В математике , то линейная группа степени п есть множество п × п обратимых матриц , вместе с операцией обычного матричного умножения . Это образует группу , потому что произведение двух обратимых матриц снова обратимо, а обратная обратимая матрица обратима, с единичной матрицей в качестве единичного элемента группы. Группа названа так потому, что столбцы обратимой матрицы линейно независимы , поэтому векторы / точки, которые они определяют, находятся в общем линейном положении., а матрицы в общей линейной группе переводят точки общего линейного положения в точки общего линейного положения.
Чтобы быть более точным, необходимо указать, какие объекты могут появляться в элементах матрицы. Например, общая линейная группа над R (набор действительных чисел ) представляет собой группу обратимых матриц действительных чисел размера n × n и обозначается как GL n ( R ) или GL ( n , R ) .
В более общем смысле, общая линейная группа степени n над любым полем F (например, комплексными числами ) или кольцом R (например, кольцом целых чисел ) представляет собой набор обратимых матриц размера n × n с элементами из F (или R ), опять же с матричным умножением в качестве групповой операции. [1] Типичное обозначение - GL n ( F ) или GL ( n , F ) , или просто GL ( n ), если поле понятно.
В более общем плане общая линейная группа векторного пространства GL ( V ) - это группа абстрактных автоморфизмов , не обязательно записанная в виде матриц.
Специальная линейная группа , написанная SL ( п , Р ) или SL п ( Р ), является подгруппой из GL ( п , F ) , состоящий из матриц с определителем 1.
Группу GL ( n , F ) и ее подгруппы часто называют линейными группами или матричными группами (абстрактная группа GL ( V ) является линейной группой, но не матричной группой). Эти группы важны в теории представлений групп , а также возникают при изучении пространственных симметрий и симметрий векторных пространств в целом, а также при изучении многочленов . Модульная группа может быть реализована как частное от деления специальной линейной группы SL (2, Z ) .
Если n ≥ 2 , то группа GL ( n , F ) не абелева .
Общая линейная группа векторного пространства
Если V является векторным пространством над полем F , общая линейная группой V , написано GL ( V ) , или Aut ( V ), является группой всех автоморфизмов из V , т.е. множества всех биективного линейных преобразований V → V , вместе с функциональной композицией как групповая операция. Если V имеет конечную размерность п , то GL ( V ) и GL ( п , Р ) являются изоморфными . Изоморфизм неканоничен; это зависит от выбора основы в V . Учитывая базис ( е 1 , ..., е п ) из V и автоморфизм Т в GL ( V ), мы имеем то для каждого базисного вектора е я , что
для некоторых констант a ij в F ; матрица, соответствующая T , тогда будет просто матрицей с элементами, заданными a ij .
Аналогично для коммутативного кольца R группу GL ( n , R ) можно интерпретировать как группу автоморфизмов свободного R -модуля M ранга n . Можно также определить GL ( M ) для любого R -модуля, но в общем случае он не изоморфен GL ( n , R ) (для любого n ).
С точки зрения детерминант
Над полем F матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Следовательно, альтернативное определение GL ( n , F ) - это группа матриц с ненулевым определителем.
Над коммутативным кольцом R , более необходима осторожность: матрица над R обратим тогда и только тогда , когда ее определитель является блок в R , то есть, если ее определитель обратим в R . Следовательно, GL ( n , R ) можно определить как группу матриц, определители которых являются единицами.
В некоммутативном кольце R детерминанты ведут себя плохо. В этом случае, GL ( п , Р ) может быть определен как единичная группа в кольце матриц М ( п , R ) .
Как группа Ли
Реальный случай
Общая линейная группа GL ( n , R ) над полем действительных чисел является вещественной группой Ли размерности n 2 . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что набор всех действительных матриц размера n × n , M n ( R ), образует вещественное векторное пространство размерности n 2 . Подмножество GL ( n , R ) состоит из тех матриц, определитель которых отличен от нуля. Определитель является полиномиальным отображением, и, следовательно, GL ( n , R ) является открытым аффинным подмногообразием в M n ( R ) ( непустое открытое подмножество M n ( R ) в топологии Зарисского ), и, следовательно, [2] гладкое многообразие той же размерности.
