Класс сопряженности

Два Кэли графы из двугранных групп с классами сопряженности , отличающихся по цвету.

В математике , в частности теории групп , двух элементов $через$ и $б$ о наличии группы являются сопряженными , если существует элемент $г$ в группе таким образом, что $б = г -1 аг$ . Это отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого называются классами сопряженности .

Члены одного и того же класса сопряженности нельзя различить, используя только структуру группы, и поэтому они имеют много общих свойств. Изучение классов сопряженности неабелевых групп является фундаментальным для изучения их строения. ^[1]^[2] Для абелевой группы каждый класс сопряженности - это набор, содержащий один элемент ( одноэлементный набор ).

Функции, которые являются постоянными для членов одного и того же класса сопряженности, называются функциями класса .

Определение [ править ]

Пусть $G$ - группа. Два элемента и $б$ из $G$ являются сопряженными , если существует такой элемент $г$ в $G$ таким образом, что $затычка$ $-1$ $=$ $б$ . Один говорит также , что $б$ является сопряженным и является сопряженным $б$ .

В случае группы $GL (п)$ из обратимых матриц , сопряженность соотношение называется матрица подобия .

Легко показать, что сопряжение является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивает G на классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряженности, и классы Cl ( a ) и Cl ( b ) равны тогда и только тогда, когда a и b сопряжены, и не пересекаются в противном случае.) Класс эквивалентности, содержащий элемент a в G есть

Cl (a) = {gag -1 | g \in G}

и называется класс сопряженности из . Число классов группы $G$ - это количество различных (неэквивалентных) классов сопряженности. Все элементы, принадлежащие к одному классу сопряженности, имеют одинаковый порядок .

На классы сопряженности можно ссылаться путем их описания или, более кратко, с помощью таких сокращений, как «6A», означающее «определенный класс сопряженности элементов порядка 6», и «6B» будет другим классом сопряженности элементов порядка 6; класс сопряженности 1A - это класс сопряженности тождества. В некоторых случаях классы сопряженности можно описать единообразно; например, в симметричной группе их можно описать циклической структурой.

Примеры [ править ]

Симметрическая группа S ₃ , состоящая из 6 перестановок трех элементов, имеет три класса сопряженности:

без изменений (abc → abc)

транспонирование двух (abc → acb, abc → bac, abc → cba)

циклическая перестановка всего три (ABC → BCA, аЬс → кабина)

Эти три класса также соответствует классификации изометрии в качестве равностороннего треугольника .

Таблица, показывающая

bab -1

для всех пар

(a, b)

с

a, b \in S 4

(сравнить нумерованный список ) . Каждая строка содержит все элементы класса сопряженности из ,

и каждый столбец содержит все элементы

S 4

.

Симметричная группа S 4 , состоящая из 24 перестановок из четырех элементов, имеет пять классов сопряженных, перечисленные с их структурами цикла и заказами:

(1) ₄ без изменений (1 элемент: {(1, 2, 3, 4)}). Единственная строка, содержащая этот класс сопряженности, показана как строка черных кружков в соседней таблице.

(2) замена двух (6 элементов: {(1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4)}). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены зеленым цветом в соседней таблице.

(3) циклическая перестановка трех (8 элементов: {(1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4)}). 8 строк, содержащих этот класс сопряженности, показаны обычным шрифтом (без жирного шрифта или выделения цветом) в соседней таблице.

(4) циклическая перестановка всех четырех (6 элементов: {(2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2) , 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2)}). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены оранжевым цветом в соседней таблице.

(2) (2) замена двух, а также двух других (3 элемента: {(2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}) . 3 строки, содержащие этот класс сопряженности, выделены полужирным шрифтом в соседней таблице.

В собственных вращений куба , которые могут быть охарактеризованы с помощью перестановок диагоналей, также описываются сопряжения в S ₄ .

В общем, число классов сопряженных элементов в симметрической группы S _п равно числу разбиений из п . Это потому, что каждый класс сопряженности соответствует ровно одному разбиению {1, 2, ..., n } на циклы с точностью до перестановки элементов {1, 2, ..., n }.

В общем, евклидова группа может быть изучена путем сопряжения изометрий в евклидовом пространстве .

