Фильтр (математика)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Решетка powerset набора {1,2,3,4}, верхний набор ↑ {1,4} окрашен в темно-зеленый цвет. Это фильтр и даже главный фильтр . Это не ультрафильтр , так как его можно расширить до нетривиального фильтра ↑ {1} большего размера, включив также светло-зеленые элементы. Поскольку ↑ {1} не может быть расширен дальше, это ультрафильтр.

В математике , A фильтр является специальным подмножеством из частично упорядоченного множества . Фильтры появляются в порядке и теории решетки , но также могут быть найдены в топологии , откуда они происходят. Двойное понятие фильтра является порядковым идеалом .

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году ^[1]^[2] и впоследствии использованы Бурбаки в их книге Topologie Générale в качестве альтернативы аналогичному понятию сети, разработанной в 1922 году Э. Муром и Х. Л. Смитом .

Мотивация [ править ]

Интуитивно, фильтр в частично упорядоченном наборе ( poset ), P , представляет собой подмножество P, которое включает в качестве членов те элементы, которые достаточно велики, чтобы удовлетворить некоторому заданному критерию. Например, если x является элементом poset, то набор элементов, находящихся выше x, является фильтром, называемым главным фильтром в x . (Если x и y - несравнимые элементы чугуна, то ни один из главных фильтров в x и y не содержится в другом, и наоборот.)

Точно так же фильтр на множестве содержит те подмножества, которые достаточно велики, чтобы содержать некоторую заданную вещь . Например, если набор является действительным прямым и х является одной из ее точек, то семейство множеств , которые включают х в их интерьере представляет собой фильтр, называемый фильтром окрестностей от х . Вещь в этом случае немного больше , чем х , но он по- прежнему не содержит какой - либо другой конкретной точке линии.

Приведенные выше интерпретации объясняют условия 1 и 3 в разделе « Общее определение» : очевидно, что пустой набор не является «достаточно большим», и очевидно, что набор «достаточно больших» вещей должен быть «закрытым вверх». Однако на самом деле они не объясняют без уточнения условие 2 общего определения. Ибо почему две «достаточно большие» вещи должны содержать одну общую «достаточно большую» вещь?

В качестве альтернативы фильтр можно рассматривать как «схему расположения»: при попытке найти что-либо (точку или подмножество) в пространстве X , вызовите фильтр как набор подмножеств X, который может содержать «то, что ищется». Тогда этот «фильтр» должен иметь следующую естественную структуру:

Схема локации не должна быть пустой, чтобы вообще могла быть полезна.
Если два подмножества, E и F , оба могут содержать «то, что ищется», то может и их пересечение. Таким образом, фильтр должен быть замкнутым относительно конечного пересечения.
Если набор E может содержать «то, что ищется», то же самое и каждое его надмножество. Таким образом, фильтр закрывается вверх.

Ультрафильтр можно рассматривать как «идеальную схему размещени» , где каждое подмножество Е пространства X может быть использовано при решении вопроса «что ищется» может лежать в Е .

В этой интерпретации компактность (см. Математическую характеристику ниже) можно рассматривать как свойство, согласно которому «никакая схема размещения не может закончиться ничем» или, другими словами, «всегда что-то будет найдено».

Математическое понятие фильтра обеспечивает точный язык для строгого и общего подхода к этим ситуациям, который полезен при анализе, общей топологии и логике.

Общее определение: фильтр по частично упорядоченному набору [ править ]

Подмножество $F$ частично упорядоченного множества $(P, \leq)$ является фильтром, если выполняются следующие условия:

$F$ является непустым .
$Р$ является вниз направлен : Для каждого $х, у \in F$ , существуют некоторый $г \in F$ такой , что $Z \leq х$ и $г \leq у$ .
$Р$ представляет собой верхний набор или вверх-замкнут : Для каждого $х \in F$ и $у \in P$ , $х \leq у$ означает , что $у \in F$ .