Алгебра Ли из GL ( п , R ) , обозначаетсясостоит из всех вещественных матриц размера n × n, коммутатор которых служит скобкой Ли.
Как многообразие GL ( n , R ) не является связным, а имеет две компоненты связности : матрицы с положительным определителем и матрицы с отрицательным определителем. Компонент единицы , обозначаемый GL + ( n , R ) , состоит из вещественных матриц размера n × n с положительным определителем. Это также группа Ли размерности n 2 ; он имеет ту же алгебру Ли, что и GL ( n , R ) .
Группа GL ( n , R ) также некомпактна . «» [3] максимальная компактная подгруппа в GL ( n , R ) - это ортогональная группа O ( n ), а «» максимальная компактная подгруппа в GL + ( n , R ) - это специальная ортогональная группа SO ( n ). Что касается SO ( n ), группа GL + ( n , R ) не является односвязной (кроме случаев, когда n = 1) , а скорее имеет фундаментальную группу, изоморфную Z для n = 2 или Z 2 для n > 2 .
Сложный случай
Линейная группа над полем комплексных чисел , GL ( п , С ) , представляет собой комплекс группа Ли комплексной размерности п 2 . Как реальная группа Ли (благодаря реализации) она имеет размерность 2 n 2 . Набор всех вещественных матриц образует вещественную подгруппу Ли. Им соответствуют включения
- GL ( n , R )
n , C ) 2n , R ),
которые имеют реальные размеры n 2 , 2 n 2 и 4 n 2 = (2 n ) 2 . Комплексные n -мерные матрицы можно охарактеризовать как вещественные 2 n -мерные матрицы, которые сохраняют линейную комплексную структуру - конкретно, коммутируют с такой матрицей J , что J 2 = - I , где J соответствует умножению на мнимую единицу i .
Алгебра Ли , соответствующая GL ( п , С ) состоит из все п × п комплексных матриц с коммутатором , выступающим в качестве скобки Ли.
В отличие от реального случая, GL ( п , С ) будет подключен . Отчасти это следует из того, что мультипликативная группа комплексных чисел C ∗ связна. Групповое многообразие GL ( n , C ) не компактно; скорее ее максимальная компактная подгруппа - это унитарная группа U ( n ). Что же касается U ( п ) группа многообразия GL ( п , С ) не просто соединены , но имеет фундаментальную группу , изоморфную Z .
Над конечными полями
Если F - конечное поле с q элементами, то мы иногда пишем GL ( n , q ) вместо GL ( n , F ) . При р простое, GL ( п , р ) является внешний автоморфизм группы из группы Z р н , а также автоморфизм группы, так как Z р п абелева, так что внутренняя группа автоморфизмов тривиальна.
Порядок GL ( n , q ) таков:
Это можно показать, посчитав возможные столбцы матрицы: первый столбец может быть любым, кроме нулевого вектора; второй столбец может быть любым, но не кратным первому столбцу; и вообще, k- й столбец может быть любым вектором, не входящим в линейную оболочку первых k - 1 столбцов. В q -аналоговой записи это.
Например, GL (3, 2) имеет порядок (8-1) (8-2) (8-4) = 168 . Это группа автоморфизмов плоскости Фано и группы Z 2 3 , также известная как PSL (2, 7) .
В более общем смысле, можно подсчитывать точки грассманиана над F : другими словами, количество подпространств данной размерности k . Для этого требуется только найти порядок подгруппы стабилизатора одного такого подпространства и разделить его на только что приведенную формулу по теореме о стабилизаторе орбиты .
Эти формулы связаны с разложением Шуберта грассманиана, и Q -аналоги этих чисел Бетти сложных грассманианов. Это был один из ключей к догадкам Вейля .
Заметим, что в пределе q ↦ 1 порядок GL ( n , q ) стремится к 0! - но при правильной процедуре (деление на ( q - 1) n ) мы видим, что это порядок симметрической группы (см. Статью Лоршейда) - в философии поля с одним элементом , таким образом, интерпретируется симметрическая группа как полная линейная группа над полем с одним элементом: S n ≅ GL ( n , 1) .
