В математике , то формула следов Артура-Сельберг является обобщением формулы следа Сельберга из группы SL 2 произвольных редуктивных группы над глобальными полями , разработанных Джеймсом Артуром в длинной серии работ с 1974 по 2003 году он описывает характер представление G ( A ) на дискретной части L2
0( G ( F ) ∖ G ( )) из L 2 ( G ( F ) ∖ G ( )) в терминах геометрических данных, где G представляет собой восстановительное алгебраическая группа , определенная над глобальным полем F и A является кольцом адели из F .
Существует несколько различных версий формулы следа. Первой версией была неуточненная формула трассировки , члены которой зависят от операторов усечения и имеют тот недостаток, что они не инвариантны. Артур позже нашел инвариантную формулу следа и стабильную формулу трассировки , которые являются более подходящими для применения. Формула простого следа ( Фликер, Каждан, 1988 ) менее общая, но ее легче доказать. Формула локального следа является аналогом локальных полей. Формула относительного следа Жаке является обобщением, в котором функция ядра интегрируется по недиагональным подгруппам.
Обозначение
- F - глобальное поле , такое как поле рациональных чисел.
- Является кольцом аделей F .
- G является восстановительной алгебраической группой , определенной над F .
Компактный корпус
В (редком) случае, когда G ( F ) ∖ G ( A ) компактно, представление разбивается как прямая сумма неприводимых представлений, и формула следа аналогична формуле Фробениуса для характера представления, индуцированного из тривиального представления подгруппы конечного индекса .
В компактном случае, который по существу принадлежит Сельбергу, группы G ( F ) и G ( A ) можно заменить любой дискретной подгруппой Γ локально компактной группы G с компактной Γ \ G. Группа G действует на пространстве функций на Г ∖ G с помощью правого регулярного представления R , и это продолжается до действия группы кольца G , рассматриваемое как кольцо функций F на G . Характер этого представления задается следующим обобщением формулы Фробениуса. Действие функции f на функцию φ на Γ ∖ G определяется выражением
Другими словами, R ( f ) - интегральный оператор на L 2 (Γ ∖ G ) (пространство функций на Γ ∖ G ) с ядром
Следовательно, след R ( f ) задается формулой
Ядро K можно записать как
где O - множество классов сопряженности в Γ, а
где γ - элемент класса сопряженности o , а Γ γ - его централизатор в Γ.
С другой стороны, след также задается
где m (π) - кратность неприводимого унитарного представления π группы G в L 2 (Γ ∖ G ).
Примеры
- Если Γ и G конечны, формула следа эквивалентна формуле Фробениуса для характера индуцированного представления.
- Если G - группа R действительных чисел, а Γ - подгруппа Z целых чисел, то формула следа становится формулой суммирования Пуассона .
Трудности в некомпактном случае
В большинстве случаев формулы следа Артура – Сельберга фактор-группа G ( F ) ∖ G ( A ) не является компактной, что вызывает следующие (тесно связанные) проблемы:
- Представление на L 2 ( G ( F ) ∖ G ( )) содержит не только дискретные компоненты, но и непрерывные компоненты.
- Ядро больше не интегрируемо по диагонали, и операторы R ( f ) больше не относятся к классу следов.
Артур справился с этими проблемами, усекая ядро в точках возврата таким образом, чтобы усеченное ядро было интегрируемым по диагонали. Этот процесс усечения вызывает множество проблем; например, усеченные члены больше не инвариантны относительно спряжения. Путем дальнейших манипуляций с терминами Артур смог создать инвариантную формулу следа, члены которой инвариантны.
Исходная формула следа Сельберга изучала дискретную подгруппу Γ вещественной группы Ли G ( R ) (обычно SL 2 ( R )). Группу Ли более высокого ранга удобнее заменить адельной группой G ( A ). Одна из причин этого в том, что дискретную группу можно рассматривать как группу точек G ( F ) для F (глобального) поля, с которым легче работать, чем с дискретными подгруппами групп Ли. Это также упрощает работу с операторами Hecke.
