Маятник (математика)

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (м {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Маятник представляет собой тело отстранен от фиксированной опоры так , чтобы он свободно поворачивается вперед и назад под действием силы тяжести. Когда маятник смещается в сторону от своего положения покоя, равновесия, он подвергается действию восстанавливающей силы из-за силы тяжести, которая ускоряет его обратно к положению равновесия. При отпускании восстанавливающая сила, действующая на массу маятника, заставляет его колебаться около положения равновесия, раскачивая его назад и вперед. Математика маятников в целом довольно сложна. Можно сделать упрощающие предположения, которые в случае простого маятника позволяют аналитически решать уравнения движения для малоугловых колебаний.

Простой гравитационный маятник [ править ]

Простая тяжесть маятник ^[1] представляет собой идеализированную математическая модель реального маятника. ^{[2] [3] [4]} Это груз (или грузик ) на конце безмассового шнура, подвешенного на оси без трения . Поскольку в этой модели нет потерь энергии на трение, при начальном смещении он будет качаться вперед и назад с постоянной амплитудой . Модель основана на этих предположениях.

• Удочка или шнур, на котором качается боб, не имеет массы, нерастягивается и всегда остается натянутым;
• Боб - это точечная масса;
• Движение происходит только в двух измерениях , т. Е. Боб имеет не эллипс, а дугу .
• Движение не теряет энергию на трение или сопротивление воздуха .
• Гравитационное поле однородно.
• Опора не двигается.

Дифференциальное уравнение , которое представляет собой движение простого маятника

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {\ ell}} \ sin \ theta = 0}$ Уравнение 1

где g - ускорение свободного падения, l - длина маятника, а θ - угловое смещение.

Малоугловая аппроксимация [ править ]

Приведенное выше дифференциальное уравнение нелегко решить, и не существует решения, которое можно было бы записать в терминах элементарных функций. Однако добавление ограничения на размер амплитуды колебаний дает форму, решение которой можно легко получить. Если предполагается, что угол намного меньше 1  радиана (часто упоминается как менее 0,1 радиана, около 6 °), или

${\displaystyle \theta \ll 1,\,}$

затем подставив sin θ в уравнение. 1 с использованием малоуглового приближения ,

${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,\,}$

дает уравнение для гармонического осциллятора ,

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.}$

Ошибка из-за приближения имеет порядок θ ³ (из разложения Тейлора для sin θ ).

При начальных условиях θ (0) = θ ₀ иdθ/dt(0) = 0 решение принимает вид

Движение представляет собой простое гармоническое движение, где θ ₀ - амплитуда колебаний (то есть максимальный угол между стержнем маятника и вертикалью). Период движения, время полного колебания (наружу и возврата) составляет

который известен как закон Христиана Гюйгенса для того периода. Отметим, что в малоугловом приближении период не зависит от амплитуды θ ₀ ; это свойство изохронизма, которое открыл Галилей .

Эмпирическое правило для длины маятника [ править ]

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$ можно выразить как ${\displaystyle \ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.}$

Если используются единицы СИ (т. Е. Измерения в метрах и секундах) и предполагается, что измерение происходит на поверхности Земли, то g ≈ 9,81 м / с ² , играмм/π ²≈ 1 (0,994 - это приближение к 3 десятичным знакам).

Следовательно, относительно разумное приближение для длины и периода:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell &\approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}&\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}}$

где T ₀ - количество секунд между двумя ударами (по одному удару для каждой стороны замаха), а l измеряется в метрах.

Период произвольной амплитуды [ править ]

Для амплитуд, выходящих за рамки приближения малых углов , можно вычислить точный период, сначала обратив уравнение для угловой скорости, полученное с помощью энергетического метода ( уравнение 2 ),

${\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$

а затем интегрирование в течение одного полного цикла,

${\displaystyle T=t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),}$

или вдвое больше полупериода

${\displaystyle T=2t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}),}$

или в четыре раза больше четверти цикла

${\displaystyle T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),}$

что приводит к

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}\,d\theta .}$

Обратите внимание, что этот интеграл расходится при приближении θ ₀ к вертикали.