История
Общая линейная группа над простым полем, GL ( ν , p ) , была построена, и ее порядок вычислен Эваристом Галуа в 1832 году в его последнем письме (к Шевалье) и второй (из трех) приложенных рукописях, которые он использовал в в контексте изучения группы Галуа общего уравнения порядка p ν . [4]
Специальная линейная группа
Специальная линейная группа SL ( n , F ) - это группа всех матриц с определителем 1. Они особенные в том, что они лежат на подмногообразии - они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель является полиномом от элементов). Матрицы этого типа образуют группу, поскольку определитель произведения двух матриц является произведением определителей каждой матрицы. SL ( n , F ) - нормальная подгруппа в GL ( n , F ) .
Если мы пишем F × для мультипликативной группы из F ( за исключением 0), то определитель является гомоморфизмом
- det: GL ( n , F ) → F × .
который является сюръективным и его ядром является специальная линейная группа. Таким образом, по первой теореме изоморфизма , GL ( п , Р ) / SL ( п , Р ) является изоморфной к F × . Фактически, GL ( n , F ) можно записать как полупрямое произведение :
- GL ( n , F ) = SL ( n , F ) ⋊ F ×
Специальная линейная группа также производная группа (также известная как коммутанте) из GL ( п , F ) (для поля или кольца с разделением F ) при условии , чтоили k - это не поле с двумя элементами . [5]
Когда F является R или C , SL ( n , F ) является подгруппой Ли в GL ( n , F ) размерности n 2 - 1 . Алгебра Ли из SL ( п , Р ) состоит из все п х п матриц над F с нулевым следом . Скобка Ли задается коммутатором .
Специальную линейную группу SL ( n , R ) можно охарактеризовать как группу сохраняющих объем и ориентацию линейных преобразований R n .
Группа SL ( n , C ) односвязна, а группа SL ( n , R ) - нет. SL ( n , R ) имеет ту же фундаментальную группу, что и GL + ( n , R ) , то есть Z для n = 2 и Z 2 для n > 2 .
Другие подгруппы
Диагональные подгруппы
Множество всех обратимых диагональных матриц образует подгруппу в GL ( n , F ), изоморфную ( F × ) n . В таких полях, как R и C , они соответствуют изменению масштаба пространства; так называемые расширения и сжатия.
Скалярная матрица является диагональной матрицей , которая является постоянная раз единичной матрицей . Множество всех ненулевых скалярных матриц образует подгруппу в GL ( n , F ), изоморфную F × . Эта группа является центром из GL ( п , F ) . В частности, это нормальная абелева подгруппа.
Центр SL ( п , Р ) представляет собой просто набор всех скалярных матриц с единичным детерминантом, и изоморфна группе п - го корней из единицы в поле F .
Классические группы
Так называемые классические группы являются подгруппами GL ( V ) , которые сохраняют некоторый вид билинейной формы на векторном пространстве V . К ним относятся
- ортогональная группа O ( V ), сохраняющая невырожденную квадратичную форму на V ,
- симплектическая группа Sp ( V ), сохраняющая симплектическую форму на V (невырожденную знакопеременную форму ),
- унитарная группа U ( V ), который, когда Р = С , сохраняет невырожденную эрмитову форму на V .
Эти группы являются важными примерами групп Ли.
Связанные группы и моноиды
Проективная линейная группа
Проективная группа PGL ( п , Р ) и проективное специальной линейной группы PSL ( п , F ) являются факторы из GL ( п , F ) и SL ( п , F ) со стороны своих центров (которые состоят из кратных единичная матрица в ней); они являются индуцированным действием на ассоциированном проективном пространстве .
Аффинная группа
Аффинная группа Ут ( п , Р ) является продолжением из GL ( п , F ) группой сдвигов в F н . Его можно записать как полупрямое произведение :
- Aff ( n , F ) = GL ( n , F ) ⋉ F n
где GL ( n , F ) действует на F n естественным образом. Аффинная группа может рассматриваться как группа всех аффинных преобразований в аффинном пространстве , лежащих в векторном пространстве F н .
Аналогичные конструкции имеются и для других подгрупп общей линейной группы: например, специальная аффинная группа - это подгруппа, определяемая полупрямым произведением SL ( n , F ) ⋉ F n , а группа Пуанкаре - это аффинная группа, ассоциированная с Группа Лоренца , O (1, 3, F ) ⋉ F n .
