В математике , фундаментальный дискриминант D представляет собой целое число инвариант в теории интегральных бинарных квадратичных форм . Если Q ( х , у ) = ах 2 + Ъху + су 2 представляет собой квадратичную форму с целыми коэффициентами, то D = B 2 - 4 переменного тока является дискриминант из Q ( х , у ). Наоборот, любое целое число D такое, что D≡ 0, 1 (mod 4) - дискриминант некоторой двоичной квадратичной формы с целыми коэффициентами. Таким образом, все такие целые числа в этой теории называются дискриминантами .
Существуют явные условия конгруэнтности, которые задают набор фундаментальных дискриминантов. В частности, D является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений
- D ≡ 1 (mod 4) и не содержит квадратов ,
- D = 4 м , где m 2 или 3 (mod 4) и m не содержит квадратов.
Первые десять положительных фундаментальных дискриминантов:
Первые десять отрицательных фундаментальных дискриминантов:
Связь с квадратичными полями [ править ]
Существует связь между теорией целочисленных бинарных квадратичных форм и арифметикой полей квадратичных чисел . Основное свойство этой связи состоит в том, что D 0 является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда D 0 = 1 или D 0 является дискриминантом поля квадратичных чисел. Для каждого фундаментального дискриминанта D 0 ≠ 1 с точностью до изоморфизма существует ровно одно квадратичное поле .
Внимание : это причина, по которой некоторые авторы считают 1 не фундаментальным дискриминантом. Можно интерпретировать D 0 = 1 как вырожденное «квадратичное» поле Q ( рациональные числа ).
Факторизация [ править ]
Фундаментальные дискриминанты также могут быть охарактеризованы их факторизацией на положительные и отрицательные простые степени . Определить набор
где простые числа 1 (mod 4) положительны, а 3 (mod 4) отрицательны. Тогда число D 0 ≠ 1 является фундаментальным дискриминант , если, и только если, это произведение попарно взаимно простых членов S .
Ссылки [ править ]
- Анри Коэн (1993). Курс вычислительной алгебраической теории чисел . Тексты для выпускников по математике. 138 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-55640-0. Руководство по ремонту 1228206 .
- Дункан Бьюэлл (1989). Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления . Springer-Verlag . п. 69 . ISBN 0-387-97037-1.
- Дон Загир (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-10603-6.
См. Также [ править ]
- Квадратичное целое число
