За исключением нескольких отмеченных исключений, в этой статье будут рассматриваться только конечные группы. Мы также ограничимся векторных пространств над полями с характерным нуля. Поскольку теория алгебраически замкнутых полей нулевой характеристики завершена, теория, действующая для специального алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики, также верна для любого другого алгебраически замкнутого поля нулевой характеристики. Таким образом, без ограничения общности можно изучать векторные пространства над
Теория представлений используется во многих разделах математики, а также в квантовой химии и физике. Среди прочего, он используется в алгебре для изучения структуры групп. Есть также приложения в гармоническом анализе и теории чисел . Например, теория представлений используется в современном подходе для получения новых результатов об автоморфных формах.
Определение
Линейные представления
Позволять быть –Векторное пространство и конечная группа. Линейное представление конечной группыявляется гомоморфизмом групп Здесь обозначение общей линейной группы , адля группы автоморфизмов . Это означает, что линейное представление - это карта что удовлетворяет для всех Векторное пространство называется пространством представления Часто термин "представление" также используется для пространства представления
Представление группы в модуле вместо векторного пространства также называется линейным представлением.
Мы пишем для представления из Иногда мы используем обозначения если ясно, к какому представлению пространство принадлежит.
В этой статье мы ограничимся изучением конечномерных пространств представлений, за исключением последней главы. Поскольку в большинстве случаев только конечное число векторов впредставляет интерес, достаточно изучить подпредставление, порожденное этими векторами. Тогда пространство представления этого подпредставления конечномерно.
Степень некоторого представления является размер его представления пространства Обозначение иногда используется для обозначения степени представления
Примеры
Тривиальное представление дается для всех
Представление степени группы является гомоморфизмом в мультипликативную группу Как каждый элемент имеет конечный порядок, значения являются корни из единицы . Например, пусть- нетривиальное линейное представление. С является гомоморфизмом групп, он должен удовлетворять Так как генерирует определяется его стоимостью на И, как нетривиально, Таким образом, мы добиваемся того, что изображение под должна быть нетривиальной подгруппой группы, состоящей из корней четвертой степени из единицы. Другими словами, должна быть одна из следующих трех карт:
Позволять и разреши - гомоморфизм групп, определяемый следующим образом:
В таком случае является линейным представлением степени
Представление перестановки
Позволять - конечное множество и пусть быть группой, действующей на Обозначим через группа всех перестановок на с композицией как групповое умножение.
Группа, действующая на конечном множестве, иногда считается достаточной для определения перестановочного представления. Однако, поскольку мы хотим построить примеры для линейных представлений, где группы действуют на векторных пространствах, а не на произвольных конечных множествах, мы должны действовать по-другому. Чтобы построить представление перестановки, нам понадобится векторное пространство с участием Основа могут быть проиндексированы элементами Подстановочное представление - это гомоморфизм групп дано для всех Все линейные карты однозначно определяются этим свойством.
Пример. Позволять а также потом действует на через Соответствующее линейное представление с участием для
Левое и правое регулярное представление
Позволять быть группой и быть векторным пространством размерности с основой индексируется элементами Левого регулярное представление является частным случаем представления перестановки путем выбора Это означает для всех Таким образом, семья изображений являются основой Степень леворегулярного представления равна порядку группы.
Правый регулярное представление определяются на то же векторном пространстве с аналогичным гомоморфизмом: Так же, как и раньше является основой Так же, как и в случае леворегулярного представления, степень правого регулярного представления равна порядку
Оба представления изоморфны через По этой причине они не всегда выделяются отдельно и часто называются «обычным» представлением.
Более пристальный взгляд дает следующий результат: заданное линейное представление является изоморфным к левому-регулярному представлению тогда и только тогда , когда существует такой, что является основой
Пример. Позволять а также с основанием Тогда левое регулярное представление определяется для Правое регулярное представление определяется аналогично формулой для
Представления, модули и алгебра свертки
Позволять конечная группа, пусть коммутативное кольцо и пустьбыть групповая алгебра из над Эта алгебра свободна, и базис может быть проиндексирован элементами Чаще всего основу отождествляют с . Каждый элемент тогда можно однозначно выразить как
с участием .
Умножение в расширяет это в распределительно.
Теперь позвольте быть - модуль и пусть быть линейным представлением в Мы определяем для всех а также . Линейным расширением наделен структурой левостороннего–Модуль. Наоборот, мы получаем линейное представление начиная с –Module . Кроме того, гомоморфизмы представлений находятся в биективном соответствии с гомоморфизмами групповой алгебры. Следовательно, эти термины могут использоваться как синонимы. [1] [2] Это пример изоморфизма категорий .
Предполагать В этом случае левый –Модуль предоставлен сам соответствует лево-регулярному представлению. Таким же образом как право –Модуль соответствует правильному регулярному представлению.
Далее мы определим алгебру свертки : Пусть быть группой, множество это –Векторном пространстве с операциями сложения и скалярного умножения, то это векторное пространство изоморфно Свертка двух элементов определяется
делает алгебра . Алгебраназывается алгеброй свертки .
Алгебра свертки свободна и имеет базис, индексированный элементами группы: где
Используя свойства свертки, получаем:
Мы определяем карту между а также определяя на основании и расширяя его линейно. Очевидно, что предыдущее отображение биективно . Более внимательное рассмотрение свертки двух базисных элементов, как показано в приведенном выше уравнении, показывает, что умножение в соответствует тому, что в Таким образом, свёрточная алгебра и групповая алгебра изоморфны как алгебры.
Представление группы распространяется на –Гомоморфизм алгебр от Поскольку кратность является характеристическим свойством гомоморфизмов алгебр, удовлетворяет Если унитарен, также получаем Для определения унитарного представления, пожалуйста, обратитесь к главе о свойствах . В этой главе мы увидим, что (без ограничения общности) любое линейное представление можно считать унитарным.
Используя алгебру свертки, мы можем реализовать преобразование Фурье на группеВ области гармонического анализа показано, что следующее определение согласуется с определением преобразования Фурье на
Позволять быть представлением и пусть быть -значная функция на . Преобразование Фурье из определяется как
Это преобразование удовлетворяет
Карты между представлениями
Карта между двумя представлениями из той же группы это линейная карта со свойством, что справедливо для всех Другими словами, следующая диаграмма коммутирует для всех :
Такую карту еще называют –Линейное или эквивариантное отображение . Ядро , то изображение и Коядро изопределены по умолчанию. Композиция эквивариантных отображений снова является эквивариантным отображением. Существует категория представлений, морфизмами которых являются эквивариантные отображения . Они снова–Модули. Таким образом, они представляют из-за корреляции, описанной в предыдущем разделе.