Фильтр является надлежащим , если он не равен всем множеством $P$ . Это условие иногда добавляют к определению фильтра.

Хотя приведенное выше определение является наиболее общим способом определения фильтра для произвольных множеств , изначально оно было определено только для решеток . В этом случае приведенное выше определение может быть охарактеризовано следующим эквивалентным утверждением: подмножество $F$ решетки $(P, \leq)$ является фильтром, если и только если оно является непустым верхним множеством, замкнутым при конечной инфиме ( или встречается ), то есть, для всех $х, у \in F$ , это также случай, когда $х \land у$ в F . ^[3]^{: 184}Подмножество $S$ из $F$ представляет собой базис фильтра , если верхний набор , порожденный $S$ все из $F$ . Обратите внимание, что каждый фильтр - это собственная основа.

Наименьший фильтр, содержащий данный элемент $p \in P,$ является главным фильтром, а $p$ является главным элементом в этой ситуации. Главный фильтр для $р$ просто задается множеством и обозначается префиксом $р$ с стрелкой вверх: . ${\ displaystyle \ {x \ in P \ mid p \ leq x \}}$ ${\ displaystyle \ uparrow p}$

Двойное понятие фильтра, то есть концепции , полученное путем реверсирования всех $\leq$ и обмена ∧ с ∨, является идеальным . Из-за этой двойственности обсуждение фильтров обычно сводится к обсуждению идеалов. Следовательно, большую часть дополнительной информации по этой теме (включая определение максимальных фильтров и простых фильтров ) можно найти в статье об идеалах . Об ультрафильтрах есть отдельная статья .

Фильтр по набору [ править ]

Определение фильтра [ править ]

Есть два конкурирующих определения «фильтра на множестве», каждое из которых требует, чтобы фильтр был двойственным идеалом . ^[4] Одно определение определяет «фильтр» как синоним «двойного идеала», в то время как другое определяет «фильтр» как обозначение двойственного идеала, который также является правильным .

Предупреждение : читателям рекомендуется всегда проверять определение «фильтра» при чтении математической литературы.

Определение : Двойственный идеал ^[4] на множестве $S$ - это непустое подмножество $F$ в $P (S)$ со следующими свойствами:
$Р$ будет замкнут относительно конечных пересечений : Если $,$ $B$ $\in$ $F$ , то их пересечение.
Из этого свойства следует, что если $\emptyset \notin F,$ то $F$ обладает свойством конечного пересечения .
$F$ является вверх закрытым / изотонно : ^[5] Если $\in$ $F$ и $\subseteq$ $B$ , то $B$ $\in$ $F$ , для всех подмножеств $B$ из $S$ . .
Из этого свойства следует, что $S \in F$ (поскольку F - непустое подмножество $P (S)$ ).

Для множества $S$ канонический частичный порядок $\subseteq$ может быть определен на множестве мощности $P (S)$ включением подмножества, превращая $(P (S), \subseteq)$ в решетку. «Двойственный идеал» - это просто фильтр по отношению к этому частичному порядку. Заметим, что если $S = \emptyset,$ то на $S$ существует ровно один дуальный идеал , который равен $P (S) = {\emptyset}$ .

Определение фильтра 1: Двойной идеал [ править ]

В статье используется следующее определение понятия «фильтр по множеству».

Определение : а фильтр на множестве $S$ представляет собой двойной идеал в $S$ . Эквивалентно, фильтр на $S$ - это просто фильтр относительно канонического частичного порядка $(P (S),),$ описанного выше.

Определение фильтра 2: Правильный дуальный идеал [ править ]

Другое определение «фильтра на множестве» - это оригинальное определение «фильтра», данное Анри Картаном , которое требовало, чтобы фильтр на множестве был двойственным идеалом, не содержащим пустого множества:

Исходное / альтернативное определение : фильтр ^[4] на множестве $S$ является дуальным идеалом на $S$ со следующим дополнительным свойством:
$F$ является собственным ^[6] / невырожденным : ^[7] Пустое множество не находится в $F$ (т.е. $\emptyset \notin F$ ).