Общая полулинейная группа
Общая полулинейная группа & gamma ; l ( п , Р ) является группой всех обратимых полулинейными преобразований , и содержит GL. Полулинейное преобразование - это преобразование, которое является линейным «с точностью до закрутки», что означает «с точностью до автоморфизма поля при скалярном умножении». Его можно записать как полупрямое произведение:
- ΓL ( n , F ) = Gal ( F ) ⋉ GL ( n , F )
где Gal ( F ) - группа Галуа поля F (над своим простым полем ), которая действует на GL ( n , F ) действием Галуа на элементах.
Главный интерес & gamma ; l ( п , F ) является то , что связанно проективной полулинейной группа PΓL ( п , Р ) (который содержит PGL ( п , Р )) является группой коллинеаций из проективного пространства , для п > 2 , и , таким образом полулинейные карты представляют интерес для проективной геометрии .
Полный линейный моноид
Если один снимает ограничение определителя быть не равно нуль, в результате алгебраической структурой является моноид , обычно называют полный линейный моноидом , [6] [7] [8] , но иногда и полная линейной полугруппа , [9] линейная моноид [10] [11] и т. Д. Это действительно регулярная полугруппа . [7]
Бесконечная общая линейная группа
Бесконечная линейная группа или стабильная линейная группа является прямым пределом включений GL ( п , F ) → GL ( п + 1, F ) в качестве верхней левой матрицы блока . Он обозначается либо GL ( F ), либо GL (∞, F ) , а также может интерпретироваться как обратимые бесконечные матрицы, которые отличаются от единичной матрицы только в конечном числе мест. [12]
Он используется в алгебраической K-теории для определения K 1 , а над вещественными числами имеет хорошо понятную топологию благодаря периодичности Ботта .
Его не следует путать с пространством (ограниченных) обратимых операторов в гильбертовом пространстве , которое является большей группой и топологически намного проще, а именно стягиваемой - см . Теорему Койпера .
Смотрите также
- Список конечных простых групп
- SL 2 ( R )
- Теория представлений SL 2 ( R )
- Представления классических групп Ли
Заметки
- ^ Здесь предполагается, что кольца ассоциативны и унитарны .
- ^ Поскольку топология Зарисского более грубая, чем метрическая топология; эквивалентно, полиномиальные отображения непрерывны .
- ^ Максимальная компактная подгруппа не единственна, но по существу единственна , поэтому часто говорят о «максимальной компактной подгруппе».
- ^ Галуа, Эварист (1846). "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier" . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . XI : 408–415 . Получено 2009-02-04 , GL ( ν , р ) обсуждаются на стр. 410.CS1 maint: postscript ( ссылка )
- ^ Супруненко Д. А. (1976), Матричные группы , Переводы математических монографий, Американское математическое общество, Теорема II.9.4
- ^ Ян Окнинский (1998). Полугруппы матриц . World Scientific. Глава 2: Полный линейный моноид. ISBN 978-981-02-3445-4.
- ^ а б Микин (2007). «Группы и полугруппы: связи и противопоставления». В CM Кэмпбелл (ред.). Группы Сент-Эндрюс 2005 . Издательство Кембриджского университета. п. 471. ISBN. 978-0-521-69470-4.
- ^ Джон Роудс; Бенджамин Стейнберг (2009). Q-теория конечных полугрупп . Springer Science & Business Media. п. 306. ISBN. 978-0-387-09781-7.
- ^ Эрик Джесперс; Ян Окниски (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры . Springer Science & Business Media. 2.3: Полная линейная полугруппа. ISBN 978-1-4020-5810-3.
- ^ Мейнольф Гек (2013). Введение в алгебраическую геометрию и алгебраические группы . Издательство Оксфордского университета. п. 132. ISBN 978-0-19-967616-3.
- ^ Махир Билен Джан; Чжэнхэн Ли; Бенджамин Стейнберг; Цян Ван (2014). Алгебраические моноиды, групповые вложения и алгебраическая комбинаторика . Springer. п. 142. ISBN. 978-1-4939-0938-4.
- ^ Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую K-теорию . Анналы математических исследований. 72 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . п. 25. MR 0349811 . Zbl 0237.18005 .
Внешние ссылки
- "Общая линейная группа" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- "GL (2, р ) и GL (3, 3) Действуя по очкам" от Ed Пегг, Jr. , Wolfram Demonstrations Project 2007.