Неприводимые представления и лемма Шура
Позволять быть линейным представлением Позволять быть -инвариантное подпространство это, для всех а также . Ограничение является изоморфизмом на себя. Так как справедливо для всех эта конструкция является представлением в Это называется подпредставлением изЛюбое представление V имеет по крайней мере два подпредставления, а именно одно, состоящее только из 0, и одно, состоящее из самого V. Представление называется неприводимым , если только эти два подпредставления. Некоторые авторы также называют эти представления простыми, поскольку они в точности являются простыми модулями над групповой алгеброй..
Лемма Шура накладывает сильное ограничение на отображения между неприводимыми представлениями. Если а также оба неприводимы, и линейное отображение такое, что для всех , существует следующая дихотомия:
Если а также является гомотетией (т.е. для ). В более общем смысле, если а также изоморфны, пространство G -линейных отображений одномерно.
В противном случае, если два представления не изоморфны, F должно быть 0.
Два представления называются эквивалентными или изоморфными , если существует–Линейный изоморфизм векторных пространств между пространствами представлений. Другими словами, они изоморфны, если существует биективное линейное отображение такой, что для всех В частности, эквивалентные представления имеют одинаковую степень.
Представление называется верным, когдаявляется инъективным . В таком случае индуцирует изоморфизм между и изображение Поскольку последняя является подгруппой мы можем рассматривать через как подгруппа
Мы можем ограничить диапазон, а также домен:
Позволять быть подгруппой Позволять быть линейным представлением Обозначим через ограничение в подгруппу
Если нет опасности путаницы, мы можем использовать только или короче
Обозначение или короче также используется для обозначения ограничения представления из на
Позволять быть функцией на Мы пишем или в ближайшее время для ограничения на подгруппу
Можно доказать, что количество неприводимых представлений группы (или соответственно количество простых -Модулями) равно числу классов сопряженных с
Представление называется полупростым или полностью приводимым, если его можно записать как прямую сумму неприводимых представлений. Это аналогично соответствующему определению для полупростой алгебры.
Для определения прямой суммы представлений обратитесь к разделу о прямых суммах представлений .
Представление называется изотипическим, если оно представляет собой прямую сумму попарно изоморфных неприводимых представлений.
Позволять быть данным представлением группы Позволять быть неприводимым представлением В - изотип из определяется как сумма всех неприводимых подпредставлений изоморфен
Каждое векторное пространство над может поставляться с внутренним продуктом . Представление группы в векторном пространстве, снабженном внутренним произведением, называется унитарным, еслиявляется унитарным для каждого Это означает, что, в частности, каждый является диагонализируемы . Подробнее см. Статью об унитарных представлениях .
Представление является унитарным по отношению к данному внутреннему продукту тогда и только тогда, когда внутренний продукт инвариантен относительно индуцированной операции т.е. тогда и только тогда, когда справедливо для всех
Данный внутренний продукт можно заменить инвариантным внутренним продуктом путем обмена с участием
Таким образом, без ограничения общности можно считать, что каждое далее рассматриваемое представление унитарно.
Пример. Позволятьбыть группой диэдра из того создан которые соответствуют свойствам а также Позволять быть линейным представлением определяется на генераторах:
Это представление верное. Подпространство это –Инвариантное подпространство. Таким образом, существует нетривиальное подпредставление с участием Следовательно, представление не является неприводимым. Указанное подпредставление имеет степень один и неприводимо. Дополнительное подпространство из является - также инвариантен. Таким образом, получаем подпредставление с участием
Это подпредставление также неприводимо. Это означает, что исходное представление полностью сводимо:
Оба субпредставления изотипны и являются двумя единственными ненулевыми изотипами
Представление унитарен по отношению к стандартному внутреннему продукту на так как а также унитарны.
Позволять - любой изоморфизм векторного пространства. потом которое определяется уравнением для всех является представлением, изоморфным
Ограничивая область представления подгруппой, например получаем представление Это представление определяется изображением явный вид которого показан выше.
Конструкции
Двойственное представление
Позволять быть данным представлением. Двойное представление или Контрагредиентная представление представляет собой представление в двойном векторном пространстве из Он определяется свойством
Что касается естественного спаривания между а также приведенное выше определение дает уравнение:
Для примера см. Главную страницу по этой теме: Двойное представление .
Прямая сумма представлений
Позволять а также быть представлением а также соответственно. Прямая сумма этих представлений является линейным представлением и определяется как
Позволять быть представлениями одной и той же группы Для простоты прямая сумма этих представлений определяется как представление т.е. он задается как просмотрев как диагональная подгруппа группы
Пример. Пусть (здесь а также являются мнимой единицей и примитивным кубическим корнем из единицы соответственно):
потом
Поскольку достаточно рассмотреть образ образующего элемента, находим, что
Тензорное произведение представлений
Позволять быть линейными представлениями. Определим линейное представлениев тензорное произведение из а также от в котором Это представление называется внешним тензорным произведением представлений а также Существование и единственность - следствие свойств тензорного произведения .
Пример. Мы еще раз рассмотрим приведенный пример для прямой суммы :
Внешнее тензорное произведение
Используя стандартный базис для порождающего элемента имеем:
Замечание. Обратите внимание, что прямая сумма и тензорные произведения имеют разные степени и, следовательно, являются разными представлениями.
Позволять - два линейных представления одной и той же группы. Позволять быть элементом потом определяется для и мы пишем Тогда карта определяет линейное представление которое также называется тензорным произведением данных представлений.
Эти два случая следует строго различать. Первый случай - это представление группового произведения в тензорное произведение соответствующих пространств представления. Второй случай - представление группыв тензорное произведение двух пространств представлений этой одной группы. Но этот последний случай можно рассматривать как частный случай первого, если сосредоточить внимание на диагональной подгруппе Это определение можно повторять конечное число раз.
Позволять а также быть представлениями группы потом является представлением в силу следующего тождества: . Позволять и разреши быть представлением на Позволять быть представлением на а также представление на Тогда приведенное выше тождество приводит к следующему результату:
для всех
Теорема. Неприводимые представления с точностью до изоморфизма - это в точности представления в котором а также неприводимые представления а также соответственно.