Примечание . В этой статье не требуется, чтобы фильтр был правильным.

Единственный неподходящий фильтр на $S$ - это $P (S)$ . В значительной части математической литературы, особенно связанной с топологией , термин «фильтр» определяется как невырожденный двойственный идеал.

Базы фильтров, суббазы и сравнение [ править ]

Базы фильтров и суббазы

Подмножество $B$ из $P (S)$ называется предфильтр , фильтр основной , или базис фильтра , если $В$ не пусто и пересечение любых двух членов $B$ является подмножеством некоторых членов (ы) $B$ . Если пустой набор не является членом $B$ , мы говорим, что $B$ является правильной базой фильтра .

Учитывая фильтр базовый $B$ , фильтр генерируется или натянутое $B$ определяется как минимальный фильтр , содержащий $B$ . Это семейство всех тех подмножеств $S$ , которые являются надмножествами некоторого элемента (ов) $B$ . Каждый фильтр также является основой фильтра, поэтому процесс перехода от базы фильтра к фильтру можно рассматривать как своего рода завершение.

Для каждого подмножества $Т$ из $P (S)$ есть наименьшее (возможно несобственный) фильтр $F$ , содержащий $Т$ , называется фильтр , порожденный или натянутое на $Т$ . Точно так же , как и для фильтра перекинут основание фильтра , фильтр , натянутое на подмножества $Т$ минимальный фильтр , содержащий $T$ . Он построен, принимая все конечные пересечения $Т$ , которые затем образуют основание фильтра для $F$ . Этот фильтр является правильным тогда и только тогда, когда каждое конечное пересечение элементов $T$ непусто, и в этом случае мы говорим, что $T$ являетсяфильтрующая подбаза .

Более тонкие / эквивалентные основы фильтров

Если $В$ и $С$ два фильтра базируется на $S$ , говорят $С$ является более тонкой , чем $B$ (или , что $С$ является уточнением из $B$ ) , если для каждого $B 0 \in B$ , существует $C 0 \in C$ таким образом, что $С 0 \subseteq B 0$ . Если также $B$ тоньше, чем $C$ , говорят, что они являются эквивалентными базами фильтров .

Если $B$ и $C$ являются базисами фильтров, то $С$ тоньше , чем $B$ , если и только если фильтр , натянутым на $С$ содержит фильтр , натянутого $B$ . Следовательно, $B$ и $C$ являются эквивалентными базами фильтров тогда и только тогда, когда они генерируют один и тот же фильтр.
Для фильтров база , $В$ , и $С$ , если тоньше , чем $Б$ и $В$ является более тонким , чем $C$ , то тоньше , чем $C$ . Таким образом, отношение уточнения является предварительным порядком в наборе баз фильтра, а переход от базы фильтра к фильтру является примером перехода от предварительного заказа к соответствующему частичному порядку.

Примеры [ править ]