${\displaystyle \lim _{\theta _{0}\rightarrow \pi }T=\infty ,}$

так что маятник с правильной энергией, чтобы двигаться вертикально, никогда не доберется туда. (И наоборот, маятник, близкий к своему максимуму, может упасть сколь угодно долго.)

Этот интеграл можно переписать в терминах эллиптических интегралов как

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$

где F - неполный эллиптический интеграл первого рода, определяемый формулой

${\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,du\,.}$

Или, короче, заменой

${\displaystyle \sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}$

выражая θ через u ,

Здесь K - полный эллиптический интеграл первого рода, определяемый формулой

${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,du\,.}$

Для сравнения приближения с полным решением рассмотрим период маятника длиной 1 м на Земле ( g =9.806 65  м / с ² ) при начальном угле 10 град.

${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.}$

Линейное приближение дает

${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.}$

Разница между двумя значениями, менее 0,2%, намного меньше, чем разница между g в зависимости от географического положения.

Отсюда есть много способов перейти к вычислению эллиптического интеграла.

Полиномиальное решение Лежандра для эллиптического интеграла [ править ]

Учитывая уравнение. 3 и решение полинома Лежандра для эллиптического интеграла:

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{n}\right)^{2}}$

где н !! обозначает двойной факториал , точное решение периода маятника:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right)\\&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}{\frac {\theta _{0}}{2}}\right).\end{alignedat}}}$

На рисунке 4 показаны относительные ошибки с использованием степенного ряда. T ₀ - это линейное приближение, а от T ₂ до T ₁₀ включают, соответственно, члены до 2-й и 10-й степеней.

Решение степенного ряда для эллиптического интеграла [ править ]

Другая формулировка вышеуказанного решения может быть найдена, если следующий ряд Маклорена:

${\displaystyle \sin {\frac {\theta _{0}}{2}}={\frac {1}{2}}\theta _{0}-{\frac {1}{48}}\theta _{0}^{3}+{\frac {1}{3\,840}}\theta _{0}^{5}-{\frac {1}{645\,120}}\theta _{0}^{7}+\cdots .}$

используется в решении полинома Лежандра выше. Результирующий степенной ряд: ^[5]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3\,072}}\theta _{0}^{4}+{\frac {173}{737\,280}}\theta _{0}^{6}+{\frac {22\,931}{1\,321\,205\,760}}\theta _{0}^{8}+{\frac {1\,319\,183}{951\,268\,147\,200}}\theta _{0}^{10}+{\frac {233\,526\,463}{2\,009\,078\,326\,886\,400}}\theta _{0}^{12}+\cdots \right)\end{alignedat}}}$,

другие фракции доступны в OEIS :  A223067 OEIS :  A223068 .

Среднее арифметико-геометрическое решение для эллиптического интеграла [ править ]

Учитывая уравнение. 3 и среднее арифметико-геометрическое решение эллиптического интеграла:

${\displaystyle K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}{M(1-k,1+k)}},}$

где M ( x , y ) - среднее арифметико-геометрическое значение x и y .

Это дает альтернативную и быстро сходящуюся формулу для периода: ^{[6] [7] [8]}

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{M\left(1,\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$

Первая итерация этого алгоритма дает

${\displaystyle T_{1}={\frac {2T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}.}$

Это приближение имеет относительную погрешность менее 1% для углов до 96,11 градуса. ^[6] Поскольку выражение можно записать более кратко как${\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta _{0}/2)}{2}}=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$

${\displaystyle T_{1}=T_{0}\sec ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}}.}$

Разложение второго порядка сводится к${\displaystyle \sec ^{2}(\theta _{0}/4)}$${\displaystyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$

Вторая итерация этого алгоритма дает

${\displaystyle T_{2}={\frac {4T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}+2{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}}={\frac {4T_{0}}{\left(1+{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}\right)^{2}}}.}$

Это второе приближение имеет относительную погрешность менее 1% для углов до 163,10 градуса. ^{[6] [ требуется пояснение ]}

Приближенные формулы для периода нелинейного маятника [ править ]