Симметричный и знакопеременный квадрат
Позволять быть линейным представлением Позволять быть основой Определять расширяя линейно. Тогда он считает, что и поэтому распадается на в котором
Эти подпространства –Инвариантными и тем самым определяют подпредставления, которые называются симметричным квадратом и знакопеременным квадратом соответственно. Эти подпредставления также определены в хотя в данном случае они обозначаются клиновым продуктом. и симметричное произведение В случае, если векторное пространство обычно не равна прямой сумме этих двух продуктов.
Разложения
Для более легкого понимания представлений было бы желательно разложение пространства представления на прямую сумму более простых подпредставлений. Это может быть достигнуто для конечных групп, как мы увидим в следующих результатах. Более подробные объяснения и доказательства можно найти в [1] и [2] .
Теорема. ( Машке ) Пусть - линейное представление, где - векторное пространство над полем нулевой характеристики. Позволять быть -инвариантное подпространство Тогда дополнение из существует в и является -инвариантный.
Подпредставление и его дополнение однозначно определяют представление.
Следующая теорема будет представлена в более общем виде, поскольку она дает очень красивый результат о представлениях компактных, а значит, и конечных групп:
Теорема. Всякое линейное представление компактной группы над полем нулевой характеристики является прямой суммой неприводимых представлений.
Или на языке -модули: Если групповая алгебра полупроста, т. е. представляет собой прямую сумму простых алгебр.
Обратите внимание, что это разложение не уникально. Однако количество случаев, когда подпредставление, изоморфное данному неприводимому представлению, встречается в этом разложении, не зависит от выбора разложения.
Каноническое разложение
Чтобы добиться уникального разложения, нужно объединить все неприводимые подпредставления, изоморфные друг другу. Это означает, что пространство представления раскладывается на прямую сумму своих изотипов. Это разложение определяется однозначно. Это называется каноническим разложением .
Позволять - множество всех неприводимых представлений группы с точностью до изоморфизма. Позволять быть представлением и разреши быть набором всех изотипов проекция соответствующая каноническому разложению дается выражением
где а также персонаж принадлежит
Далее мы покажем, как определить изотип тривиального представления:
Определение (формула проекции). Для каждого представительства группы мы определяем
В общем, не является -линейный. Мы определяем
потом это -линейная карта, потому что
Предложение. Карта это проекция от к
Это предложение позволяет нам явно определить изотип тривиального подпредставления данного представления.
Как часто тривиальное представление встречается в дан кем-то Этот результат является следствием того факта, что собственные значения проекции только или же и что собственное подпространство, соответствующее собственному значению это изображение проекции. Поскольку след проекции представляет собой сумму всех собственных значений, получаем следующий результат
в котором обозначает изотип тривиального представления.
Позволять - нетривиальное неприводимое представление Тогда изотип тривиальному представлению это пустое пространство. Это означает, что выполняется следующее уравнение
Позволять быть ортонормированный базис из Тогда у нас есть:
Следовательно, для нетривиального неприводимого представления верно следующее :
Пример. Позволять- группы перестановок в трех элементах. Позволять быть линейным представлением определяется на порождающих элементах следующим образом:
Это представление может быть разложено на левое регулярное представление который обозначается в дальнейшем и представление с участием
С помощью критерия несводимости, взятого из следующей главы, мы смогли понять, что неприводимо, но не является. Это потому, что (с точки зрения внутреннего продукта из раздела «Внутренний продукт и персонажи» ниже) у нас есть
Подпространство из инвариантно относительно леворегулярного представления. Ограничиваясь этим подпространством, мы получаем тривиальное представление.
Ортогональное дополнение к является Ограничено этим подпространством, которое также –Инвариантно, как мы видели выше, получаем представление дано
Опять же, мы можем использовать критерий неприводимости из следующей главы, чтобы доказать, что неприводимо. Сейчас, а также изоморфны, потому что для всех в котором задается матрицей
Разложение в неприводимых подпредставлениях это: где обозначает тривиальное представление, а
- соответствующее разложение пространства представления.
Мы получаем каноническое разложение, комбинируя все изоморфные неприводимые подпредставления: это -изотип и, следовательно, каноническое разложение дается формулой
Приведенные выше теоремы в общем случае не верны для бесконечных групп. Это будет продемонстрировано на следующем примере: пусть
Вместе с матричным умножением бесконечная группа. действует на умножением матрицы на вектор. Рассмотрим представление для всех Подпространство это -инвариантное подпространство. Однако не существует-инвариантное дополнение к этому подпространству. Предположение, что такое дополнение существует, влечет за собой диагонализуемость каждой матрицы над Это, как известно, неверно и поэтому приводит к противоречию.
Мораль этой истории состоит в том, что если мы рассматриваем бесконечные группы, возможно, что представление - даже такое, которое не является неприводимым - не может быть разложено на прямую сумму неприводимых подпредставлений.
Теория характера
Определения
Характер некоторого представления определяется как карта
в котором обозначает след линейного отображения [4]
Несмотря на то, что символ является отображением между двумя группами, в общем случае это не гомоморфизм групп , как показывает следующий пример.
Позволять быть представлением, определяемым:
Характер дан кем-то
Особенно легко вычислить символы представлений перестановок . Если V - G -представление, соответствующее левому действию на конечном множестве , тогда
Например, [5] характер регулярного представления дан кем-то
где обозначает нейтральный элемент
Характеристики
Важнейшим свойством персонажей является формула
Эта формула следует из того, что след произведения AB двух квадратных матриц совпадает со следом BA . Функцииудовлетворяющие такой формуле, называются функциями классов . Иными словами, функции классов и, в частности, символы постоянны для каждого класса сопряженности. Из элементарных свойств следа также следует, что это сумма собственных изс кратностью. Если степень представления равна n , то сумма равна n . Если s имеет порядок т , эти собственные значения всех M -го корни из единицы . Этот факт можно использовать, чтобы показать, что и это также подразумевает
Поскольку след единичной матрицы - это количество строк, где нейтральный элемент и n - размерность представления. В общем,является нормальной подгруппой в В следующей таблице показано, как символы двух данных представлений рождают персонажей связанных представлений.
Персонажи нескольких стандартных построек
Представление
Персонаж
двойное представительство
прямая сумма
тензорное произведение представлений
симметричный квадрат
переменный квадрат
По построению существует разложение в прямую сумму . Для символов это соответствует тому факту, что сумма двух последних выражений в таблице равна, характер .
Внутренний продукт и персонажи
Чтобы показать некоторые особенно интересные результаты о персонажах, полезно рассмотреть более общий тип функций для групп:
Определение (функции класса). Функцияназывается функцией класса, если она постоянна на классах сопряженности, т.е.
Обратите внимание, что каждый символ является функцией класса, так как след матрицы сохраняется при сопряжении.
