В математике , и в частности в теории представлений , взаимность Фробениуса - это теорема, выражающая двойственность между процессом ограничения и индукции . Его можно использовать для использования знаний о представлениях подгруппы для поиска и классификации представлений «больших» групп, которые их содержат. Он назван в честь Фердинанда Георга Фробениуса , изобретателя теории представлений конечных групп .
Заявление
Теория характера
Изначально теорема была сформулирована в терминах теории характеров . Пусть G - конечная группа с подгруппой H , пустьобозначают ограничение символа или, в более общем смысле, функции класса группы G на H , и пустьОбозначим индуцированную класс функцию данного класса функции на H . Для любой конечной группы A существует скалярное произведение на векторном пространстве функций классов(подробно описано в статье соотношения ортогональности Шура ). Теперь для любых функций класса а также , имеет место равенство
Другими словами, а также являются эрмитово сопряженными .
Доказательство взаимности Фробениуса для функций классов |
---|
Позволять а также быть функциями класса. Доказательство. Каждую функцию класса можно записать как линейную комбинацию неприводимых символов. В видеявляется билинейной формой , без ограничения общности можно считать а также быть характерами неприводимых представлений в и из в соответственно. Мы определяем для всех Тогда у нас есть В ходе этой последовательности уравнений мы использовали только определение индукции по функциям классов и свойствам характеров . Альтернативное доказательство. В терминах групповой алгебры, то есть альтернативного описания индуцированного представления, взаимность Фробениуса является частным случаем общего уравнения замены колец: Это уравнение по определению эквивалентно Поскольку эта билинейная форма вычисляет билинейную форму на соответствующих символах, теорема следует без вычислений. |
Теория модулей
Как объяснялось в разделе Теория представлений конечных групп # Представления, модули и алгебра свертки , теория представлений группы G над полем K в определенном смысле эквивалентна теории модулей над групповой алгеброй K [ G ]. [3] Следовательно, имеется соответствующая теорема взаимности Фробениуса для K [ G ] -модулей.
Пусть G - группа с подгруппой H , пусть M - H -модуль, а N - G -модуль. На языке теории модулей индуцированный модуль соответствует индуцированному представлению , а ограничение скаляров соответствует ограничению . Соответственно, утверждение выглядит следующим образом: Следующие множества гомоморфизмов модулей находятся в биективном соответствии:
Как отмечено ниже в разделе теории категорий, этот результат применим к модулям над всеми кольцами, а не только к модулям над групповыми алгебрами.
Теория категорий
Пусть G - группа с подгруппой H , и пустьбыть определенным, как указано выше. Для любой группы A и поля K пустьОбозначим категорию линейных представлений А над К . Есть забывчивый функтор
Этот функтор действует как тождество на морфизмах . Есть функтор, идущий в обратном направлении:
Эти функторы образуют присоединенную пару . [6] [7] В случае конечных групп они фактически сопряжены друг с другом как слева, так и справа. Это присоединение порождает универсальное свойство для индуцированного представления (подробности см. В разделе « Индуцированное представление # Свойства» ).
На языке теории модулей соответствующее присоединение является примером более общей связи между ограничением и расширением скаляров .
Смотрите также
- См. Ограниченное представление и Индуцированное представление для определения процессов, к которым применяется эта теорема.
- См. Теорию представлений конечных групп для широкого обзора предмета групповых представлений.
- См. Формулу следа Сельберга и формулу следа Артура-Сельберга для обобщений на дискретные кофинитные подгруппы некоторых локально компактных групп.
Заметки
- Перейти ↑ Serre 1977 , p. 56.
- ^ Сенгупта 2012 , стр. 246.
- ^ В частности, существует изоморфизм категорий между K [ G ] -Mod и Rep G K , как описано на страницах Изоморфизм категорий # Категория представлений и теория представлений конечных групп # Представления, модули и алгебра свертки .
- ^ Джеймс, Гордон Дуглас (1945–2001). Представления и персонажи групп . Либек , MW (Мартин В.) (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521003926. OCLC 52220683 .
- ^ Сенгупта 2012 , стр. 245.
- ^ «Взаимность Фробениуса на planetmath.org» . planetmath.org . Проверено 2 ноября 2017 .
- ^ «Взаимность Фробениуса в nLab» . ncatlab.org . Проверено 2 ноября 2017 .
Рекомендации
- Серр, Жан-Пьер (1926–1977). Линейные представления конечных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0387901906. OCLC 2202385 .
- Сенгупта, Амбар (2012). Представление конечных групп: полупростое введение . Нью-Йорк. DOI : 10.1007 / 978-1-4614-1231-1_8 . ISBN 9781461412304. OCLC 769756134 .
- Вайсштейн, Эрик. «Индуцированное представление» . mathworld.wolfram.com . Проверено 2 ноября 2017 .