Свойства [ править ]

Идентификационный элемент всегда является единственным элементом в своем классе, то есть $Cl (e) = {e}$
Если $G$ является абелевой , то $затычки -1 =$ для всех $а$ и $г$ в $G$ ; так $Cl ( ) = { }$ для всех $а$ в $G$ .
Если два элемента $a$ и $b$ группы $G$ принадлежат одному и тому же классу сопряженности (т. Е. Если они сопряжены), то они имеют одинаковый порядок . В более общем смысле , каждое утверждение о может быть переведен в утверждение о $б$ $=$ $затычки$ $-1$ , поскольку отображение $φ ($ $х$ $) =$ $GXG$ $-1$ является автоморфизм из $G$ . См. Пример в следующем свойстве.
Если $a$ и $b$ сопряжены, то их степени $a k$ и $b k$ тоже . (Доказательство: если $a = gbg -1$ , то $a k = (gbg -1) (gbg -1)\dots (gbg -1) = gb k g -1$ .) Таким образом, принимая $k$ th степеней дает карту классов сопряженности, и можно рассмотреть, какие классы сопряженности находятся в ее прообразе. Например, в симметричной группе квадрат элемента типа (3) (2) (3-цикл и 2-цикл) является элементом типа (3), поэтому один из классов включения питания (3) класс (3) (2) (где является включение питания класс $в$ $K$ ).
Элемент $a$ группы $G$ лежит в центре $Z (G)$ группы $G$ тогда и только тогда, когда его класс сопряженности имеет только один элемент $-$ сам $a$ . В более общем смысле, если $C G (a)$ обозначает централизатор элемента $a$ в $G$ , т. Е. Подгруппу, состоящую из всех элементов $g$ таких, что $ga = ag$ , то индекс $[G : C G (a)]$ равно количеству элементов в классе сопряженности элемента $a$ (по теореме о стабилизаторе орбиты ).
Возьмите и позвольте быть различными целыми числами, которые появляются как длины циклов в типе цикла (включая 1-циклы). Позвольте быть количество циклов длины в для каждого (так что ). Тогда количество конъюгатов равно: ^[1] ${\ displaystyle \ sigma \ in S_ {n}}$ ${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}, ..., m_ {s}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle k_ {i}}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle i = 1,2, ..., s}$ ${\ displaystyle \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {s} k_ {i} m_ {i} = n}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle {\ frac {n!} {(k_ {1}! m_ {1} ^ {k_ {1}}) (k_ {2}! m_ {2} ^ {k_ {2}}) ... (к_ {s}! m_ {s} ^ {k_ {s}})}}}

Спряжение как групповое действие [ править ]

Если мы определим

грамм . х = gxg -1

для любых двух элементов $г$ и $х$ в $G$ , то мы имеем группу действий из $G$ на $G$ . Эти орбиты этого действия являются классами сопряженности, и стабилизатор данного элемента элемента центратор . ^[3]

Аналогичным образом , мы можем определить группу действие $G$ на множестве всех подмножеств из $G$ , в письменной форме

грамм . S = gSg -1

,

или на множестве подгрупп $G$ .

Уравнение класса сопряженности [ править ]

Если $G$ является конечной группой , то для любого элемента группы $а$ , элементы в классе сопряженности находятся во взаимно однозначное соответствие с смежностью в центратора $С$ $G$ $($ $в$ $)$ . Это можно увидеть, заметив, что любые два элемента $b$ и $c,$ принадлежащие одному классу смежности (и, следовательно, $b$ $=$ $cz$ для некоторого $z$ в централизаторе $C$ $G$ $($ $a$ $)$  ), порождают один и тот же элемент при сопряжении $a$ : $bab$ $-1$ $= cza (cz) -1 = czaz -1 c -1 = cazz -1 c -1 = cac -1$ . Это также можно увидеть из теоремы о стабилизаторе орбит , если рассматривать группу как действующую на себя посредством сопряжения, так что орбиты являются классами сопряженности, а стабилизирующие подгруппы являются централизаторами. Верно и обратное.

Таким образом, количество элементов в классе сопряженности элемента $a$ является индексом $[G : C G (a)]$ централизатора $C G (a)$ в $G$  ; следовательно, размер каждого класса сопряженности делит порядок группы.

Кроме того, если мы выберем единственный репрезентативный элемент $x i$ из каждого класса сопряженности, мы выведем из дизъюнктности классов сопряженности, что $| G | = \sum i [G : C G (x i)]$ , где $C G (x i)$ - централизатор элемента $x i$ . Замечание, что каждый элемент центра $Z (G)$ образует класс сопряженности, содержащий только себя, приводит к уравнению класса : ^[4]

| G | = | Z (G) | + \sum i [G : C G (x i)]

где сумма превышает представительный элемент из каждого класса сопряженности, который не находится в центре.

Знание делителей группового порядка $| G |$ часто может использоваться для получения информации о порядке центра или классов сопряженности.

Пример [ править ]

Рассмотрим конечную p -группу $G$ (то есть группу с порядком $p$ $n$ , где $p$ - простое число и $n$ $> 0$ ). Мы собираемся доказать, что каждая конечная $p$ -группа имеет нетривиальный центр .