Набор всех функций класса - это –Алгебра и обозначается . Его размерность равна количеству классов сопряженности
Доказательства следующих результатов этой главы можно найти в [1] , [2] и [3] .
Скалярное произведение может быть определено на множестве всех функций класса на конечной группы:
Ортонормированное свойство. Если - различные неприводимые характеры , они образуют ортонормированный базис для векторного пространства всех функций класса относительно внутреннего продукта, определенного выше, т. е.
Каждая функция класса может быть выражена как уникальная линейная комбинация неприводимых символов .
Можно проверить, что неприводимые символы порождают показав, что не существует функции ненулевого класса, ортогональной всем неприводимым характерам. Для представление и функция класса, обозначим Тогда для неприводимый, мы имеем из леммы Шура . Предполагать- функция класса, ортогональная всем символам. Тогда по вышеизложенному мы имеем в любое время неприводимо. Но тогда следует, что для всех , по разложимости. Братьбыть регулярным представлением. Применение к какому-то конкретному элементу основы , мы получили . Поскольку это верно для всех, у нас есть
Из ортонормированного свойства следует, что количество неизоморфных неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных с
Кроме того, функция класса на персонаж тогда и только тогда, когда он может быть записан как линейная комбинация различных неприводимых символов с неотрицательными целыми коэффициентами: если является функцией класса на такой, что где неотрицательные целые числа, тогда характер прямой суммы представительств соответствующий И наоборот, всегда можно записать любой символ как сумму несократимых символов.
Скалярное произведение определено выше , может быть продлен на множестве всех-значные функции на конечной группе:
Симметричная билинейная форма также может быть определена на
Эти две формы совпадают по набору символов. Если нет опасности путаницы, указатель обеих форм а также будет опущен.
Позволять быть двумя –Модули. Обратите внимание, что–Модули - это просто представления . Поскольку ортонормированность дает количество неприводимых представлений ровно количество его классов сопряженности, то простых –Модулей (с точностью до изоморфизма), поскольку существуют классы сопряженности
Мы определяем в котором векторное пространство всех –Линейные карты. Эта форма билинейна по отношению к прямой сумме.
В дальнейшем эти билинейные формы позволят нам получить некоторые важные результаты, касающиеся разложения и неприводимости представлений.
Например, пусть а также быть персонажами а также соответственно. потом
Из приведенных выше результатов, а также леммы Шура и полной приводимости представлений можно вывести следующую теорему.
Теорема. Позволять быть линейным представлением с характером Позволять где неприводимы. Позволять быть неприводимым представлением с характером Тогда количество подпредставлений которые изоморфны не зависит от данного разложения и равен внутреннему произведению т.е. –Изотип из не зависит от выбора разложения. Мы также получаем:
и поэтому
Следствие. Два представления с одним и тем же характером изоморфны. Это означает, что каждое представление определяется своим характером.
Таким образом, мы получаем очень полезный результат для анализа представлений:
Критерий несводимости. Позволять быть персонажем представления тогда у нас есть Дело выполняется тогда и только тогда, когда неприводимо.
Поэтому, используя первую теорему, характеры неприводимых представлений сформировать ортонормированный набор на относительно этого внутреннего продукта.
Следствие. Позволять быть векторным пространством с Данное неприводимое представление из содержится – Раз в регулярном представлении . Другими словами, если обозначает регулярное представление тогда у нас есть: в котором - множество всех неприводимых представлений попарно неизоморфные друг другу.
В терминах групповой алгебры это означает, что как алгебры.
В качестве численного результата получаем:
в котором - регулярное представление и а также соответствующие символы а также соответственно. Напомним, что обозначает нейтральный элемент группы.
Эта формула является «необходимым и достаточным» условием для задачи классификации неприводимых представлений группы с точностью до изоморфизма. Это дает нам возможность проверить, все ли мы нашли классы изоморфизма неприводимых представлений группы.
Точно так же, используя символ регулярного представления, оцениваемый в получаем уравнение:
Используя описание представлений через алгебру свертки, мы получаем эквивалентную формулировку этих уравнений:
Формула обращения Фурье :
Кроме того, имеет место формула Планшереля :
В обеих формулах является линейным представлением группы а также
Следствие выше имеет дополнительное следствие:
Лемма. Позволять быть группой. Тогда следующее эквивалентно:
является абелевой .
Каждая функция на это функция класса.
Все неприводимые представления иметь степень
Индуцированное представление
Как было показано в разделе о свойствах линейных представлений , мы можем - путем ограничения - получить представление подгруппы, исходя из представления группы. Естественно, нас интересует обратный процесс: возможно ли получить представление группы, исходя из представления подгруппы? Мы увидим, что определенное ниже индуцированное представление дает нам необходимое понятие. По общему признанию, эта конструкция не является обратной, а скорее сопряжена с ограничением.
Определения
Позволять быть линейным представлением Позволять быть подгруппой и ограничение. Позволять быть частным представителем Мы пишем для обозначения этого представления. Позволять Векторное пространство зависит только от левого смежного класса из Позволять быть представителем системы из тогда
является субпредставлением
Представление из в называется индуцированным представлением из в если
Здесь обозначает репрезентативную систему а также для всех и для всех Другими словами: представление индуцируется если каждый можно записать однозначно как
где для каждого
Обозначим представление из индуцированное представлением из в виде или короче если нет опасности путаницы. Само пространство представления часто используется вместо карты представления, т. Е. или же если представление индуцируется
Альтернативное описание индуцированного представления
Используя групповую алгебру, мы получаем альтернативное описание индуцированного представления:
Позволять быть группой, а –Module и а –Подмодуль соответствующая подгруппе из Мы говорим что индуцируется если в котором действует на первый фактор: для всех
Характеристики
Результаты, представленные в этом разделе, будут представлены без доказательства. Их можно найти в [1] и [2] .
Единственность и существование индуцированного представления. Позволять - линейное представление подгруппы из Тогда существует линейное представление из который индуцируется Отметим, что это представление единственно с точностью до изоморфизма.
