Неравенство Коши – Шварца.

В математике , то неравенство Коши-Шварца , также известный как неравенство Коши-Буняковского-Шварца , является полезным неравенство во многих областях математики, таких как линейная алгебра , анализ , теория вероятностей , векторной алгебры и других областях. Это считается одним из самых важных неравенств во всей математике. ^[1]

Неравенство для сумм было опубликовано Огюстэном-Луи Коши  ( 1821 г. ), а соответствующее неравенство для интегралов впервые было доказано Виктором Буняковским  ( 1859 г. ). Современное доказательство интегральной версии было дано Германом Шварцем  ( 1888 г. ). ^[1]

Формулировка неравенства [ править ]

Неравенство Коши-Шварц утверждает , что для всех векторов и из внутреннего пространства продукта это правда , что${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle \ left | \ left \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ right \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {u} \ rangle \ cdot \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {v} \ rangle,}$

( Неравенство Коши-Шварца [написано с использованием только внутреннего произведения] )

где есть скалярное произведение . Примеры внутренних продуктов включают реальный и сложный скалярный продукт ; см. примеры во внутреннем продукте . Каждое внутреннее произведение порождает норму , называемую канонической или индуцированной нормой , где норма вектора обозначается и определяется следующим образом:${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

${\displaystyle \left\|\mathbf {u} \right\|:={\sqrt {\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \right\rangle }}}$

так что эта норма и внутренний продукт связаны определяющим условием, где всегда является неотрицательным действительным числом (даже если внутренний продукт является комплексным). Извлекая квадратный корень из обеих частей указанного выше неравенства, неравенство Коши – Шварца можно записать в более привычной форме: ^{[2] [3]}${\displaystyle \left\|\mathbf {u} \right\|^{2}=\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \right\rangle ,}$${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \right\rangle }$

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$

( Неравенство Коши-Шварца [написано с использованием нормы и внутреннего произведения] )

Кроме того, обе стороны равны тогда и только тогда , когда и являются линейно зависимыми . ^{[4] [5]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

Особые случаи [ править ]

Лемма Титу - Положительные действительные числа [ править ]

Лемма Титу (названная в честь Титу Андрееску , также известная как лемма Т2, форма Энгеля или неравенство Седракяна ) утверждает, что для положительных действительных чисел

${\displaystyle {\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.}$

Это прямое следствие неравенства Коши – Шварца, полученного при подстановке и. Эта форма особенно полезна, когда неравенство включает дроби, числитель которых представляет собой полный квадрат.${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}}}}}$${\displaystyle v_{i}'={\sqrt {v_{i}}}.}$

ℝ ² - Самолет [ править ]

Реальное векторное пространство обозначает двумерную плоскость. Это также двумерное евклидово пространство, где внутренним продуктом является скалярное произведение . Если и тогда неравенство Коши – Шварца принимает вид:${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},v_{2}\right)}$${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},u_{2}\right)}$

${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}$

где это угол между и .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

Приведенная выше форма, пожалуй, самая легкая для понимания неравенства, поскольку квадрат косинуса может быть не более 1, что происходит, когда векторы находятся в одном или противоположных направлениях. Его также можно переформулировать в терминах векторных координат и как${\displaystyle v_{1},v_{2},u_{1}}$${\displaystyle u_{2}}$

${\displaystyle \left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),}$

где равенство выполняется тогда и только тогда, когда вектор находится в том же или противоположном направлении, что и вектор , или если один из них является нулевым вектором.${\displaystyle (u_{1},u_{2})}$${\displaystyle \left(v_{1},v_{2}\right)}$

ℝ ⁿ - n -мерное евклидово пространство [ править ]

В евклидовом пространстве со стандартным внутренним произведением, которое является скалярным произведением , неравенство Коши-Шварца принимает следующий вид:${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right)}$

Неравенство Коши – Шварца в этом случае можно доказать, используя только идеи элементарной алгебры. Рассмотрим следующий квадратичный многочлен от${\displaystyle x}$

${\displaystyle 0\leq \left(u_{1}x+v_{1}\right)^{2}+\cdots +\left(u_{n}x+v_{n}\right)^{2}=\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)x+\sum _{i}v_{i}^{2}.}$

Поскольку он неотрицателен, он имеет не более одного действительного корня, поэтому его дискриминант меньше или равен нулю. Это,${\displaystyle x,}$

${\displaystyle \left(\sum _{i}u_{i}v_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i}{u_{i}^{2}}\right)\left(\sum _{i}{v_{i}^{2}}\right)\leq 0,}$

откуда следует неравенство Коши – Шварца.