Хотя точный период может быть определен для любой конечной амплитуды rad путем вычисления соответствующего полного эллиптического интеграла , где этого часто избегают в приложениях, потому что невозможно выразить этот интеграл в замкнутой форме в терминах элементарных функций. Это дало возможность исследовать простые приближенные формулы увеличения периода маятника с амплитудой (полезные во вводных физических лабораториях, классической механике, электромагнетизме, акустике, электронике, сверхпроводимости и т. Д.). ^[9] Приближенные формулы, найденные разными авторами, могут классифицироваться следующим образом:${\displaystyle T}$${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$${\displaystyle K(k)}$${\displaystyle k\equiv \sin(\theta _{0}/2)}$

• Формулы «не очень большого угла», то есть те, которые дают хорошие оценки для амплитуд ниже рад (естественный предел для боба на конце гибкой струны), хотя отклонение${\displaystyle \pi /2}$

относительно точного периода монотонно увеличивается с амплитудой, что не подходит для амплитуд, близких к рад. Одна из простейших формул, встречающихся в литературе, - это следующая формула Лимы (2006):, где . ^[10]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$${\displaystyle a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}}$

• Формулы «очень больших углов», то есть те, которые аппроксимируют точный период асимптотически для амплитуд, близких к рад, с ошибкой, которая монотонно увеличивается для меньших${\displaystyle \pi }$

амплитуды (т. е. непригодные для малых амплитуд). Одна из лучших таких формул - это формула Кромера, а именно: ^[11] .${\displaystyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$

Конечно, увеличение с амплитудой более очевидно, когда , как это наблюдалось во многих экспериментах, использовался жесткий стержень или диск. ^[12] Поскольку точные таймеры и датчики в настоящее время доступны даже во вводных физических лабораториях, экспериментальные ошибки, обнаруженные в экспериментах с «очень большими углами», уже достаточно малы для сравнения с точным периодом и очень хорошее согласие между теорией и экспериментами в какое трение пренебрежимо мало. Поскольку эта деятельность поощрялась многими инструкторами, была предпринята попытка найти простую приближенную формулу для периода маятника, действительную для всех возможных амплитуд, с которой можно было бы сравнить экспериментальные данные. В 2008 году Лима вывела формулу средневзвешенного значения с такой характеристикой: ^[9]${\displaystyle T}$${\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }$

${\displaystyle T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{Lima}+k^{2}\,T_{Cromer}}{r\,a^{2}+k^{2}}}}$,

где максимальная погрешность составляет всего 0,6% (при ).${\displaystyle r=7.17}$${\displaystyle \theta _{0}=95^{\circ }}$

Ряд Фурье углового смещения произвольной амплитуды [ править ]

Разложение в ряд Фурье дается выражением${\displaystyle \theta (t)}$

${\displaystyle \theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}$

где есть эллиптическая нома , и угловая частота.${\displaystyle q}$${\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)}$${\displaystyle \omega =2\pi /T}$

Если определить

${\displaystyle \epsilon ={\frac {1-{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}{2+2{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}}}$

${\displaystyle q}$ можно аппроксимировать с помощью разложения

${\displaystyle q=\epsilon +2\epsilon ^{5}+15\epsilon ^{9}+150\epsilon ^{13}+1707\epsilon ^{17}+20910\epsilon ^{21}+\cdots }$

(см. OEIS :  A002103 ). Обратите внимание, что у нас есть , поэтому приближение применимо даже для больших амплитуд.${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$${\displaystyle \epsilon <{\tfrac {1}{2}}}$

Примеры [ править ]

Анимация ниже изображает движение простого (без трения) маятника с увеличивающейся величиной начального смещения боба или эквивалентным увеличением начальной скорости. Небольшой график над каждым маятником - это соответствующая диаграмма фазовой плоскости ; горизонтальная ось - смещение, а вертикальная ось - скорость. При достаточно большой начальной скорости маятник не раскачивается вперед и назад, а полностью вращается вокруг оси.

• Начальный угол 0 °, устойчивое равновесие

• Начальный угол 45 °

• Начальный угол 90 °

• Начальный угол 135 °

• Начальный угол 170 °

• Начальный угол 180 °, неустойчивое равновесие

• Маятник, энергии которого едва хватает на полный ход

• Маятник с достаточной энергией для полного раскачивания

Составной маятник [ править ]

Соединение маятник (или физический маятник ) , где один стержень не безмассов, и может иметь расширенный размер; то есть твердое тело произвольной формы, качающееся посредством оси. В этом случае период маятника зависит от его момента инерции I вокруг точки поворота.