Транзитивность индукции. Позволять быть представлением и разреши быть восходящей серией групп. Тогда у нас есть
Лемма. Позволять быть вызванным и разреши быть линейным представлением Теперь позвольте - линейное отображение, удовлетворяющее тому свойству, что для всех Тогда существует однозначно определенное линейное отображение который расширяет и для чего действительно для всех
Это означает, что если мы интерпретируем как –Module, имеем где векторное пространство всех –Гомоморфизмы к То же самое верно для
Индукция по функциям классов. Таким же образом, как это было сделано с представлениями, мы можем - по индукции - получить функцию класса на группе из функции класса на подгруппе. Позволять быть функцией класса на Определим функцию на от
Мы говорим это индуцированное с помощью и писать или же
Предложение. Функция является функцией класса на Если это характер представления из тогда - характер индуцированного представления из
Лемма. Если является функцией класса на а также является функцией класса на тогда у нас есть:
Теорема. Позволять быть представлением индуцированный представлением подгруппы Позволять а также - соответствующие символы. Позволять быть репрезентативной системой Индуцированный характер задается формулой
Взаимность Фробениуса
В качестве упреждающего вывода, урок, который следует извлечь из взаимности Фробениуса, заключается в том, что карты а также которые сопряжены друг с другом.
Позволять быть неприводимым представлением и разреши быть неприводимым представлением то взаимность Фробениуса говорит нам, что содержится в так часто как содержится в
Взаимность Фробениуса. Если а также у нас есть
Это утверждение также действительно для внутреннего продукта .
Критерий неприводимости Макки
Джордж Макки установил критерий неприводимости индуцированных представлений. Для этого нам сначала понадобятся некоторые определения и некоторые спецификации относительно обозначений.
Два представления а также группы называются непересекающимися , если у них нет общей неприводимой компоненты, т. е. если
Позволять быть группой и пусть быть подгруппой. Мы определяем для Позволять - представление подгруппы Это определяет ограничением представление из Мы пишем для Мы также определяем другое представление из от Эти два представления не следует путать.
Критерий неприводимости Макки. Индуцированное представление неприводимо тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
неприводимо
Для каждого два представления а также из не пересекаются. [6]
В случае нормально у нас есть а также . Таким образом получаем следующее:
Следствие. Позволять нормальная подгруппа группы потом неприводимо тогда и только тогда, когда неприводимо и не изоморфно сопряженным для
Обращения к особым группам
В этом разделе мы представляем некоторые приложения уже представленной теории к нормальным подгруппам и специальной группе, полупрямому произведению подгруппы с абелевой нормальной подгруппой.
Предложение. Позволять быть нормальной подгруппой группы и разреши быть неприводимым представлением Тогда должно выполняться одно из следующих утверждений:
либо существует собственная подгруппа из содержащий , и неприводимое представление из что побуждает ,
или же это изотип -модуль.
Доказательство. Рассмотреть возможность как -модуль, и разложить его на изотипы как . Если это разложение тривиально, то мы во втором случае. В противном случае больший - действие переставляет эти изотипические модули; так как неприводима как -модуль действие перестановки транзитивно (фактически примитивно ). Исправить любой ; стабилизатор в из Элементарно видно проявление заявленных свойств.
Обратите внимание, что если абелев, то изотипические модули неприводимы, степени один и все гомотетии.
Получаем также следующее
Следствие. Позволять абелева нормальная подгруппа в и разреши любое неприводимое представление Обозначим через индекс по в потом [1]
Если является абелевой подгруппой в (не обязательно нормально), как правило не устраивает, но тем не менее все еще в силе.
Классификация представлений полупрямого произведения
Далее пусть - полупрямое произведение такое, что нормальный полупрямой фактор, , абелева. Неприводимые представления такой группы можно классифицировать, показав, что все неприводимые представления могут быть построены из некоторых подгрупп . Это так называемый метод «маленьких групп» Вигнера и Макки.
С является абелевы , неприводимые характеры иметь степень один и составлять группу Группа действует на от для
Позволять быть представителем системы на орбите из в Для каждого позволять Это подгруппа Позволять - соответствующая подгруппа в Теперь расширим функцию на от для Таким образом, является функцией класса на Более того, поскольку для всех можно показать, что является гомоморфизмом групп из к Следовательно, мы имеем представление степени один, равной своему собственному характеру.
Пусть сейчас быть неприводимым представлением Тогда мы получаем неприводимое представление из путем объединения с канонической проекцией Наконец, мы построим тензорное произведение из а также Таким образом, мы получаем неприводимое представление из
Чтобы окончательно получить классификацию неприводимых представлений мы используем представление из индуцированное тензорным произведением Таким образом, мы добиваемся следующего результата:
Предложение.
неприводимо.
Если а также изоморфны, то и дополнительно изоморфен
Каждое неприводимое представление изоморфен одному из
Среди прочего, критерий Макки и вывод, основанный на взаимности Фробениуса, необходимы для доказательства предложения. Более подробную информацию можно найти в [1] .
Другими словами, мы классифицировали все неприводимые представления
Представительное кольцо
Представительное кольцо определяется как абелева группа
Характер определяет гомоморфизм колец в множестве всех функций классов на со сложными значениями
в котором неприводимые характеры, соответствующие
Поскольку представление определяется его характером, является инъективным . Образыназываются виртуальными персонажами .
Поскольку неприводимые характеры образуют ортонормированный базис из индуцирует изоморфизм
Этот изоморфизм определяется на основе элементарных тензоров от соответственно и расширенный билинейно .
Мы пишем для набора всех персонажей а также для обозначения группы, порожденной т.е. набор всех отличий двух персонажей. Тогда он считает, что а также Таким образом, мы имеем а виртуальные персонажи оптимальным образом соответствуют виртуальным представлениям.
С держит, это набор всех виртуальных персонажей. Поскольку произведение двух символов дает другой символ, является подкольцом кольца всех функций класса на Поскольку составляют основу получаем, как и в случае изоморфизм
Позволять быть подгруппой Таким образом, ограничение определяет гомоморфизм колец который будем обозначать или же Точно так же индукция по функциям классов определяет гомоморфизм абелевых групп который будет записан как или короче
Согласно взаимности Фробениуса эти два гомоморфизма сопряжены относительно билинейных форм а также Кроме того, формула показывает, что изображение является идеальным кольца
По ограничению представлений отображение можно определить аналогично для и по индукции получаем отображение для Благодаря взаимности Фробениуса мы получаем результат, что эти карты сопряжены друг с другом и что изображение является идеальным кольца
Если коммутативное кольцо, гомоморфизмы а также может быть продлен до –Линейные карты:
в котором все неприводимые представления с точностью до изоморфизма.
С участием получаем, в частности, что а также поставлять гомоморфизмы между а также
Позволять а также две группы с соответствующими представлениями а также Потом, является представлением прямого произведения как было показано в предыдущем разделе . Другой результат этого раздела заключался в том, что все неприводимые представления это именно представления где а также неприводимые представления а также соответственно. Это переходит в кольцо представлений как тождество в котором - тензорное произведение колец представлений при–Модули.
