Геодезические на эллипсоиде

Геодезия
Основы Геодезия Геодинамика Геоматика История
Концепции Географическое расстояние Геоид Фигура Земли ( радиус Земли и окружность Земли ) Геодезические данные Геодезический Географическая система координат Горизонтальное представление положения Широта  / Долгота Проекция карты Справочный эллипсоид Спутниковая геодезия Система пространственной привязки Пространственные отношения
Технологии Global Nav. Сидел. Системы (ГНСС) Global Pos. Система (GPS) ГЛОНАСС (Россия) BeiDou (BDS) (Китай) Галилео (Европа) NAVIC (Индия) Квази-Зенит Сб. Sys. (QZSS) (Япония) Дискретная глобальная сетка и геокодирование
Стандарты (история) НГВД 29 Датум уровня моря 1929 г. OSGB36 Обзор боеприпасов Великобритании, 1936 г. СК-42 Система Координат 1942 года ED50 Европейский датум 1950 г. SAD69 Южноамериканский датум 1969 г. GRS 80 Геодезическая справочная система 1980 г. ISO 6709 Координаты географической точки. 1983 г. NAD 83 Североамериканский датум 1983 г. WGS 84 Мировая геодезическая система 1984 НАВД 88 Северная Америка, вертикальная система отсчета 1988 г. ETRS89 Европейское наземное вещание Ref. Sys. 1989 г. GCJ-02 Китайские запутанные данные 2002 г. Географический URI Интернет-ссылка на точку 2010 Международная наземная система отсчета Идентификатор системы пространственной привязки (SRID) Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM)
v т е

Изучение геодезических на эллипсоиде возникло в связи с геодезией, а именно с решением триангуляционных сетей . Фигура Земли хорошо аппроксимируется сплюснутого эллипсоида , слегка сплюснутой сферы. Геодезическим кратчайший путь между двумя точками на кривой поверхности, аналогична прямой линии на плоской поверхности. Таким образом, решение триангуляционной сети на эллипсоиде представляет собой набор упражнений по сфероидальной тригонометрии ( Эйлер 1755 ).

Если рассматривать Землю как сферу , геодезические - это большие круги (все из которых замкнуты), а проблемы сводятся к сферической тригонометрии . Однако Ньютон (1687) показал, что эффект вращения Земли приводит к тому, что она напоминает слегка сплюснутый эллипсоид: в этом случае экватор и меридианы являются единственными простыми замкнутыми геодезическими. Более того, кратчайший путь между двумя точками на экваторе не обязательно проходит вдоль экватора. Наконец, если эллипсоид далее возмущается, чтобы стать трехосным эллипсоидом (с тремя различными полуосями), только три геодезические замкнуты.

Геодезические на эллипсоиде вращения [ править ]

Есть несколько способов определения геодезических ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , стр. 220–221). Простое определение - это кратчайший путь между двумя точками на поверхности. Однако часто бывает полезнее определять их как пути с нулевой геодезической кривизной, т. Е. Аналог прямых линийна изогнутой поверхности. Это определение включает геодезические, перемещающиеся по поверхности эллипсоида так далеко, что они начинают возвращаться к начальной точке, так что другие маршруты являются более прямыми и включают пути, которые пересекаются или пересекаются заново. Достаточно короткие сегменты геодезических по-прежнему являются кратчайшим путем между их конечными точками, но геодезические не обязательно являются минимальными в глобальном масштабе (т. Е. Самыми короткими среди всех возможных путей). Каждый кратчайший в мире путь является геодезическим, но не наоборот.

К концу 18 века эллипсоид вращения ( также используется термин сфероид ) был общепринятым приближением к фигуре Земли . Настройка триангуляционных сетей повлекла за собой сокращение всех измерений до эталонного эллипсоида и решение полученной двумерной задачи в качестве упражнения по сфероидальной тригонометрии ( Бомфорд, 1952 , глава 3) ( Лейк и др., 2015 , §4.5).

Можно свести различные геодезические задачи к одному из двух типов. Рассмотрим две точки: A на широте φ ₁ и долготе λ ₁ и B на широте φ ₂ и долготе λ ₂ (см. Рис. 1). Соединительная геодезическая (от A до B ) - это AB длиной s ₁₂ , имеющая азимуты α ₁ и α ₂ на двух концах. ^[1] Обычно рассматриваются две геодезические задачи:

1. прямая геодезическая проблема или первая геодезическая проблема , учитывая , α ₁ , и ев ₁₂ , определяют B и α ₂ ;
2. обратная геодезическая проблема или вторая геодезическая проблема , учитывая и Б , определяет с ₁₂ , α ₁ , и & alpha ; ₂ .

Как видно из рис. 1, эти задачи включают решение треугольника NAB с одним углом, α ₁ для прямой задачи и λ ₁₂ = λ ₂ - λ ₁ для обратной задачи, и двух его смежных сторон. Для сферы решения этих задач представляют собой простые упражнения по сферической тригонометрии , решение которых дается формулами для решения сферического треугольника . (См. Статью о навигации по большому кругу .)