Пусть $S$ будет множество и $C$ будет непустое подмножество $S$ . Тогда ${C}$ - база фильтра. Фильтр он генерирует (т.е., совокупность всех подмножеств , содержащих $С$ ) называется главным фильтром , порожденным $C$ .
Фильтр называется свободным фильтром, если пересечение всех его элементов пусто. Правильный основной фильтр не бесплатен. Поскольку пересечение любого конечного числа элементов фильтра также является членом, ни один надлежащий фильтр на конечном множестве не является свободным и действительно является основным фильтром, порожденным общим пересечением всех его элементов. Неглавный фильтр на бесконечном множестве не обязательно бесплатный.
Фильтр Фреше на бесконечном множестве S есть множество всех подмножеств S , которые имеют конечное дополнение. Фильтр на S свободен тогда и только тогда, когда он включает фильтр Фреше.
- В более общем смысле, if - это пространство меры, для которого совокупность всего такого, что образует фильтр. Фильтр Фреше - это случай, когда и - счетная мера . ${\ Displaystyle (Х, \ му)}$ ${\ Displaystyle \ му (X) = \ infty}$ ${\ Displaystyle A \ substeq X}$ ${\ Displaystyle \ му (Икс \ setminus A) <\ infty}$ ${\ Displaystyle X = \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mu}$
Каждая равномерная структура на множестве $X$ представляет собой фильтр на $X \times X$ .
Фильтр в poset может быть создан с помощью леммы Расиова – Сикорского , часто используемой при форсировании .
Набор называется фильтрующей базой хвостов последовательности натуральных чисел . Основу фильтра из хвостов можно составить из любой сети, используя конструкцию , где фильтр, который генерирует эта база фильтра, называется фильтром вероятности сети. Следовательно, все сети создают основу фильтра (и, следовательно, фильтр). Поскольку все последовательности являются сетями, это верно и для последовательностей. ${\ displaystyle \ {\ {N, N + 1, N + 2, \ dots \} \ mid N \ in \ {1,2,3, \ dots \} \}}$ ${\ Displaystyle (1,2,3, \ точки)}$ ${\ Displaystyle (х _ {\ альфа}) _ {\ альфа \ в А}}$ ${\ displaystyle \ {\ {x _ {\ alpha} \ mid \ alpha \ in A, \ alpha _ {0} \ leq \ alpha \} \ mid \ alpha _ {0} \ in A \}}$

Фильтры в теории моделей [ править ]

Для каждого фильтра F на множестве S функция множества, определенная формулой

m(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}A\in F\\0&{\text{if }}S\setminus A\in F\\{\text{undefined}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}

конечно аддитивен - это « мера », если этот термин толкуется довольно свободно. Следовательно, заявление

\left\{\,x\in S\mid \varphi (x)\,\right\}\in F

можно считать в некотором роде аналогичным утверждению, которое выполняется «почти везде». Эта интерпретация принадлежности к фильтру используется (для мотивации, хотя она и не нужна для реальных доказательств ) в теории сверхпродуктов в теории моделей , ветви математической логики . $\varphi$

Фильтры в топологии [ править ]

В топологии и анализе фильтры используются для определения сходимости аналогично роли последовательностей в метрическом пространстве .

В топологии и смежных областях математики фильтр - это обобщение сети . И сети, и фильтры предоставляют очень общие контексты для унификации различных понятий предела для произвольных топологических пространств .

Последовательность обычно индексируются натуральными числами , которые представляют собой упорядоченное множество . Таким образом, пределы в первых счетных пространствах могут быть описаны последовательностями. Однако, если пространство не учитывается первым, необходимо использовать сети или фильтры. Сети обобщают понятие последовательности, требуя, чтобы индексный набор был просто направленным набором . Фильтры можно рассматривать как наборы, построенные из нескольких сетей. Следовательно, и предел фильтра, и предел сети концептуально такие же, как предел последовательности.

Базы микрорайонов [ править ]

Пусть X топологическое пространство и х точку X .

Возьмем N _х быть окрестности фильтра в точке х для X . Это означает, что N _x - это множество всех топологических окрестностей точки x . Можно проверить, что N _x - фильтр. Система соседства - это еще одно название фильтра соседства .
Для того, чтобы сказать , что N является базой окрестностей при х для X означает , что каждое подмножество V ₀ из Х есть окрестность х тогда и только тогда , когда существует N ₀ ∈ N такое , что N ₀ ⊆ V ₀ . Каждая база окрестности в точке x является базой фильтра, которая генерирует фильтр окрестности в точке x .

Базы конвергентных фильтров [ править ]

Пусть X топологическое пространство и х точку X .