ℂ ⁿ - n -мерное комплексное пространство [ править ]

Если с и (где и ) и если скалярное произведение в векторном пространстве является каноническим комплексным внутренним продуктом (определенным ), то неравенство может быть переформулировано более явно следующим образом (где штриховая нотация используется для комплексного сопряжения ): ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}$${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}$${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}}}$

${\displaystyle \left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|^{2}=\left|\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}\right|^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle =\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}\right)=\sum _{j=1}^{n}\left|u_{j}\right|^{2}\sum _{k=1}^{n}\left|v_{k}\right|^{2}.}$

Это,

${\displaystyle \left|u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}\right|^{2}\leq \left(\left|u_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|u_{n}\right|^{2}\right)\left(\left|v_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|v_{n}\right|^{2}\right).}$

L ² [ править ]

Для пространства скалярного произведения комплекснозначных функций , интегрируемых с квадратом , выполняется следующее неравенство:

${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$

Неравенство Гельдера является обобщением этого.

Доказательства [ править ]

Существует много различных доказательств ^[6] неравенства Коши – Шварца, помимо приведенных ниже. ^{[1] [3]} При обращении к другим источникам часто возникают два источника путаницы. Во-первых, некоторые авторы определяют ⟨⋅, ⋅⟩ как линейные по второму аргументу, а не по первому. Во-вторых, некоторые доказательства действительны только тогда, когда поле есть, а не ^[7]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

В этом разделе приведены доказательства следующей теоремы:

Во всех приведенных ниже доказательствах доказательство в тривиальном случае, когда хотя бы один из векторов равен нулю (или, что то же самое, в случае, когда ), одинаково. Он представлен сразу ниже только один раз, чтобы уменьшить повторение. Он также включает простую часть доказательства - вышеупомянутую характеристику равенства ; то есть доказывает, что если и линейно зависимы, то${\displaystyle \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\big |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\big |}=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$

Доказательство тривиальных частей: случай, когда вектор и одно направление характеризации равенства${\displaystyle \mathbf {0} }$

По определению и линейно зависимы тогда и только тогда, когда один является скалярным кратным другому. Если где - какой-то скаляр, то ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\big |}={\big |}\langle c\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle {\big |}={\big |}c\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle {\big |}={\big |}c{\big |}\|\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|c\mathbf {v} \|\|\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}$ что показывает, что равенство выполняется в неравенстве Коши-Шварца . Случай, когда для некоторого скаляра очень похож, с основным отличием между комплексным сопряжением :${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\big |}={\big |}\langle \mathbf {u} ,c\mathbf {u} \rangle {\big |}={\big |}{\overline {c}}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle {\big |}={\big |}{\overline {c}}{\big |}\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {u} \|={\big |}c{\big |}\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {u} \|\|c\mathbf {u} \|=\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|.}$ Если хотя бы один из и является нулевым вектором, тогда и обязательно линейно зависимы (просто скалярно умножьте ненулевой вектор на число, чтобы получить нулевой вектор; например, if then let so that ), что доказывает обратное к этой характеристике в этот частный случай; то есть, это показывает, что если хотя бы одно из и является, то характеристика равенства выполняется. ${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {0} }$ Если это происходит тогда и только тогда, и так, в частности, неравенство Коши-Шварца выполняется, потому что обе его стороны равны . Доказательство в случае идентично. ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|=0,}$${\displaystyle \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|=0}$${\displaystyle {\big |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\big |}={\big |}\langle \mathbf {0} ,\mathbf {v} \rangle {\big |}={\big |}0{\big |}=0}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$

Следовательно, неравенство Коши-Шварца должно быть доказано только для ненулевых векторов, а также должно быть показано только нетривиальное направление характеризации равенства .