Для эллипсоида вращения характеристическая постоянная, определяющая геодезическую, была найдена Клеро (1735) . Систематическое решение путей геодезических было дано Лежандром (1806 г.) и Ориани (1806 г.) (и последующими статьями 1808 и 1810 гг. ). Полное решение прямой задачи (вместе с вычислительными таблицами и разработанным примером) дает Бессель (1825) .

В течение 18 века геодезические обычно назывались «кратчайшими линиями». Термин «геодезическая линия» был введен Лапласом (1799b) :

Nous désignerons cette ligne sous le nom de ligne géodésique [Мы будем называть эту линию геодезической линией ].

Эта терминология была введена в английский язык как «геодезическая линия» или как «геодезическая линия», например ( Hutton 1811 ),

Линия, начерченная так, как мы сейчас описываем, или выведенная из тригонометрических мер указанными способами, называется геодезической или геодезической линией: она имеет свойство быть самой короткой, которую можно провести между двумя ее концами на поверхность Земли; и, следовательно, это правильная маршрутная мера расстояния между этими двумя точками.

В других областях предпочтение было отдано геодезической линии , часто сокращаемой до геодезической .

В этом разделе рассматривается проблема эллипсоида вращения (как сжатого, так и вытянутого). Задача о трехосном эллипсоиде рассматривается в следующем разделе.

Уравнения геодезической [ править ]

Здесь разрабатываются уравнения геодезической; вывод полностью следует выводам Бесселя (1825 г.) . Джордан и Эггерт (1941) , Багратуни (1962 , §15), Ганьшин (1967 , глава 5), Краковски и Томсон (1974 , §4), Рапп (1993 , §1.2 ), Джекели (2012) и Borre & Strang (2012) также предоставляют выводы этих уравнений.

Рассмотрим эллипсоид вращения с экваториальным радиусом a и полярной полуосью b . Определите уплощение f = ( a - b ) / a , эксцентриситет e = √ a ² - b ² / a = √ f (2 - f ) и второй эксцентриситет e ′ = √ a ² - b ² / b = е / (1 - е ). (В большинстве приложений в геодезии эллипсоид считается сжатым, a > b ; однако теория без изменений применяется к вытянутым эллипсоидам, a < b , и в этом случае f , e ² и e ' ² отрицательны.)

Пусть элементарный отрезок пути на эллипсоиде имеет длину ds . Из фиг. 2 и 3, мы видим, что если его азимут равен α , то ds связан с d φ и d λ соотношением

(1)${\ displaystyle {\ color {white}.} \ qquad \ cos \ alpha \, ds = \ rho \, d \ varphi = - {\ frac {dR} {\ sin \ varphi}}, \ quad \ sin \ alpha \, ds = R \, d \ lambda,}$

где ρ - меридиональный радиус кривизны , R = ν cosφ - радиус окружности широты φ , а ν - нормальный радиус кривизны . Таким образом, элементарный сегмент задается формулой

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ rho ^ {2} \, d \ varphi ^ {2} + R ^ {2} \, d \ lambda ^ {2}}$

или же

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\sqrt {\rho ^{2}\varphi '^{2}+R^{2}}}\,d\lambda \\&\equiv L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,\end{aligned}}}$

где φ ′ = d φ / d λ, а функция Лагранжа L зависит от φ через ρ (φ) и R (φ) . Длина произвольного пути между (φ ₁ , λ ₁ ) и (φ ₂ , λ ₂ ) определяется выражением

${\displaystyle s_{12}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}L(\varphi ,\varphi ')\,d\lambda ,}$

где φ является функцией Х , удовлетворяющих φ (λ ₁ ) = φ ₁ и φ (λ ₂ ) = φ ₂ . Кратчайший путь или геодезическая влечет за собой нахождение той функции φ (λ), которая минимизирует s ₁₂ . Это упражнение в вариационном исчислении, и условие минимизации задается тождеством Бельтрами ,

${\displaystyle L-\varphi '{\frac {\partial L}{\partial \varphi '}}={\text{const.}}}$

Подставляя L и используя уравнения. (1) дает

${\displaystyle R\sin \alpha ={\text{const.}}}$

Клеро (1735) нашел эту связь , используя геометрическую конструкцию; аналогичный вывод представлен Люстерником (1964 , § 10). ^[2] Дифференцирование этого отношения дает

${\displaystyle d\alpha =\sin \varphi \,d\lambda .}$

Это вместе с уравнениями. (1), приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для геодезической

${\displaystyle {\color {white}.}\qquad {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos \alpha }{\rho }};\quad {\frac {d\lambda }{ds}}={\frac {\sin \alpha }{\nu \cos \varphi }};\quad {\frac {d\alpha }{ds}}={\frac {\tan \varphi \sin \alpha }{\nu }}.}$

Мы можем выразить R в терминах параметрической широты , р , используя

${\displaystyle R=a\cos \beta ,}$

и отношение Клеро тогда становится

${\displaystyle \sin \alpha _{1}\cos \beta _{1}=\sin \alpha _{2}\cos \beta _{2}.}$

Это синусоидальное правило сферической тригонометрии , относящейся две стороны треугольника NAB , (см 4.) NA = ¹ / ₂ π - β ₁ и NB = ¹ / ₂ π - β ₂ и их противолежащие углы B = π - α ₂ и A = α ₁ .