Сказать , что базис фильтра B сходится к х , обозначаемые В → х , означает , что для каждой окрестности U от х , существует B ₀ ∈ B такое , что B ₀ ⊆ U . В этом случае х называется предел из B и B называется сходящейся базу фильтра .
Каждая база окрестностей N от й сходятся к й .
- Если N является базой окрестностей х и С представляет собой базис фильтра X , то С → х , если С тоньше , чем N . Если N является восходящим закрытым фильтром соседства, то верно и обратное: любой базис сходящегося фильтра уточняет фильтр соседства.
- Если Y ⊆ X , точка р ∈ X называется предельной точкой из Y в X тогда и только тогда , когда каждая окрестность U из р в X пересекает Y . Это происходит , если и только если существует базис фильтра подмножеств Y , которая сходится к р в X .
Для Y ⊆ X следующие утверждения эквивалентны:
- (i) Существует база фильтра F , все элементы которой содержатся в Y такая, что F → x .
- (ii) Существует фильтр F такой, что Y является элементом F и F → x .
- (III) Точка х лежит в замыкании Y .

В самом деле:

(i) влечет (ii): если F - база фильтра, удовлетворяющая свойствам (i), то фильтр, связанный с F, удовлетворяет свойствам (ii).

(ii) влечет (iii): если U - любая открытая окрестность точки x, то по определению сходимости U содержит элемент из F ; так как Y также является элементом F , U и Y имеют непустое пересечение.

(iii) подразумевает (i): Определить . Тогда F - база фильтра, удовлетворяющая свойствам пункта (i). $F=\{U\cap Y\mid U\in N_{x}\}$

Кластеризация [ править ]

Пусть $X$ топологическое пространство и х точку X .

Определение : Говорят, что база фильтра

B

на

X

кластеризуется в

x

(или имеет

x

как точку кластера ) тогда и только тогда, когда каждый элемент

B

имеет непустое пересечение с каждой окрестностью

x

.

Если база фильтра $B$ группируется в $x$ и более тонкая, чем база фильтра $C$ , то $C$ также группируется в $x$ .
Каждый предел базы фильтра также является точкой кластера базы.
База фильтра $B$ , имеющая $x$ в качестве точки кластера, может не сходиться к $x$ . Но есть более тонкая фильтрующая база. Например, база фильтра конечных пересечений множеств суббазы $B \cap N x$ .
Для базы фильтра B множество ∩ {cl ( B ₀ ) | В ₀ ∈ B } множество всех точек кластера B (в замыкании части B ₀ является сл ( B ₀ )) . Предположим, что X - полная решетка .
- Нижний предел от $B$ является нижней гранью множества всех точек кластера $B$ .
- Предел превосходит по $B$ является гранью множества всех точек кластера $B$ .
- $B$ является конвергентной базой фильтра тогда и только тогда, когда его нижний предел и верхний предел совпадают; в этом случае значение, с которым они согласны, является пределом базы фильтра.

Свойства топологического пространства [ править ]

Пусть X - топологическое пространство.

X является пространством Хаусдорфа тогда и только тогда, когда каждая база фильтров на X имеет не более одного предела.
Х является компактным тогда и только тогда , когда каждый базис фильтра X кластеров или имеет точку кластера.
X компактен тогда и только тогда, когда каждая база фильтров на X является подмножеством сходящейся базы фильтров.
X компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр на X сходится.

Функции между топологическими пространствами [ править ]

Пусть $X$ и $Y$ - топологические пространства, пусть $A$ - база фильтра на $X$ , и пусть $f : X \to Y$ - функция. Изображения из $А$ под $F$ , обозначим через $F [A]$ , определяется как множества $F [ ] = {F ( ) | \in$ }, который обязательно образует базис фильтра на $Y$ .

$е$ является непрерывной по $х \in Х$ тогда и только тогда для каждого фильтра базовой $А$ на $X$ , $A \to х$ означает $п [ ] \to F (х)$ .

Фильтры Коши [ править ]

Позвольте быть метрическое пространство . $(X,d)$

Для того, чтобы сказать , что базис фильтра B на X является Коши означают , что для каждого вещественного числа ε> 0 существует B ₀ ∈ B таким образом, что метрика диаметр от B _- меньше е.
Возьмем ( х _п ) быть последовательность в метрическом пространстве X . ( x _n ) является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда база фильтра {{ x _N , x _{N +1} , ...} | N ∈ {1,2,3, ...}} - Коши.