Приложения [ править ]

Анализ [ править ]

В любом внутреннем пространстве продукта , то неравенство треугольника является следствием неравенства Коши-Шварца, так как теперь показано:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&=(\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|)^{2}.&&\end{alignedat}}}$

Извлечение квадратного корня дает неравенство треугольника:

${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}$

Неравенство Коши – Шварца используется для доказательства того, что скалярное произведение является непрерывной функцией по отношению к топологии, индуцированной самим скалярным произведением. ^{[9] [10]}

Геометрия [ править ]

Неравенство Коши – Шварца позволяет расширить понятие «угол между двумя векторами» на любое реальное внутреннее произведение пространства, определив: ^{[11] [12]}

${\displaystyle \cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.}$

Неравенство Коши – Шварца доказывает, что это определение разумно, показывая, что правая часть лежит в интервале [−1, 1], и оправдывает понятие, что (действительные) гильбертовы пространства являются просто обобщениями евклидова пространства . Его также можно использовать для определения угла в сложных пространствах внутреннего продукта , взяв абсолютное значение или действительную часть правой части ^{[13] [14],} как это делается при извлечении метрики из квантовой точности .

Теория вероятностей [ править ]

Пусть и - случайные величины , тогда ковариационное неравенство: ^{[15] [16]} задается формулой${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (Y,X)^{2}}{\operatorname {Var} (X)}}.}$

После определения внутреннего продукта на множестве случайных величин с использованием математического ожидания их продукта,

${\displaystyle \langle X,Y\rangle :=\operatorname {E} (XY),}$

неравенство Коши – Шварца принимает вид

${\displaystyle |\operatorname {E} (XY)|^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}$

Чтобы доказать ковариационное неравенство с помощью неравенства Коши – Шварца, пусть, а затем${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$${\displaystyle \nu =\operatorname {E} (Y),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|\operatorname {E} \left((X-\mu )(Y-\nu )\right)|^{2}\\&=|\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle |^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}}$

где обозначает дисперсию и обозначает ковариацию .${\displaystyle \operatorname {Var} }$${\displaystyle \operatorname {Cov} }$

Обобщения [ править ]

Существуют различные обобщения неравенства Коши – Шварца. Неравенство Гёльдера обобщает его на нормы. В более общем смысле его можно интерпретировать как частный случай определения нормы линейного оператора в банаховом пространстве (а именно, когда пространство является гильбертовым пространством ). Дальнейшие обобщения находятся в контексте теории операторов , например, для операторно-выпуклых функций и операторных алгебр , где область определения и / или диапазон заменены C * -алгеброй или W * -алгеброй .${\displaystyle L^{p}}$

Внутренний продукт может использоваться для определения положительного линейного функционала . Например, если гильбертова пространство будучи конечной мерой, стандартное скалярное произведение порождает положительный функционал по Наоборот, каждому положительному линейному функционалу на может быть использована для определения скалярного произведения , где представляет собой точечное комплексное сопряжение с В этом языке Неравенство Коши – Шварца принимает вид ^[17]${\displaystyle L^{2}(m),m}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (g)=\langle g,1\rangle .}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle L^{2}(m)}$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{\varphi }:=\varphi \left(g^{*}f\right),}$${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g.}$

${\displaystyle \left|\varphi \left(g^{*}f\right)\right|^{2}\leq \varphi \left(f^{*}f\right)\varphi \left(g^{*}g\right),}$

дословно продолжается до положительных функционалов на C * -алгебрах:

Следующие две теоремы являются дополнительными примерами из операторной алгебры.

Это расширяет тот факт, когда - линейный функционал. Случай, когда является самосопряженным, т.е. иногда известен как неравенство Кадисона .${\displaystyle \varphi \left(a^{*}a\right)\cdot 1\geq \varphi (a)^{*}\varphi (a)=|\varphi (a)|^{2},}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a=a^{*},}$

Другое обобщение - это уточнение, полученное путем интерполяции между обеими сторонами неравенства Коши-Шварца:

Эту теорему можно вывести из неравенства Гёльдера . ^[24] Существуют также некоммутативные версии для операторов и тензорных произведений матриц. ^[25]

См. Также [ править ]

• Неравенство Бесселя
• Неравенство Гёльдера
• Неравенство Дженсена
• Неравенство Куниты – Ватанабе
• Неравенство Минковского

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Самое раннее использование: статья о неравенстве Коши-Шварца содержит некоторую историческую информацию.
• Пример применения неравенства Коши – Шварца для определения линейно независимых векторов Учебное пособие и интерактивная программа.