Чтобы найти соотношение для третьей стороны AB = σ ₁₂ , длины сферической дуги и включенного угла N = ω ₁₂ , сферической долготы , полезно рассмотреть треугольник NEP, представляющий геодезическую, начинающуюся на экваторе; см. рис. 5. На этом рисунке переменные, относящиеся к вспомогательной сфере, показаны с соответствующими величинами для эллипсоида, показанными в скобках. Величины без индексов относятся к произвольной точке P ; E , точка, в которой геодезическая пересекает экватор в северном направлении, используется в качестве начала координат для σ , sи ω .

Если удлинить сторону EP путем бесконечно малого перемещения P (см. Рис.6), мы получим

(2)${\displaystyle {\color {white}.}\qquad \cos \alpha \,d\sigma =d\beta ,\quad \sin \alpha \,d\sigma =\cos \beta \,d\omega .}$

Комбинируя уравнения. (1) и (2) дают дифференциальные уравнения для s и λ

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}.}$

Связь между β и φ есть

${\displaystyle \tan \beta ={\sqrt {1-e^{2}}}\tan \varphi =(1-f)\tan \varphi ,}$

который дает

${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \varphi }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }},}$

так что дифференциальные уравнения для геодезической становятся

${\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {d\lambda }{d\omega }}={\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\beta }}.}$

Последний шаг - использовать σ в качестве независимого параметра в обоих этих дифференциальных уравнениях и тем самым выразить s и λ как интегралы. Применение правила синусов к вершинам E и G сферического треугольника EGP на рис.5 дает

${\displaystyle \sin \beta =\sin \beta (\sigma ;\alpha _{0})=\cos \alpha _{0}\sin \sigma ,}$

где α ₀ азимут на E . Подставляя это в уравнение для ds / d σ и интегрируя результат, получаем

(3)${\displaystyle {\color {white}.}\qquad {\frac {s}{b}}=\int _{0}^{\sigma }{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}\,d\sigma ',}$

куда

${\displaystyle k=e'\cos \alpha _{0},}$

а пределы интеграла выбраны так, чтобы s (σ = 0) = 0 . Лежандр (1811 , стр. 180) указал, что уравнение для s совпадает с уравнением для дуги на эллипсе с полуосями b √ 1 + e ′ ² cos ² α ₀ и b . Чтобы выразить уравнение для λ через σ , запишем

${\displaystyle d\omega ={\frac {\sin \alpha _{0}}{\cos ^{2}\beta }}\,d\sigma ,}$

что следует из уравнения. (2) и соотношение Клеро. Это дает

(4)${\displaystyle {\color {white}.}\qquad \lambda -\lambda _{0}=\omega -f\sin \alpha _{0}\int _{0}^{\sigma }{\frac {2-f}{1+(1-f){\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\sigma '}}}}\,d\sigma ',}$

а пределы интегралов выбраны так, чтобы λ = λ ₀ на пересечении экватора, σ = 0 .

На этом решение пути геодезической с использованием вспомогательной сферы завершено. С помощью этого устройства можно точно сопоставить большой круг с геодезической на эллипсоиде вращения.

Есть также несколько способов аппроксимации геодезических на земном эллипсоиде (с небольшим уплощением) ( Rapp 1991 , §6); некоторые из них описаны в статье о географической удаленности . Однако они обычно сравнимы по сложности с методом точного решения ( Jekeli 2012 , §2.1.4).

Поведение геодезических [ править ]

На рис. 7 показаны простые замкнутые геодезические, состоящие из меридианов (зеленый) и экватора (красный). (Здесь определение «простой» означает, что геодезическая замыкается на себе без промежуточного самопересечения.) Это следует из уравнений для геодезических, приведенных в предыдущем разделе.

Все остальные геодезические представлены на рис. 8 и 9, на которых показана геодезическая, начинающаяся на экваторе с α ₀ = 45 ° . Геодезическая колеблется вокруг экватора. Экваториальные пересечения называются узлами, а точки максимальной или минимальной широты - вершинами ; параметрические широты вершин задаются β = ± ( ¹ / ₂ π - | & alpha ; ₀ |) . Геодезическая совершает одно полное колебание по широте, прежде чем долгота увеличится на360 ° . Таким образом, при каждом последующем пересечении экватора в северном направлении (см. Рис. 8) λ меньше полного оборота экватора примерно на 2π f sinα ₀ (для вытянутого эллипсоида эта величина отрицательна, а λ проходит больше, чем на полный оборот). схему; см. рис.10). Почти для всех значений α ₀ геодезическая будет заполнять ту часть эллипсоида между двумя широтами вершин (см. Рис. 9).