Индукционные теоремы
Индукционные теоремы связывают представление кольца заданной конечной группы G к представлению кольцам семейства X , состоящему из некоторого подмножества H из G . Точнее, для такого набора подгрупп индукционный функтор дает отображение
; Теоремы индукции дают критерии сюръективности этого отображения или близких к нему.
Теорема индукции Артина - самая элементарная теорема в этой группе результатов. Он утверждает, что следующие эквиваленты:
Коядро из конечно.
является объединением сопряженных подгрупп, принадлежащих т.е.
С конечно порождена как группа, первый пункт можно перефразировать следующим образом:
Для каждого персонажа из существуют виртуальные персонажи и целое число такой, что
Серр (1977) приводит два доказательства этой теоремы. Например, поскольку G является объединением своих циклических подгрупп, каждый характер группыявляется линейной комбинацией с рациональными коэффициентами характеров, индуцированных характерами циклических подгрупп группыТак как представления циклических групп хорошо понимать, в частности, неприводимые представления одномерно, это дает некоторый контроль над представлениями G .
При вышеуказанных обстоятельствах в целом неверно, что сюръективно. Теорема индукции Брауэра утверждает, чтосюръективно, если X - семейство всех элементарных подгрупп . Здесь группа H является элементарной , если существуют некоторый простой р такой , что H является прямым произведением из циклической группы порядка штриха к и п {\ displaystyle p}
–Группа . Другими словами, каждый персонаж изпредставляет собой линейную комбинацию с целыми коэффициентами характеров, индуцированных персонажами элементарных подгрупп. Элементарные подгруппы H, возникающие в теореме Брауэра, имеют более богатую теорию представлений, чем циклические группы, они по крайней мере обладают тем свойством, что любое неприводимое представление для такой H индуцируется одномерным представлением (обязательно также элементарной) подгруппы. (Это последнее свойство может быть показано для любой сверхразрешимой группы , которая включает нильпотентные группы и, в частности, элементарные группы.) Эта способность индуцировать представления из представлений степени 1 имеет некоторые дальнейшие следствия в теории представлений конечных групп.
Реальные представления
Для доказательств и дополнительной информации о представлениях над общими подполями пожалуйста, обратитесь к [2] .
Если группа действует в реальном векторном пространстве соответствующее представление на комплексном векторном пространстве называется реальным (называется комплексификацией из). Соответствующее представление, упомянутое выше, дается формулой для всех
Позволять быть реальным представлением. Линейная карта является -ценен для всех Таким образом, мы можем сделать вывод, что характер реального представления всегда действительный. Но не всякое представление с действительным знаком реально. Чтобы прояснить это, позвольте конечная неабелева подгруппа группы
потом действует на Поскольку след любой матрицы в является вещественным, характер представления действительный. Предполагать является реальным представлением, то будет состоять только из матриц с действительными значениями. Таким образом, Однако круговая группа абелева, но была выбрана неабелевой группой. Теперь нам нужно только доказать существование неабелевой конечной подгруппы группы Чтобы найти такую группу, обратите внимание, что можно отождествить с единицами кватернионов . Теперь позвольте Следующее двумерное представление не имеет действительного значения, но имеет реальный характер:
Тогда образ не имеет реального значения, но, тем не менее, это подмножество Таким образом, характер представления реален.
Лемма. Неприводимое представление из вещественно тогда и только тогда, когда существует невырожденная
симметричная билинейная форма на сохранен
Неприводимое представление на реальном векторном пространстве может стать приводимым при расширении поля до Например, следующее вещественное представление циклической группы приводимо, если рассматривать его над
Следовательно, классифицируя все неприводимые представления, действительные над мы до сих пор не классифицировали все неприводимые реальные представления. Но мы добиваемся следующего:
Позволять быть реальным векторным пространством. Позволять действовать несводимо на и разреши Если не является неприводимым, существует ровно два неприводимых фактора, которые являются комплексно сопряженными представлениями
Определение. Кватернионно представление является (комплекс) представление который обладает –Инвариантный антилинейный гомоморфизм удовлетворение Таким образом, кососимметричная невырожденная–Инвариантная билинейная форма определяет кватернионную структуру на
Теорема. Неприводимое представление является одним и только одним из следующих:
(i) комплекс: не имеет реальной стоимости и не существует –Инвариантная невырожденная билинейная форма на
(ii) реальные: реальное представление; имеет –Инвариантная невырожденная симметричная билинейная форма .
(iii) кватернионный: реально, но не реально; имеет –Инвариантная кососимметричная невырожденная билинейная форма.
Представления отдельных групп
Симметричные группы
Представление симметрических групп были интенсивно изучены. Классы сопряженности в(и , следовательно, указанными выше, неприводимые) соответствуют перегородкам из п . Например, имеет три неприводимых представления, соответствующих разбиениям
3; 2 + 1; 1 + 1 + 1
из 3. Для такого разбиения таблица Юнга представляет собой графическое устройство, изображающее разбиение. Неприводимое представление, соответствующее такому разбиению (или таблице Юнга), называется модулем Шпехта .
Представления различных симметрических групп связаны: любое представление дает представление о по индукции и наоборот по ограничению. Прямая сумма всех этих колец представлений
наследует от этих конструкций структуру алгебры Хопфа, которая, как оказывается, тесно связана с симметрическими функциями .
Конечные группы лиева типа
В определенной степени представления , при изменении n имеют тот же вкус, что и; Вышеупомянутый процесс индукции заменяется так называемой параболической индукцией . Однако в отличие от, где все представления могут быть получены индукцией по тривиальным представлениям, это неверно для . Вместо этого необходимы новые строительные блоки, известные как куспидальные представления .
Представления и вообще, представления конечных групп лиева типа хорошо изучены. Боннафе (2011) описывает представленияОшибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFBonnafé2011 ( справка ). Геометрическое описание неприводимых представлений таких групп, в том числе вышеупомянутых каспидальных представлений, получается теорией Делиня-Люстиг , который строит такое представление в Салических когомологиях из разновидностей Делиня-Люстиг .
Подобие теории представлений а также выходит за рамки конечных групп. Философии параболических форм подчеркивают родство представления теоретических аспектов этих типов групп с общими линейными группами локальных полей , такими как Q р и кольца аделей см Bump (2004) .
Outlook - представления компактных групп
Теория представлений компактных групп может быть до некоторой степени распространена на локально компактные группы . В этом контексте теория представлений приобретает большое значение для гармонического анализа и изучения автоморфных форм. Для доказательств, дополнительной информации и более подробного понимания, выходящего за рамки данной главы, обратитесь к [4] и [5] .
