивич Aleksandar (2003). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-42813-3.
^ Iwaniec, H .; CJ Mozzochi (1988). «О задачах делителя и окружности». Журнал теории чисел . 29 : 60–93. DOI : 10.1016 / 0022-314X (88) 90093-5 .
^ а б Хаксли, Миннесота (2003). «Экспоненциальные суммы и точки решетки III». Proc. Лондонская математика. Soc . 87 (3): 591–609. DOI : 10.1112 / S0024611503014485 . ISSN 0024-6115 . Zbl 1065.11079 .
Перейти ↑ Heath-Brown, DR (1992). «Распределение и моменты ошибки в задаче делителей Дирихле» . Acta Arithmetica . 60 (4): 389–415. DOI : 10,4064 / аа-60-4-389-415 . ISSN 0065-1036 . S2CID 59450869 . Теорема 1 Функция имеет функцию распределения
^ Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. 84 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 59. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 .
^ Г. Колесник. Об оценке кратных экспоненциальных сумм, в «Недавнем прогрессе в аналитической теории чисел», Симпозиум Дарем, 1979 г. (Том 1), Academic, Лондон, 1981, стр. 231–246.
^ Александр Ивич. Теория дзета-функции Римана с приложениями (теорема 13.2). Джон Вили и сыновья 1985.

Ссылки [ править ]

Эдвардс , Дзета-функция Римана , (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
Е. К. Титчмарш, Теория дзета-функции Римана , (1951) Оксфорд, издательство Clarendon Press, Оксфорд. (См. Главу 12 для обсуждения обобщенной проблемы делителей)
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001 (Дает вводную постановку проблемы делителей Дирихле.)
Он поднялся. Курс теории чисел. , Оксфорд, 1988.
М. Н. Хаксли (2003) «Экспоненциальные суммы и точки решетки III», Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 87: 591–609

[Montgomery_Vaughan-1] Монтгомери, Хью ; RC Vaughan (2007). Мультипликативная теория чисел I: классическая теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[UPINT-2] Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-0-387-20860-2.

[Ivic-3] Б с д е е г Ивич Aleksandar (2003). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-42813-3.

[4] Iwaniec, H .; CJ Mozzochi (1988). «О задачах делителя и окружности». Журнал теории чисел . 29 : 60–93. DOI : 10.1016 / 0022-314X (88) 90093-5 .

[Huxley-5] а б Хаксли, Миннесота (2003). «Экспоненциальные суммы и точки решетки III». Proc. Лондонская математика. Soc . 87 (3): 591–609. DOI : 10.1112 / S0024611503014485 . ISSN 0024-6115 . Zbl 1065.11079 .

[6] Перейти ↑ Heath-Brown, DR (1992). «Распределение и моменты ошибки в задаче делителей Дирихле» . Acta Arithmetica . 60 (4): 389–415. DOI : 10,4064 / аа-60-4-389-415 . ISSN 0065-1036 . S2CID 59450869 . Теорема 1 Функция имеет функцию распределения

[Mon59-7] Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. 84 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 59. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 .

[8] Г. Колесник. Об оценке кратных экспоненциальных сумм, в «Недавнем прогрессе в аналитической теории чисел», Симпозиум Дарем, 1979 г. (Том 1), Academic, Лондон, 1981, стр. 231–246.

[9] Александр Ивич. Теория дзета-функции Римана с приложениями (теорема 13.2). Джон Вили и сыновья 1985.

[1]