Если эллипсоид достаточно сплюснутый, т.е. ^б / < ¹ / ₂ , еще один класс простых замкнутых геодезических возможно ( Клингенберга 1982 , §3.5.19). Две такие геодезические показаны на рис. 11 и 12. Здесь ^б / = ² / ₇ и экваториальный азимут, & alpha ; ₀ , для зеленого (соотв. Синий) геодезический выбирается53,175 ° (соотв.75,192 ° ), так что геодезическая совершает 2 (соответственно 3) полных колебания вокруг экватора на одном витке эллипсоида.

На рис.13 показаны геодезические (синим цветом), исходящие из A с α _1, кратным15 ° до точки, в которой они перестают быть кратчайшими путями. (Выравнивание было увеличено до ¹ / ₁₀ , с тем , чтобы подчеркнуть эллипсоидальные эффекты.) Также показаны (в зеленом) являются кривыми постоянной с ₁₂ , которые являются геодезические окружности с центром A . Гаусс (1828 г.) показал, что на любой поверхности геодезические и геодезическая окружность пересекаются под прямым углом. Красная линия является разрез локус , геометрическое место точек , которые имеют несколько (в данном случае два) кратчайших из A . На сфере годографом разреза является точка. На сплюснутом эллипсоиде (показанном здесь) это сегмент круга широты с центром в точке, противоположной точке. к A , φ = −φ ₁ . Продольная протяженность геометрического места разреза приблизительно равна λ ₁₂ ∈ [π - f π cosφ ₁ , π + f π cosφ ₁ ] . Если A лежит на экваторе, φ ₁ = 0 , это соотношение является точным, и, как следствие, экватор является кратчайшей геодезической, только если | λ ₁₂ | ≤ (1 - е ) π . Для вытянутого эллипсоида геометрическое место разреза - это сегмент антимеридиана с центром в точке, противоположной точке A , λ ₁₂ = π, а это означает, что меридиональные геодезические перестают быть кратчайшими путями до того, как будет достигнута точка противоположности.

Дифференциальные свойства геодезических [ править ]

Различные задачи, связанные с геодезическими, требуют знания их поведения, когда они возмущены. Это полезно при тригонометрической корректировке ( Ehlert 1993 ), определении физических свойств сигналов, следующих за геодезическими, и т. Д. Рассмотрим опорную геодезическую, параметризованную s , и вторую геодезическую на небольшом расстоянии t ( s ) от нее. Гаусс (1828) показал, что t ( s ) подчиняется уравнению Гаусса-Якоби

${\displaystyle {\color {white}.}\qquad \displaystyle {\frac {d^{2}t(s)}{ds^{2}}}=K(s)t(s),}$

где K ( s ) - гауссова кривизна в точке s . Как линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, его решение может быть выражено как сумма двух независимых решений

${\displaystyle t(s_{2})=Cm(s_{1},s_{2})+DM(s_{1},s_{2})}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}m(s_{1},s_{1})&=0,\quad \left.{\frac {dm(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=1,\\M(s_{1},s_{1})&=1,\quad \left.{\frac {dM(s_{1},s_{2})}{ds_{2}}}\right|_{s_{2}=s_{1}}=0.\end{aligned}}}$

Величина m ( s ₁ , s ₂ ) = m ₁₂ - это так называемая приведенная длина , а M ( s ₁ , s ₂ ) = M ₁₂ - геодезический масштаб . ^[3] Их основные определения показаны на рис. 14.

Гауссова кривизна для эллипсоида вращения является

${\displaystyle K={\frac {1}{\rho \nu }}={\frac {{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}{b^{2}}}={\frac {b^{2}}{a^{4}{\bigl (}1-e^{2}\cos ^{2}\beta {\bigr )}^{2}}}.}$

Гельмерт (1880 , уравнение (6.5.1.)) Решил уравнение Гаусса-Якоби для этого случая, что позволило выразить m ₁₂ и M ₁₂ в виде интегралов.

Как видно из рис. 14 (верхний под-рисунок), разделение двух геодезических, начинающихся в одной точке с азимутами, различающимися на d α _1, составляет m ₁₂ d α ₁ . На замкнутой поверхности, такой как эллипсоид, m ₁₂ колеблется около нуля. Точка, в которой m ₁₂ обращается в ноль, является точкой, сопряженной с начальной точкой. Чтобы геодезическая между A и B длиной s ₁₂ была кратчайшей, она должна удовлетворять условию Якоби ( Jacobi 1837 ) ( Jacobi 1866 , § 6) ( Forsyth 1927, §§26-27) ( Bliss 1916 ), что нет никакого смысла сопряжен с А между A и B . Если это условие не выполняется, то существует ближайший путь (не обязательно геодезический), который короче. Таким образом, условие Якоби является локальным свойством геодезической и является лишь необходимым условием того, что геодезическая является кратчайшим глобальным путем. Необходимые и достаточные условия того, что геодезическая является кратчайшим путем:

• для сплющенного эллипсоида | σ ₁₂ | ≤ π ;
• для вытянутого эллипсоида | λ ₁₂ | ≤ π , если α ₀ ≠ 0 ; если α ₀ = 0 , требуется дополнительное условие m ₁₂ ≥ 0, если | λ ₁₂ | = π .