Определение и свойства
Топологическая группа представляет собой группу вместе с топологией , относительно которой композиция группы и инверсии непрерывны . Такая группа называется компактной , если любое покрытиекоторое открыто в топологии, имеет конечное подпокрытие. Замкнутые подгруппы компактной группы снова компактны.
Позволять компактная группа и пусть быть конечномерным –Векторное пространство. Линейное представление к является непрерывным гомоморфизмом групп т.е. является непрерывной функцией от двух переменных а также
Линейное представление в банахово пространство определяется как непрерывный групповой гомоморфизм в множество всех биективных ограниченных линейных операторов нас непрерывным обратным. Смы можем обойтись без последнего требования. В дальнейшем мы будем рассматривать, в частности, представления компактных групп в гильбертовых пространствах .
Как и в случае с конечными группами, мы можем определить групповую алгебру и алгебру свертки . Однако групповая алгебра не дает полезной информации в случае бесконечных групп, поскольку условие непрерывности теряется во время построения. Вместо сверточной алгебры занимает свое место.
Большинство свойств представлений конечных групп можно перенести с соответствующими изменениями на компактные группы. Для этого нам понадобится аналог суммирования по конечной группе:
Существование и единственность меры Хаара
О компактной группе существует ровно одна мера такой, что:
Это лево-трансляционно-инвариантная мера
Вся группа имеет единицу измерения:
Такая лево-трансляционно-инвариантная нормированная мера называется мерой Хаара группы
С компактна, можно показать, что эта мера также инвариантна вправо относительно сдвигов, т.е.
Согласно приведенному выше скейлингу мера Хаара на конечной группе задается формулой для всех
Все определения представлений конечных групп, упомянутые в разделе «Свойства» , также применимы к представлениям компактных групп. Но необходимы некоторые модификации:
Чтобы определить подпредставление, нам теперь нужно замкнутое подпространство. В этом не было необходимости для конечномерных пространств представления, потому что в этом случае каждое подпространство уже закрыто. Кроме того, два представления компактной группы называются эквивалентными, если существует биективный, непрерывный, линейный оператор между пространствами представления, обратное к которому также непрерывно и которое удовлетворяет для всех
Если унитарен, эти два представления называются унитарными эквивалентами .
Чтобы получить –Инвариантный внутренний продукт из не–Инвариантно, теперь нужно воспользоваться интегралом по вместо суммы. Еслиявляется скалярным произведением в гильбертовом пространстве которое не инвариантно относительно представления из тогда
это –Инвариантный внутренний продукт на в силу свойств меры Хаара Таким образом, мы можем считать каждое представление в гильбертовом пространстве унитарным.
Позволять компактная группа и пусть Позволять - гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на Определим оператор на этом пространстве где
Карта является унитарным представлением Это называется леворегулярным представлением . Правой регулярное представление определяется аналогично. В качестве меры Хаара также инвариантен к правому сдвигу, оператор на дан кем-то Правильно-регулярное представление - это унитарное представление, задаваемое формулой Два представления а также двойственны друг другу.
Если бесконечно, эти представления не имеют конечной степени. Правое и левое регулярное представление , как это определенно в начале изоморфно левое и правый регулярное представление , как определенно выше, если группаконечно. Это связано с тем, что в данном случае
Построения и разложения
Различные способы построения новых представлений из данных могут быть использованы и для компактных групп, за исключением двойственного представления, с которым мы будем иметь дело позже. Прямая сумма и тензорное произведение с конечным числом слагаемых / факторы , определены точно так же, как и для конечных групп. Это также относится к симметричному и чередующемуся квадрату. Однако нам нужна мера Хаара на прямом произведении компактных групп, чтобы расширить теорему о том, что неприводимые представления произведения двух групп являются (с точностью до изоморфизма) в точности тензорным произведением неприводимых представлений фактор-групп. Прежде всего отметим, что прямое произведениеиз двух компактных групп снова является компактной группой, если ей предоставлена топология произведения. Тогда мера Хаара на прямом произведении задается произведением мер Хаара на фактор-группах.
Для двойственного представления на компактных группах нам потребуется топологическое двойственное векторного пространства Это векторное пространство всех непрерывных линейных функционалов из векторного пространства в базовое поле. Позволять - представление компактной группы в
Двойственное представление определяется свойством
Таким образом, мы можем заключить, что двойственное представление дается формулой для всех Карта снова является гомоморфизмом непрерывных групп и, следовательно, представлением.
О гильбертовых пространствах: неприводимо тогда и только тогда, когда неприводимо.
Перенося результаты секционных разложений на компактные группы, получаем следующие теоремы:
Теорема. Каждое неприводимое представление компактной группы в гильбертово пространство конечномерно и существует скалярное произведение на такой, что унитарен. Поскольку мера Хаара нормирована, этот скалярный продукт уникален.
Каждое представление компактной группы изоморфно прямой гильбертовой сумме неприводимых представлений.
Позволять - унитарное представление компактной группы Как и для конечных групп, мы определяем для неприводимого представления изотип или изотипический компонент в быть подпространством
Это сумма всех инвариантных замкнутых подпространств которые –Изоморфен
Отметим, что изотипы неэквивалентных неприводимых представлений попарно ортогональны.
Теорема.
(я) - замкнутое инвариантное подпространство в
(ii) является –Изоморфен прямой сумме копий
(iii) Каноническое разложение: прямая гильбертова сумма изотипов в котором проходит через все классы изоморфизма неприводимых представлений.
Соответствующая проекция на каноническое разложение в котором это изотип для компактных групп, заданных формулой
где а также - характер, соответствующий неприводимому представлению
Формула проекции
Для каждого представительства компактной группы мы определяем
В общем не является –Линейный. Позволять
Карта определяется как эндоморфизм на имея собственность
что справедливо для скалярного произведения гильбертова пространства
потом является –Линейный, из-за
где мы использовали инвариантность меры Хаара.
Предложение. Карта это проекция от к
Если представление конечномерно, можно определить прямую сумму тривиального подпредставления, как и в случае конечных групп.
Персонажи, лемма Шура и скалярное произведение
Как правило, представления компактных групп изучаются в гильбертовых и банаховых пространствах . В большинстве случаев они не конечномерны. Поэтому, говоря о представлениях компактных групп, нецелесообразно ссылаться на характеры . Тем не менее, в большинстве случаев можно ограничиться случаем конечных размеров:
Поскольку неприводимые представления компактных групп конечномерны и унитарны (см. Результаты первого пункта ), мы можем определить неприводимые характеры так же, как это было сделано для конечных групп.