В более общем плане , учитывая равномерное пространство X , фильтр F на X называется фильтр Коши , если для каждого окружения U есть ∈ Р с ( х , у ) ∈ U для всех х , у ∈ A . В метрическом пространстве это согласуется с предыдущим определением. X называется полным, если каждый фильтр Коши сходится. Наоборот, на однородном пространстве каждый сходящийся фильтр является фильтром Коши. Более того, каждая кластерная точка фильтра Коши является предельной точкой.

Компактное однородное пространство является полным: на компактном пространстве каждый фильтр имеет точку кластера, и если фильтр Коши, такая точка кластера является предельной точкой. Далее, равномерность компактна тогда и только тогда, когда она полная и вполне ограниченная .

В большинстве случаев пространство Коши - это набор, оснащенный классом фильтров, объявленным как Коши. Они должны иметь следующие свойства:

для каждого х в X , в ультрафильтре при х , U ( х ), фундаментально.
если F - фильтр Коши, а F - подмножество фильтра G , то G - фильтр Коши.
если F и G - фильтры Коши и каждый член F пересекает каждый член G , то F ∩ G - фильтр Коши.

Фильтры Коши на однородном пространстве обладают этими свойствами, поэтому каждое однородное пространство (следовательно, каждое метрическое пространство) определяет пространство Коши.

См. Также [ править ]

Фильтры в топологии - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
Квантификатор фильтра
Фильтрация (математика)
Фильтрация (теория вероятностей) - модель информации, доступной в заданной точке случайного процесса.
Фильтрация (абстрактная алгебра)
Общий фильтр
Идеал (теория множеств) - непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
Сеть (математика) - Обобщение последовательности точек

Заметки [ править ]

^ Х. Картан, "Теория фильтров" , CR Acad. Париж , 205 , (1937) 595–598.
^ Х. Картан, "Фильтры и ультрафильтры" , CR Acad. Париж , 205 , (1937) 777–779.
^ Б. А. Дэви и НА Пристли (1990). Введение в решетки и порядок . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета.
^ a b c Дугунджи 1966 , стр. 211-213.
^ Dolecki & Mynard 2016 , стр. 27-29.
^ Голдблатт, Р. Лекции по гиперреалам: введение в нестандартный анализ . п. 32.
^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 2-7.

Ссылки [ править ]

Николас Бурбаки , Общая топология ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (Ch. 1-4): дает хороший справочник по фильтрам в общей топологии (Глава I) и по фильтрам Коши в однородных пространствах (Глава II)
Беррис, Стэнли Н., и HP Sankappanavar, HP, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .
Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .

Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
MacIver, David, Filters in Analysis and Topology (2004) (дает вводный обзор фильтров в топологии и в метрических пространствах.)
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Стивен Уиллард, Общая топология , (1970) издательство Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. (Предоставляет вводный обзор фильтров в топологии.)
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .
Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Джордж М. Бергман; Эхуд Грушовски: Линейные ультрафильтры, Comm. Алг., 26 (1998) 4079–4113.

[1] Х. Картан, "Теория фильтров" , CR Acad. Париж , 205 , (1937) 595–598.

[2] Х. Картан, "Фильтры и ультрафильтры" , CR Acad. Париж , 205 , (1937) 777–779.

[3] Б. А. Дэви и НА Пристли (1990). Введение в решетки и порядок . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета.

[FOOTNOTEDugundji1966211-213-4] Дугунджи 1966 , стр. 211-213.

[FOOTNOTEDoleckiMynard201627-29-5] Dolecki & Mynard 2016 , стр. 27-29.

[6] Голдблатт, Р. Лекции по гиперреалам: введение в нестандартный анализ . п. 32.

[FOOTNOTENariciBeckenstein20112-7-7] Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 2-7.

[1]