Формула следа в некомпактном случае
Одна из версий формулы следа ( Артур, 1983 ) утверждает равенство двух распределений на G ( A ):
Левая часть представляет собой геометрическую часть формулы следа и представляет собой сумму по классам эквивалентности в группе рациональных точек G ( F ) группы G , а правая часть представляет собой спектральную часть формулы следа и представляет собой сумму над некоторыми представлениями подгрупп группы G ( A ).
Распределения
Геометрические термины
Спектральные термины
Формула инвариантного следа
Приведенная выше версия формулы следа не особенно проста в использовании на практике, одна из проблем состоит в том, что члены в ней не инвариантны относительно сопряжения. Артур (1981) нашел модификацию, в которой члены инвариантны.
Формула инвариантного следа утверждает
где
- f - пробная функция на G ( A )
- M пробегает конечное множество рациональных подгрупп Леви группы G
- ( M ( Q )) - множество классов сопряженности M ( Q )
- Π ( M ) - множество неприводимых унитарных представлений M ( A )
- a M (γ) связана с объемом M ( Q , γ) \ M ( A , γ)
- a M (π) связано с кратностью неприводимого представления π в L 2 ( M ( Q ) \ M ( A ))
- относится к
- связано с трассировкой
- W 0 ( М ) является группой Вейля из М .
Формула стабильного следа
Langlands (1983) предположил возможность стабильного уточнения формулы следа, которую можно использовать для сравнения формулы следа для двух разных групп. Такая устойчивая формула следа была найдена и доказана Артуром (2002) .
Два элемента группы G ( F ) называется стабильно сопряжен , если они сопряжены над алгебраическим замыканием поля F . Дело в том, что при сравнении элементов в двух разных группах, связанных, например, внутренним скручиванием, обычно не получается хорошее соответствие между классами сопряженности, а только между классами стабильной сопряженности. Итак, чтобы сравнить геометрические члены в формулах следов для двух разных групп, хотелось бы, чтобы члены не только были инвариантными относительно сопряженности, но и хорошо себя вели на стабильных классах сопряженности; они называются стабильными дистрибутивами .
Формула стабильного следа записывает члены формулы следа группы G в терминах устойчивых распределений. Однако эти распределения не являются стабильными распределениями на группе G , но распределение на семействе quasisplit групп , называемых эндоскопические группами из G . Нестабильные орбитальные интегралы на группу G соответствуют устойчивым орбитальным интегралам на его эндоскопические группы H .
Формула простого следа
Существует несколько простых форм формулы следа, которые каким-то образом ограничивают тестовые функции f с компактным носителем ( Flicker & Kazhdan 1988 ). Преимущество этого состоит в том, что формула следа и ее доказательство становятся намного проще, а недостатком является то, что итоговая формула менее эффективна.
Например, если функции f каспидальные, это означает, что
для любого унипотентного радикала N собственной параболической подгруппы (определенной над F ) и любых x , y в G ( A ) оператор R ( f ) имеет образ в пространстве параболических форм, поэтому он компактен.
Приложения
Жаке и Ленглендс (1970) использовали формулу следа Сельберга для доказательства соответствия Жаке – Ленглендса между автоморфными формами на GL 2 и его скрученными формами. Формулу следа Артура – Сельберга можно использовать для изучения подобных соответствий в группах более высокого ранга. Его также можно использовать для доказательства нескольких других частных случаев функториальности Ленглендса, таких как замена базы, для некоторых групп.
Коттвиц (1988) использовал формулу следа Артура – Сельберга для доказательства гипотезы Вейля о числах Тамагавы .
Лаффорг (2002) описал, как формула следов используется в его доказательстве гипотезы Ленглендса для общих линейных групп над функциональными полями.