Пока построенные представления остаются конечномерными, характеры вновь построенных представлений могут быть получены так же, как и для конечных групп.
Лемма Шура верна и для компактных групп:
Позволять неприводимое унитарное представление компактной группы Тогда каждый ограниченный оператор удовлетворение собственности для всех является скалярным кратным тождества, т. е. существует такой, что
Определение. Формула
определяет внутренний продукт на множестве всех квадратично интегрируемых функций компактной группы так же
определяет билинейную форму на компактной группы
Билинейная форма на пространствах представлений определяется точно так же, как и для конечных групп, и, как и для конечных групп, справедливы следующие результаты:
Теорема. Позволять а также - характеры двух неизоморфных неприводимых представлений а также соответственно. Тогда верно следующее
т.е. имеет "норму"
Теорема. Позволять быть представлением с характером Предполагать неприводимое представление с характером Количество подпредставлений эквивалентно не зависит от любого данного разложения для и равен внутреннему продукту
Критерий несводимости. Позволять быть персонажем представления тогда положительное целое число. более того если и только если неприводимо.
Поэтому, используя первую теорему, характеры неприводимых представлений сформировать ортонормированный набор на относительно этого внутреннего продукта.
Следствие. Каждое неприводимое представление из содержится –Times в лево-регулярном представлении.
Лемма. Позволять - компактная группа. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
абелева.
Все неприводимые представления иметь степень
Ортонормированное свойство. Позволять быть группой. Неизоморфные неприводимые представления образуют ортонормированный базис в относительно этого внутреннего продукта.
Поскольку мы уже знаем, что неизоморфные неприводимые представления ортонормированы, нам нужно только проверить, что они порождают Это можно сделать, доказав, что не существует ненулевой интегрируемой с квадратом функции на ортогонален всем неприводимым персонажам.
Как и в случае конечных групп, количество неприводимых представлений с точностью до изоморфизма группы равно количеству классов сопряженности Однако, поскольку компактная группа имеет в общем бесконечно много классов сопряженности, это не дает никакой полезной информации.
Индуцированное представление
Если замкнутая подгруппа конечного индекса в компактной группеопределение индуцированного представления для конечных групп может быть принято.
Однако индуцированное представление может быть определено более широко, так что определение действительно независимо от индекса подгруппы
Для этого пусть - унитарное представление замкнутой подгруппы Непрерывное индуцированное представление определяется следующим образом:
Позволять обозначают гильбертово пространство всех измеримых, суммируемых с квадратом функций с собственностью для всех Норма определяется как
и представительство дается как правильный перевод:
Тогда индуцированное представление снова является унитарным.
С компактно, индуцированное представление можно разложить в прямую сумму неприводимых представлений Обратите внимание, что все неприводимые представления, принадлежащие одному изотипу, появляются с кратностью, равной
Позволять быть представлением тогда существует канонический изоморфизм
В взаимности фробениусовы передает, вместе с модифицированными определениями внутреннего продукта и билинейной формы, в компактные группы. Теперь теорема верна для суммируемых с квадратом функций на вместо функций класса, но подгруппа должен быть закрыт.
Теорема Питера-Вейля
Другим важным результатом теории представлений компактных групп является теорема Питера-Вейля. Обычно он представляется и доказывается в гармоническом анализе , поскольку представляет собой одно из его центральных и фундаментальных утверждений.
Теорема Питера-Вейля. Позволять - компактная группа. Для всякого неприводимого представления из позволять быть ортонормированный базис из Определим матричные коэффициенты для Тогда мы имеем следующий ортонормированный базис из :
Мы можем переформулировать эту теорему, чтобы получить обобщение ряда Фурье для функций на компактных группах:
Теорема Питера-Вейля (вторая версия). [7] Существует естественный –Изоморфизм
в котором - множество всех неприводимых представлений с точностью до изоморфизма и - пространство представления, соответствующее Более конкретно:
История
В общих чертах теории представлений о наличии конечной группы G , над комплексными числами , были обнаружены Фробениус в период до 1900 г. Позже в модульной теории представлений о Ричарде Брауэр были разработаны.
Смотрите также
Теория характера
Реальное представление
Соотношения ортогональности Шура
Гипотеза Маккея
Кольцо Burnside
Литература
Боннафе, Седрик (2010). Представления SL2 (Fq) . Алгебра и приложения. 13 . Springer. ISBN 9780857291578.
Удар, Дэниел (2004), Группы Ли , Тексты для выпускников по математике, 225 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-21154-3
[1] Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN. 0-387-90190-6
[2] Фултон, Уильям; Харрис, Джо: Теория представлений - первый курс. Springer-Verlag, Нью-Йорк 1991, ISBN 0-387-97527-6 .
[3] Альперин, JL; Белл, Роуэн Б.: Группы и представления Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94525-3 .
[5] Эхтерхофф, Зигфрид; Дейтмар, Антон: Принципы гармонического анализа Springer-Verlag 2009, ISBN 978-0-387-85468-7 , стр. 127–150
[6] Лэнг, Серж: Алгебра Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2002, ISBN 0-387-95385-X , с. 663-729
[7] Сенгупта, Амбар (2012). Представление конечных групп: полупростое введение . Нью-Йорк. ISBN 9781461412311. OCLC 769756134 .
Рекомендации
↑ ( Серр, 1971 , с. 47)ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSerre1971 ( справка )
^ ( Сенгупта 2012 , с. 62)
^ Доказательство. Предполагатьотличен от нуля. потом действительно для всех Следовательно, получаем для всех а также И теперь мы знаем, что является –Инвариантный. С неприводимо и мы приходим к выводу Теперь позвольте Значит, существует такой, что и у нас есть Таким образом, мы заключаем, что это –Инвариантное подпространство. Так как отличен от нуля и неприводимо, имеем Следовательно, является изоморфизмом, и первое утверждение доказано. Предположим теперь, что Поскольку наше базовое поле мы знаем это имеет хотя бы одно собственное значение Позволять тогда и у нас есть для всех Согласно приведенным выше соображениям это возможно только в том случае, если т.е.
^ Некоторые авторы определяют персонажа как, но это определение не используется в данной статье.
^ с помощью действия G на себя, заданного формулой
^ Доказательство этой теоремы можно найти в [1] .
^ Доказательство этой теоремы и дополнительную информацию по теории представлений компактных групп можно найти в [5] .