Конверт геодезических [ править ]

Геодезические из конкретной точки A, если они продолжаются за геометрическое место разреза, образуют оболочку, показанную на рис. 15. Здесь геодезические, для которых α ₁ кратно3 ° показаны голубым цветом. (Геодезические показаны только для их первого прохождения рядом с противоположной точкой, но не для последующих.) Некоторые геодезические круги показаны зеленым; они образуют бугорки на конверте. Место разреза показано красным. Огибающая - это геометрическое место точек, сопряженных с A ; точки на конверте могут быть вычислены путем нахождения точки, в которой m ₁₂ = 0, на геодезической. Якоби (1891) называет эту звездообразную фигуру, созданную оболочкой, астроидой .

Вне астроиды в каждой точке пересекаются две геодезические; таким образом, между точкой A и этими точками находятся две геодезические (длиной примерно в половину длины окружности эллипсоида) . Это соответствует ситуации на сфере, где есть «короткий» и «длинный» маршруты на большом круге между двумя точками. Внутри астроиды в каждой точке пересекаются четыре геодезические. Четыре таких геодезических показаны на рис. 16, где геодезические пронумерованы в порядке возрастания длины. (На этом рисунке используется то же положение для A, что и на рис. 13, и оно нарисовано в той же проекции.) Две более короткие геодезические устойчивы , то есть m ₁₂ > 0, так что не существует ближайшего пути, соединяющего две точки, который является более коротким; два других нестабильны. Только самая короткая линия (первая) имеет σ ₁₂ ≤ π . Все геодезические касаются оболочки, которая показана на рисунке зеленым цветом.

Астроида есть (внешний вид) эволютные из геодезических окружностей с центром в точке А . Точно так же геодезические круги являются эвольвентами астроиды.

Площадь геодезического многоугольника [ редактировать ]

Геодезический полигон представляет собой многоугольник, стороны которого являются геодезическими. Это аналог сферического многоугольника , стороны которого представляют собой большие круги. Площадь такого многоугольника может быть найдена, сначала вычислив площадь между геодезическим сегментом и экватором, то есть площадь четырехугольника AFHB на рис. 1 ( Danielsen 1989 ). Как только эта площадь известна, площадь многоугольника может быть вычислена путем суммирования вкладов всех краев многоугольника.

Здесь выражение для площади S ₁₂ из AFHB разработан следующий Шоберг (2006) . Площадь любой замкнутой области эллипсоида равна

${\displaystyle T=\int dT=\int {\frac {1}{K}}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$

где dT - элемент площади поверхности, а K - гауссова кривизна . Теперь теорема Гаусса – Бонне применяется к состояниям геодезического многоугольника.

${\displaystyle \Gamma =\int K\,dT=\int \cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,}$

куда

${\displaystyle \Gamma =2\pi -\sum _{j}\theta _{j}}$

- геодезический эксцесс, а θ _j - внешний угол в вершине j . Умножая уравнение для Γ на R ₂ ² , где R ₂ - это аутичный радиус , и вычитая это из уравнения для T, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int {\biggl (}{\frac {1}{K}}-R_{2}^{2}{\biggr )}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda \\&=R_{2}^{2}\,\Gamma +\int {\Biggl (}{\frac {b^{2}}{{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}^{2}}}-R_{2}^{2}{\Biggr )}\cos \varphi \,d\varphi \,d\lambda ,\end{aligned}}}$

где подставлено значение K для эллипсоида . Применяя эту формулу к четырехугольнику AFHB , отмечая, что Γ = α ₂ - α ₁ , и выполняя интеграл по φ, получаем

${\displaystyle S_{12}=R_{2}^{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})+b^{2}\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\biggl (}{\frac {1}{2{\bigl (}1-e^{2}\sin ^{2}\varphi {\bigr )}}}+{\frac {\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )}{2e\sin \varphi }}-{\frac {R_{2}^{2}}{b^{2}}}{\biggr )}\sin \varphi \,d\lambda ,}$

где интеграл ведется по геодезической (так что φ неявно зависит от λ ). Интеграл может быть выражен в виде ряда, действительного для малых f ( Danielsen 1989 ) ( Karney 2013 , §6 и добавление).