Смотрите также
Рекомендации
- Артур, Джеймс (1981), "Формула следа в инвариантной форме" Анналы математики , второй серии 114 (1): 1-74, DOI : 10,2307 / 1971376 , JSTOR 1971376 , МР 0625344
- Артур, Джеймс (1983), "Формула следов для редуктивных групп" (PDF) , Конференция по автоморфной теории (Дижон, 1981) , Publ. Математика. Univ. Париж VII, 15 , Париж: Univ. . Париж VII, стр 1-41, CiteSeerX 10.1.1.207.4897 , DOI : 10.1007 / 978-1-4684-6730-7_1 , ISBN 978-0-8176-3135-2, Руководство по ремонту 0723181
- Артур, Джеймс (2002), "Формула стабильного следа. I. Общие разложения" (PDF) , Журнал Института математики Жасси. ДЖИМДЖ. Журналь де l'Институт де Mathématiques де Jussieu , 1 (2): 175-277, DOI : 10,1017 / S1474-748002000051 , MR 1954821 , архивируются от оригинала (PDF) на 2008-05-09
- Артур, Джеймс (2005), «Введение в формулу следа» (PDF) , Гармонический анализ, формула следа и разновидности Шимуры , Clay Math. Proc., 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–263, MR 2192011 , заархивировано из оригинала (PDF) на 2008-05-09.
- Мерцание, Юваль З .; Каждан, David A. (1988), "Простая формула следа", Journal d'Анализировать Mathematique , 50 : 189-200, DOI : 10.1007 / BF02796122
- Гелбарт, Стивен (1996), Лекции по формуле следа Артура-Сельберга , Серия лекций в университете, 9 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , arXiv : math.RT / 9505206 , doi : 10.1090 / ulect / 009 , ISBN 978-0-8218-0571-8, MR 1410260
- Jacquet, H .; Лэнглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Лекционные заметки по математике, Vol. 114, 114 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0058988 , ISBN 978-3-540-04903-6, Руководство по ремонту 0401654
- Конно, Такуя (2000), "Обзор формулы следа Артура-Сельберга" (PDF) , Surikaisekikenkyusho Kõkyuroku (1173): 243–288, MR 1840082
- Коттвиц, Роберт Э. (1988), «Числа Тамагавы», Ann. математики. , 2, 127 (3): 629-646, DOI : 10,2307 / 2007007 , JSTOR 2007007 , МР 0942522
- Лабесс, Жан-Пьер (1986), "La formule des traces d'Arthur-Selberg", Astérisque (133): 73–88, MR 0837215
- Лэнглендс, Роберт П. (2001), «Формула следов и ее приложения: введение в работу Джеймса Артура», Canadian Mathematical Bulletin , 44 (2): 160–209, doi : 10.4153 / CMB-2001-020- 8 , ISSN 0008-4395 , MR 1827854
- Лаффорг, Лоран (2002), "Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correance de Langlands", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Пекин, 2002) , Пекин: Высшее изд. Press, стр. 383–400, MR 1989194
- Langlands, Роберт П. (1983), Les débuts d'une formule des traces stable , Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Математические публикации Парижского университета VII], 13 , Париж: Université de Paris VII UER de Mathématiques, MR 0697567
- Лэнглендс, Роберт П. (2001), «Формула следов и ее приложения: введение в работу Джеймса Артура» , Canadian Mathematical Bulletin , 44 (2): 160–209, doi : 10.4153 / CMB-2001-020- 8 , MR 1827854 , архивируются с оригинала на 2008-06-11 , извлекаться 2008-11-27
- Шокранян, Салаходдин (1992), Формула следа Сельберга-Артура , Лекционные заметки по математике, 1503 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0092305 , ISBN 978-3-540-55021-1, Руководство по ремонту 1176101
Внешние ссылки
- Работы Джеймса Артура в Институте Клея
- Архив собрания сочинений Джеймса Артура на факультете математики Университета Торонто