Поскольку порядок любого класса сопряженности группы $G$ должен делить порядок группы $G$ , отсюда следует, что каждый класс сопряженности $H i,$ который не находится в центре, также имеет порядок некоторой степени $p k i$ , где $0 < k i < n$ . Но тогда уравнение класса требует, чтобы $| G | = p n = | Z (G) | + \sum я п к я$ . Отсюда мы видим, что $p$ должно делить $| Z (G) |$ , так что $| Z (G) | > 1$ .

В частности, когда n = 2, $G$ является абелевой группой, поскольку для любого элемента группы $a$ , $a$ имеет порядок $p$ или $p$ $2$ , если $a$ имеет порядок $p$ $2$ , то $G$ изоморфна циклической группе порядка $p$ $2$ , следовательно абелевский. С другой стороны, если любой нетривиальный элемент в $G$ имеет порядок $p$ , следовательно, по заключению выше $|$ $Z ($ $G$ $)$ $| > 1$ , то $|$ $Z ($ $G$ $)$ $| =$ $p$ $> 1$ или $p$ $2$ . Нам нужно только рассмотреть случай, когда $| Z (G) | = Р > 1$ , то есть элемент $Ь$ из $G$ , которая не находится в центре $G$ . Обратите внимание, что $b$ имеет порядок $p$ , поэтому подгруппа $G,$ порожденная $b,$ содержит $p$ элементов и, таким образом, является собственным подмножеством $C$ $G$ $($ $b$ $)$ , потому что $C$ $G$ $($ $b$ $)$ включает все элементы этой подгруппы и центр, который не содержать $b$ но минимум $p$ элементов. Следовательно, порядок $C$ $G$ $($ $b$ $)$ строго больше $p$ , поэтому $|$ $C$ $G$ $($ $b$ $)$ $|$ = $Р$ $2$ , следовательно , $б$ является элементом центра $G$ . Следовательно, $G$ абелева и фактически изоморфна прямому произведению двух циклических групп порядка $p$ каждая .

Сопряженность подгрупп и общих подмножеств [ править ]

В более общем смысле, учитывая любое подмножество S группы G ( S не обязательно является подгруппой), мы определяем подмножество T группы G как сопряженное с S, если существует некоторый g в G такой, что T = gSg ⁻¹ . Мы можем определить Cl ( S ) как множество всех подмножеств Т из G , таких , что Т сопряжена S .

Часто используемая теорема, что для любого подмножества S из G , то индекс из N ( S ) (The нормализаторных из S ) в G равен порядок Cl ( S ):

{\ Displaystyle | \ OperatorName {Cl} (S) | = [G: N (S)]}

Это следует из того, что если g и h принадлежат G , то gSg ⁻¹ = hSh ⁻¹ тогда и только тогда, когда g ⁻¹h находится в N ( S ), другими словами, если и только если g и h находятся в одном и том же смежный класс N ( S ).

Обратите внимание, что эта формула обобщает приведенную ранее формулу для числа элементов в классе сопряженности (пусть S = { a }).

Выше особенно полезно , когда речь идет о подгруппах G . Таким образом, подгруппы можно разделить на классы сопряженности, причем две подгруппы принадлежат к одному классу тогда и только тогда, когда они сопряжены. Сопряженные подгруппы изоморфны , но изоморфные подгруппы не обязательно сопряжены. Например, абелева группа может иметь две разные подгруппы, которые изоморфны, но никогда не сопряжены.

Геометрическая интерпретация [ править ]

Классы сопряженных элементов в фундаментальной группе о наличии линейно связной топологического пространства можно рассматривать как классы эквивалентности свободных петель под свободной гомотопией.

Класс сопряженности и неприводимые представления в конечной группе [ править ]

В любой конечной группе количество различных (неизоморфных) неприводимых представлений над комплексными числами в точности равно количеству классов сопряженности.

См. Также [ править ]

Топологическая сопряженность
FC-group
Подгруппа, замкнутая по сопряженности

Заметки [ править ]

^ a b Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
^ Лэнг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
^ Грийе (2007), стр. 56
^ Грийе (2007), стр. 57 год

Ссылки [ править ]

Грилье, Пьер Антуан (2007). Абстрактная алгебра . Выпускные тексты по математике. 242 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

Внешние ссылки [ править ]

"Сопряженные элементы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[dummit-1] Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.

[2] Лэнг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . Springer . ISBN 0-387-95385-X.

[Grillet-2007-p56-3] Грийе (2007), стр. 56

[4] Грийе (2007), стр. 57 год

[1]