Площадь геодезического многоугольника определяется суммированием S ₁₂ по его краям. Этот результат верен при условии, что многоугольник не содержит полюса; если это так, к сумме нужно добавить 2π R ₂ ² . Если ребра заданы своими вершинами, то удобное выражение для геодезического эксцесса E ₁₂ = α ₂ - α ₁ имеет вид

${\displaystyle \tan {\frac {E_{12}}{2}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}+\beta _{1})}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\beta _{2}-\beta _{1})}}\tan {\frac {\omega _{12}}{2}}.}$

Решение прямой и обратной задач [ править ]

Решение геодезических задач влечет за собой отображение геодезической на вспомогательную сферу и решение соответствующей задачи в навигации по большому кругу . При решении "элементарного" сферического треугольника для NEP на рис. 5 можно использовать правила Непьера для квадрантных треугольников :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \alpha _{0}&=\sin \alpha \cos \beta =\tan \omega \cot \sigma ,\\\cos \sigma &=\cos \beta \cos \omega =\tan \alpha _{0}\cot \alpha ,\\\cos \alpha &=\cos \omega \cos \alpha _{0}=\cot \sigma \tan \beta ,\\\sin \beta &=\cos \alpha _{0}\sin \sigma =\cot \alpha \tan \omega ,\\\sin \omega &=\sin \sigma \sin \alpha =\tan \beta \tan \alpha _{0}.\end{aligned}}}$

Отображение геодезической включает вычисление интегралов для расстояния s и долготы λ , уравнения. (3) и (4) и они зависят от параметра α ₀ .

Решение прямой задачи несложно, поскольку α ₀ можно определить непосредственно из заданных величин φ ₁ и α ₁ .

В случае обратной задачи дано λ ₁₂ ; это нелегко связать с эквивалентным сферическим углом ω _12, поскольку α ₀ неизвестно. Таким образом, решение задачи требует итерационного нахождения α ₀ .

В геодезических приложениях, где f мало, интегралы обычно вычисляются как ряд ( Legendre 1806 ) ( Oriani 1806 ) ( Bessel 1825 ) ( Helmert 1880 ) ( Rainsford 1955 ) ( Rapp 1993 ). Для произвольного f интегралы (3) и (4) могут быть найдены с помощью числовой квадратуры или выражением их через эллиптические интегралы ( Legendre 1806 ) ( Cayley 1870 ).

Винсенти (1975) предлагает решения прямой и обратной задач; они основаны на последовательном расширении, выполняемом до третьего порядка при сплющивании, и обеспечивают точность около0,1 мм для эллипсоида WGS84 ; однако обратный метод не может сходиться почти для противоположных точек. Карни (2013) продолжает разложение до шестого порядка, которого достаточно для обеспечения полной точности двойной точности для | f | ≤ ¹ / ₅₀ и улучшает решение обратной задачи , так что он сходится во всех случаях. Karney (2013 , добавление) расширяет метод, используя эллиптические интегралы, которые могут применяться к эллипсоидам с произвольным уплощением.

Геодезические на трехосном эллипсоиде [ править ]

Решение геодезической задачи для эллипсоида вращения с математической точки зрения относительно просто: из-за симметрии геодезические имеют постоянную движения , задаваемую соотношением Клеро, позволяющим свести задачу к квадратуре . К началу 19 века (благодаря работам Лежандра, Ориани , Бесселя и др.) Было полное понимание свойств геодезических на эллипсоиде вращения.

С другой стороны, геодезические на трехосном эллипсоиде (с тремя неравными осями) не имеют очевидной постоянной движения и, таким образом, представляли собой сложную нерешенную проблему в первой половине XIX века. В замечательной работе Якоби (1839) открыл константу движения, позволившую также свести эту задачу к квадратуре ( Клингенберг, 1982 , §3.5). ^[4]

Трехосная система координат [ править ]

Рассмотрим эллипсоид, определяемый формулой

${\displaystyle h={\frac {X^{2}}{a^{2}}}+{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {Z^{2}}{c^{2}}}=1,}$

где ( X , Y , Z ) - декартовы координаты с центром на эллипсоиде и, без ограничения общности, a ≥ b ≥ c > 0 . ^[5] Якоби (1866 , §§26–27) использовал эллипсоидальные широту и долготу (β, ω), определяемые формулами

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=a\cos \omega {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}},\\Y&=b\cos \beta \sin \omega ,\\Z&=c\sin \beta {\frac {\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}.\end{aligned}}}$

В пределе b → a , β становится параметрической широтой для сжатого эллипсоида, поэтому использование символа β согласуется с предыдущими разделами. Тем не менее, ω является отличается от сферической долготы , определенной выше. ^[6]

Линии сетки постоянных β (синий) и ω (зеленый) показаны на рис. 17. Они составляют ортогональную систему координат: линии сетки пересекаются под прямым углом. Основные секции эллипсоида, определяемые X = 0 и Z = 0 , показаны красным. Третий главный участок, Y = 0 , перекрывается линиями β = ± 90 ° и ω = 0 ° или ± 180 ° . Эти линии встречаются в четырех точках шлангокабеля (две из которых видны на этом рисунке), где главные радиусы кривизныравны. Здесь и на других рисунках в этом разделе параметры эллипсоида a : b : c = 1.01: 1: 0.8 , и он рассматривается в ортогональной проекции из точки выше φ = 40 ° , λ = 30 ° .