Уравнение крутящего момента дает:

${\displaystyle \tau =I\alpha \,}$

куда:

α - угловое ускорение.

τ - крутящий момент

Крутящий момент создается под действием силы тяжести, поэтому:

${\displaystyle \tau =-mgL\sin \theta \,}$

куда:

m - масса тела

L - расстояние от оси до центра масс объекта.

θ - угол от вертикали

Следовательно, в малоугловом приближении sin θ ≈ θ ,

${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}\approx -{\frac {mgL\theta }{I}}}$

где I - момент инерции тела относительно точки поворота.

Выражение для α имеет ту же форму, что и обычный простой маятник, и дает период ^[2]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgL}}}}$

И частота

${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mgL}{I}}}}$

Если принять во внимание начальный угол (для больших амплитуд), то выражение для принимает вид: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}=-{\frac {mgL\sin \theta }{I}}}$

и дает период:

${\displaystyle T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}\right){\sqrt {\frac {I}{mgL}}}}$

где θ ₀ - максимальный угол колебания (относительно вертикали), а K ( k ) - полный эллиптический интеграл первого рода .

Физическая интерпретация воображаемого периода [ править ]

Якобиан эллиптической функция , которая выражает позицию маятника как функция времени является двукратно периодической функцией с реальным периодом и воображаемым периодом. Реальный период - это, конечно, время, за которое маятник проходит один полный цикл. Пол Аппель указал на физическую интерпретацию мнимого периода: ^[13] если θ ₀ - максимальный угол одного маятника, а 180 ° - θ ₀ - максимальный угол другого, то реальный период каждого - это величина воображаемого период другой.

Связанный маятник [ править ]

Связанные маятники могут повлиять на движение друг друг, либо через подключение к направлению (например, пружины , соединяющим качается) или через движения в несущей конструкции (например, столешница). Уравнения движения двух идентичных простых маятников, соединенных пружиной, соединяющей опоры, можно получить с помощью лагранжевой механики .

Кинетическая энергия системы:

${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)}$

где - масса бобов, - длина струн , - угловые смещения двух бобов от положения равновесия.${\displaystyle m}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

Потенциальная энергия системы:

${\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$

где - ускорение свободного падения , а - жесткость пружины . Смещение пружины из положения равновесия предполагает приближение малого угла .${\displaystyle g}$${\displaystyle k}$${\displaystyle L(\theta _{2}-\theta _{1})}$

Тогда лагранжиан равен

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$

что приводит к следующей системе связанных дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$

Сложение и вычитание этих двух уравнений по очереди и применение приближения малых углов дает два уравнения гармонического осциллятора в переменных и :${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}$${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$

с соответствующими решениями

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\omega _{1}t+\alpha )\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}}$

и , , , являются постоянные интегрирования .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Выражение решений в терминах и в одиночку:${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\\\theta _{2}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$

Если бобы не получают начального толчка, то условие требует , что дает (после некоторой перестановки):${\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0}$${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Маятник Блэкберна
• Конический маятник
• Циклоидный маятник
• Двойной маятник
• Перевернутый маятник
• Маятник капицы
• Пружинный маятник
• Функция Матье
• Уравнения маятника (программное обеспечение)

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Бейкер, Грегори Л .; Блэкберн, Джеймс А. (2005). Маятник: пример по физике (PDF) . Издательство Оксфордского университета.
• Охс, Карлхайнц (2011). «Комплексное аналитическое решение нелинейного маятника». Европейский журнал физики . 32 (2): 479–490. Bibcode : 2011EJPh ... 32..479O . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 32/2/019 .
• Сала, Кеннет Л. (1989). «Преобразования амплитудной функции Якоби и ее вычисление через среднее арифметико-геометрическое». SIAM J. Math. Анальный . 20 (6): 1514–1528. DOI : 10.1137 / 0520100 .

Внешние ссылки [ править ]

• Статья Mathworld о функции Матье