Линии сетки эллипсоидальных координат можно интерпретировать тремя различными способами:

1. Это «линии кривизны» на эллипсоиде: они параллельны направлениям главной кривизны ( Monge 1796 ).
2. Они также являются пересечениями эллипсоида с конфокальными системами гиперболоидов одного и двух листов ( Дюпен 1813 , часть 5 ).
3. Наконец, это геодезические эллипсы и гиперболы, определенные с помощью двух смежных омбилических точек ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , p. 188). Например, линии постоянной β на рис. 17 могут быть созданы с помощью знакомой конструкции струны для эллипсов, когда концы струны прикреплены к двум точкам шлангокабеля.

Решение Якоби [ править ]

Якоби показал, что уравнения геодезических, выраженные в эллипсоидальных координатах, разделимы. Вот как он рассказал о своем открытии своему другу и соседу Бесселю ( Jacobi 1839 , Letter to Bessel):

Позавчера я свел к квадратуре задачу о геодезических линиях на эллипсоиде с тремя неравными осями . Это простейшие формулы в мире, абелевы интегралы , которые становятся хорошо известными эллиптическими интегралами, если две оси равны.

Кенигсберг , 28 декабря '38.

Решение, данное Якоби ( Jacobi 1839 ) ( Jacobi 1866 , § 28), является

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &=\int {\frac {{\sqrt {b^{2}\sin ^{2}\beta +c^{2}\cos ^{2}\beta }}\,d\beta }{{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\beta -c^{2}\cos ^{2}\beta }}{\sqrt {{\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta -\gamma }}}}\\[6pt]&\quad -\int {\frac {{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega }}\,d\omega }{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\omega +b^{2}\cos ^{2}\omega -c^{2}}}{\sqrt {{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigr )}\sin ^{2}\omega +\gamma }}}}.\end{aligned}}}$

Как отмечает Якоби, «функция угла β равна функции угла ω . Эти две функции являются просто абелевыми интегралами ...» Две константы δ и γ появляются в решении. Обычно δ равно нулю, если нижние пределы интегралов принимаются за начальную точку геодезической, а направление геодезических определяется с помощью γ . Однако для геодезических, начинающихся в точках пуповины, γ = 0, а δ определяет направление в точке пуповины. Постоянная γ может быть выражена как

${\displaystyle \gamma ={\bigl (}b^{2}-c^{2}{\bigr )}\cos ^{2}\beta \sin ^{2}\alpha -{\bigl (}a^{2}-b^{2}{\bigl )}\sin ^{2}\omega \cos ^{2}\alpha ,}$

где α - угол между геодезической и линиями постоянной ω . В пределе b → a это сводится к sinα cosβ = const. , знакомое соотношение Клеро. Вывод результата Якоби дан Дарбу (1894 , §§583–584); он дает решение, найденное Лиувиллем (1846) для общих квадратичных поверхностей.

Обзор трехосных геодезических [ править ]

На трехосном эллипсоиде есть только три простых замкнутых геодезических, три главных сечения эллипсоида, заданных формулами X = 0 , Y = 0 и Z = 0 . ^[7] Для обзора других геодезических удобно рассматривать геодезические, которые пересекают среднее главное сечение, Y = 0 , под прямым углом. Такие геодезические показаны на рис. 18–22, в которых используются те же параметры эллипсоида и то же направление обзора, что и на рис. 17. Кроме того, на каждом из этих рисунков красным цветом показаны три основных эллипса.

Если начальная точка β ₁ ∈ (−90 °, 90 °) , ω ₁ = 0 и α ₁ = 90 ° , то γ> 0 и геодезическая окружает эллипсоид в «циркумполярном» смысле. Геодезическая колеблется к северу и югу от экватора; при каждом колебании он совершает немного меньше, чем полный оборот вокруг эллипсоида, что в типичном случае приводит к тому, что геодезическая заполняет область, ограниченную двумя линиями широты β = ± β ₁ . Два примера приведены на рис. 18 и 19. Рисунок 18 показывает практически то же поведение, что и для сплющенного эллипсоида вращения (поскольку a ≈ b); сравните с рис. 9. Однако, если начальная точка находится на более высокой широте (рис. 18), искажения, возникающие в результате a ≠ b , очевидны. Все касательные к циркумполярной геодезической касаются конфокального однополостного гиперболоида, который пересекает эллипсоид в точке β = β ₁ ( Chasles 1846 ) ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , стр. 223–224).

Если начальная точка β ₁ = 90 ° , ω ₁ ∈ (0 °, 180 °) и α ₁ = 180 ° , то γ <0 и геодезическая окружает эллипсоид в «трансполярном» смысле. Геодезическая колеблется к востоку и западу от эллипса X = 0 ; при каждом колебании он совершает немного больше, чем полный оборот вокруг эллипсоида. В типичном случае это приводит к тому, что геодезическая заполняет область, ограниченную двумя линиями долготы ω = ω ₁ и ω = 180 ° - ω ₁ . Если a = b , все меридианы геодезические; эффект а≠ b заставляет такие геодезические колебаться на восток и запад. Два примера приведены на рис. 20 и 21. Сужение геодезической вблизи полюса исчезает в пределе b → c ; в этом случае эллипсоид становится вытянутым эллипсоидом, и рис. 20 будет напоминать рис. 10 (повернутый на бок). Все касательные к трансполярной геодезической касаются конфокального двуполостного гиперболоида, который пересекает эллипсоид в точке ω = ω ₁ .

Если начальная точка β ₁ = 90 ° , ω ₁ = 0 ° (точка пуповины) и α ₁ = 135 ° (геодезическая выходит из эллипса Y = 0 под прямым углом), то γ = 0 и геодезическая многократно пересекает противоположную точку пуповины и возвращается в исходную точку. Однако на каждой схеме угол, под которым она пересекает Y = 0, становится ближе к0 ° или180 °, так что асимптотически геодезическая лежит на эллипсе Y = 0 ( Hart 1849 ) ( Arnold 1989 , p. 265), как показано на рис. 22. Одна геодезическая не заполняет область на эллипсоиде. Все касательные к омбилическим геодезическим касаются софокусной гиперболы, которая пересекает эллипсоид в точках омбилических точек.

Пуповинные геодезические обладают несколькими интересными свойствами.

• Через любую точку эллипсоида проходят две омбилические геодезические.
• Геодезическое расстояние между противоположными точками шлангокабеля одинаково независимо от начального направления геодезической.
• В то время как замкнутые геодезические на эллипсах X = 0 и Z = 0 устойчивы (геодезическая, изначально близкая к эллипсу и почти параллельная ему, остается близкой к эллипсу), замкнутая геодезическая на эллипсе Y = 0 , которая проходит через все 4 точки пуповины, экспоненциально нестабильно . Если он будет возмущен, он выйдет из плоскости Y = 0 и перевернется, прежде чем вернуться, чтобы приблизиться к плоскости. (Это поведение может повторяться в зависимости от природы начального возмущения.)

Если начальная точка A геодезической не является точкой пуповины, ее оболочка представляет собой астроиду с двумя вершинами, лежащими на β = −β _1, а двумя другими - на ω = ω ₁ + π . Геометрическое место разреза для A - это часть линии β = −β ₁ между выступами.

Приложения [ править ]

Прямая и обратная геодезические задачи больше не играют центральной роли в геодезии, как раньше. Вместо решения корректировки в геодезических сетях в качестве двумерный задачи в шаровидной тригонометрии, эти проблемы сейчас решаются трехмерный методами ( Vincenty & Боуринг 1978 ). Тем не менее, наземные геодезические по-прежнему играют важную роль в нескольких областях:

• для измерения расстояний и площадей в геоинформационных системах ;
• определение морских границ ( UNCLOS 2006 );
• в правилах Федерального управления гражданской авиации по зональной навигации ( RNAV 2007 );
• метод измерения расстояний в ФАИ Спортивные Code ( FAI 2018 ).
• помочь мусульманам сориентироваться в Мекке

По принципу наименьшего действия многие задачи физики могут быть сформулированы как вариационные задачи, аналогичные задачам геодезических. Действительно, геодезическая задача эквивалентна движению частицы, вынужденной двигаться по поверхности, но в остальном не подверженной никаким силам ( Лаплас 1799a ) ( Hilbert & Cohn-Vossen 1952 , p. 222). По этой причине геодезические на простых поверхностях, таких как эллипсоиды вращения или трехосные эллипсоиды, часто используются в качестве «тестовых примеров» для изучения новых методов. Примеры включают:

• разработка эллиптических интегралов ( Legendre 1811 ) и эллиптических функций ( Weierstrass 1861 );
• развитие дифференциальной геометрии ( Gauss 1828 ) ( Christoffel 1869 );
• методы решения систем дифференциальных уравнений заменой независимых переменных ( Якоби, 1839 );
• изучение каустики ( Якоби, 1891 );
• исследования числа и устойчивости периодических орбит ( Пуанкаре 1905 );
• в пределе c → 0 геодезические на трехосном эллипсоиде сводятся к случаю динамического биллиарда ;
• расширение до произвольного числа измерений ( Knörrer 1980 );
• геодезический поток на поверхности ( Бергер 2010 , гл. 12).

См. Также [ править ]

• Фигура Земли
• Географическое расстояние
• Навигация по большому кругу
• Большой эллипс
• Геодезические
• Геодезия
• Дуга меридиана
• Линия румба
• Формулы Винсенти

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Интернет-геодезическая библиография книг и статей по геодезическим на эллипсоидах.
• Тестовый набор для геодезических , набор из 500000 геодезических для эллипсоида WGS84, вычисленный с использованием высокоточной арифметики.
• Инструмент NGS, реализующий Винсенти (1975) .
• geod (1) , справочная страница утилиты PROJ для геодезических расчетов.
• Реализация GeographicLib из Карни (2013) .
• Рисование геодезических на Google Maps.